Comment calculer la discrétisation de Scharfetter-Gummel pour semi-conducteurs

Calculatrice de la discretisation Scharfetter-Gummel (1969) pour le modele derive-diffusion des semiconducteurs : densite de courant via la fonction de Bernoulli B(x)=x/(e^x-1), tension thermique, coefficient de diffusion, champ electrique et longueur de Debye. Presets Si, GaAs, GaN, SiC, Ge.

Ce calculateur vous a-t-il été utile ?

La calculatrice de discrétisation de Scharfetter-Gummel détermine la densité de courant J dans les dispositifs semi-conducteurs en utilisant le schéma numérique standard pour les équations drift-diffusion, développé par Donald Scharfetter et Hermann Gummel (Bell Labs, 1969) dans "Large-signal analysis of a silicon Read diode oscillator" IEEE TED 16(1):64-77. Fournit une interpolation exponentielle stable de J = q μ n E - q D ∇n à travers une maille discrète. Formule clé : J_{i+1/2} = (q μ V_T / Δx) [n_{i+1} · B(-ΔV/V_T) - n_i · B(+ΔV/V_T)], où B(x) = x/(e^x - 1) est la fonction de Bernoulli. Workhorse de tous les simulateurs TCAD commerciaux.

1. Formule de Scharfetter-Gummel 1969

Équation drift-diffusion pour électrons : J_n = q μ_n n E + q D_n ∇n, avec μ_n mobilité, D_n = μ_n V_T (Einstein-Smoluchowski), V_T = k_B T/q ≈ 25,85 mV à 300 K. Discrétisée sur maille : J_{i+1/2} = (q μ V_T / Δx) · [n_{i+1} B(-ΔV/V_T) - n_i B(+ΔV/V_T)]. La fonction de Bernoulli B(x) = x/(e^x - 1). Garantit conservation du courant et monotonie.

2. Matériaux semi-conducteurs et paramètres

  • Silicium Si : μ_n = 1450 cm²/V·s, ε_r = 11,7, E_g = 1,12 eV.
  • Arséniure de gallium GaAs : μ_n = 8500, E_g = 1,42 eV (HEMT, RF).
  • Nitrure de gallium GaN : μ_n = 1000, E_g = 3,4 eV (LED, power).
  • Carbure de silicium 4H-SiC : μ_n = 900, E_g = 3,26 eV (power).
  • Germanium Ge : μ_n = 3900, E_g = 0,66 eV.
  • Phosphure d'indium InP : μ_n = 5400, E_g = 1,35 eV (laser).
  • Arséniure d'indium InAs : μ_n = 33000 (HEMT haute vitesse).
  • Diamant C : μ_n = 4500, E_g = 5,5 eV (UV detector, power).

3. Domaine de validité du schéma

Scharfetter-Gummel est un schéma box-method finite-volume. Limites : (a) Velocity saturation à champs élevés E > 10⁵ V/cm en Si. (b) Hot carriers non-équilibre (Selberherr-Stratton). (c) Quantum confinement sub-10nm requiert Schrödinger-Poisson ou NEGF. (d) Recombination/generation. (e) Hétérointerfaces thermionic emission. (f) Tunneling WKB. (g) Hall. (h) RF > 1 THz hydrodynamique.

4. Exemples numériques résolus

Exemple 1 — Diode Si pn à 0,5V forward. µ_n=1450, T=300 K, V_T=25,85 mV. ΔV/V_T = 19,3. J_SG = 1,87 × 10⁵ A/cm².

Exemple 2 — MOSFET 22nm strong inversion. ΔV_DS=1V over 22nm. J_drain ≈ 10⁵ A/cm². STMicroelectronics 22FDX FD-SOI + Crolles France.

Exemple 3 — GaN HEMT 600V power. ΔV=600V sur 5μm. ΔV/V_T=2,3e4. SG avec velocity saturation. Sentaurus device GaN.

5. Applications pratiques

  • STMicroelectronics Catania-Agrate + Crolles France : Sentaurus TCAD pour BCD8s + 22FDX FD-SOI + SiPM detectors.
  • IMM-CNR Catania : SiC power devices + GaN HEMT.
  • Politecnico Milano DEIB : Marco Sampietro group quantum-corrected nano MOSFET.
  • Politecnico Torino DET : Andrea Lacaita SPAD/SiPM.
  • INFN-Padoue : ATLAS strip detector LHC + ALICE + STAR.
  • SISSA Trieste 1978 + ICTP Trieste 1964 : Stefano Baroni Quantum ESPRESSO + DFT.
  • ISMN-CNR Bologne : organic OLED/OFET/OPV avec SG modifié.
  • Cineca Bologne 1969 Marconi100 + Leonardo HPC 250 PFlops + INFN-CNAF + GENCI France + IDRIS Jean Zay : TCAD HPC.

6. Comparaison avec d'autres schémas numériques

Scharfetter-Gummel 1969 : Box-method FV monotonique, conservatif, stable. Centered finite differences : instable. Upwind first-order : diffusif. FCT, Petrov-Galerkin, SUPG, DG. NEGF sub-10nm. Hydrodynamic Stratton 1962. SHE spherical harmonic. SG workhorse semicond > 50 nm.

7. Développements et corrections modernes

Variantes modernes : Kramer-Hitchner 1999, Mock 1972, Bank-Rose 1981, Bank-Coughran 1991, Brezzi-Marini-Pietra 1989. Quantum-corrected SG: density-gradient Wettstein-Demmel-Wenzel 2002, Bohm, Wigner. NEGF + SG hybrid Datta-Lake-Klimeck 2002. Logiciels commerciaux : Synopsys Sentaurus, Silvaco Atlas, Cadence, COMSOL, Ansys TCAD. Open-source : DESSIS, Charon, NEMO5 Purdue, TIBERCAD Tor Vergata Rome. HPC : Cineca Leonardo 250 PFlops + INFN-CNAF + GENCI France + IDRIS. Futurs : 3D heterogeneous integration, 2D materials, quantum dots.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la discrétisation de Scharfetter-Gummel ?

La discrétisation de Scharfetter-Gummel (Donald Scharfetter + Hermann Gummel Bell Labs 1969 IEEE TED 16:64) est le schéma numérique standard pour les équations drift-diffusion en semi-conducteurs. Utilise la fonction Bernoulli B(x)=x/(e^x-1) pour discrétiser le courant J de manière monotonique et stable. Workhorse de tous les TCAD commerciaux.

Qu'est-ce que la fonction de Bernoulli B(x) ?

B(x) = x/(e^x - 1) est la fonction de Bernoulli généralisée. Propriétés : B(0)=1 (limite linéaire), B(+∞)→0, B(-∞)→-∞, B(x)-B(-x)=-x. Utilisée pour interpoler les densités sous potentiel exponentiellement variable. Implémentation : série Taylor pour |x|<1e-4 évite annulation numérique.

Que signifie V_T = k_B T/q ?

V_T = k_BT/q est la tension thermique, k_B=1,381e-23 J/K, q=1,602e-19 C, T température. À 300 K : V_T = 25,85 mV. Échelle caractéristique des potentiels dans jonctions semi-conductrices. Coefficient diffusion D=μ·V_T (Einstein-Smoluchowski). Plage typique SG : V_T < ΔV < 50 V_T pour stabilité.

Pourquoi Scharfetter-Gummel meilleur que schéma centré ?

Le schéma centré linéaire a erreur O(Δx²) mais instable pour |ΔV/V_T| > 1 : produit densités négatives et oscillations. SG capture le décroissance exponentielle n(x) ∝ exp(-qψ/k_BT) via Bernoulli, garantissant monotonie et densités positives. Coût : même complexité O(N), robustesse plus grande.

Quels matériaux sont simulés avec Scharfetter-Gummel ?

Tous les semi-conducteurs bulk : Si μ_n=1450 cm²/Vs (CMOS), GaAs μ_n=8500 (RF/HEMT), GaN μ_n=1000 E_g=3,4eV (LED/power 600V+), 4H-SiC μ_n=900 E_g=3,26eV (power 1,2kV+), Ge μ_n=3900, InP μ_n=5400 (laser), InAs μ_n=33000 (HEMT), Diamant μ_n=4500 E_g=5,5eV (UV).

Quelles sont les limites de Scharfetter-Gummel ?

Échoue pour : (a) velocity saturation E > 10⁵ V/cm en Si (Caughey-Thomas), (b) hot carriers non-équilibre (Stratton 1962), (c) sub-10nm quantum (Schrödinger-Poisson ou NEGF), (d) tunneling band-to-band (WKB), (e) 2D MoS₂/graphène (Boltzmann transport), (f) hétérointerfaces (thermionic emission).

Quelles sont les applications industrielles en Italie ?

STMicroelectronics Catania-Agrate + Crolles France (Sentaurus 22FDX FD-SOI + BCD8s + SiPM), IMM-CNR Catania (SiC + GaN), Politecnico Milano DEIB (quantum-corrected MOSFET), Politecnico Torino DET (Lacaita SPAD/SiPM), INFN-Padoue (ATLAS LHC), ISMN-CNR Bologne (organic OLED/OFET/OPV), Cineca Leonardo 250 PFlops + INFN-CNAF + GENCI France (TCAD HPC).

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