Il calcolatore di discretizzazione di Scharfetter-Gummel determina la corrente J nei dispositivi a semiconduttore usando lo schema numerico standard per le equazioni drift-diffusion, sviluppato da Donald Scharfetter e Hermann Gummel (Bell Labs, 1969) nell'articolo "Large-signal analysis of a silicon Read diode oscillator" IEEE Transactions on Electron Devices 16(1):64-77. Lo schema fornisce una interpolazione esponenziale stabile della densità di corrente J = q μ n E - q D ∇n attraverso una mesh discreta, evitando le instabilità numeriche del classico schema centrato. La formula chiave: J_{i+1/2} = (q μ V_T / Δx) [n_{i+1} · B(-ΔV/V_T) - n_i · B(+ΔV/V_T)], dove B(x) = x/(e^x - 1) è la funzione di Bernoulli. È il workhorse di tutti i simulatori TCAD commerciali: Synopsys Sentaurus, Silvaco Atlas, Cadence Spectre, DESSIS, COMSOL Semiconductor.

1. Formula di Scharfetter-Gummel 1969

L'equazione drift-diffusion per elettroni: J_n = q μ_n n E + q D_n ∇n, dove μ_n è la mobilità, D_n = μ_n V_T (Einstein-Smoluchowski) il coefficiente di diffusione, V_T = k_B T/q ≈ 25,85 mV a 300 K la tensione termica. Discretizzata su mesh: J_{i+1/2} = (q μ V_T / Δx) · [n_{i+1} B(-(ψ_{i+1} - ψ_i)/V_T) - n_i B((ψ_{i+1} - ψ_i)/V_T)]. La funzione di Bernoulli B(x) = x/(e^x - 1) ha proprietà: B(0) = 1, B(+∞) = 0, B(-∞) = -∞, B(x) - B(-x) = -x. Garantisce conservazione della corrente e monotonicità anche con grandi gradienti di potenziale (>> V_T). Per ΔV/V_T → 0 recupera lo schema centrato lineare. Per |ΔV/V_T| > 1, lo schema centrato fallisce (negative density), Scharfetter-Gummel rimane stabile.

2. Materiali semiconduttori e parametri

• Silicio Si: μ_n = 1450 cm²/V·s, μ_p = 480 cm²/V·s, ε_r = 11,7, E_g = 1,12 eV.
• Arsenide gallio GaAs: μ_n = 8500, μ_p = 400, ε_r = 13,1, E_g = 1,42 eV (HEMT, RF).
• Nitruro gallio GaN: μ_n = 1000, μ_p = 200, ε_r = 9,5, E_g = 3,4 eV (LED, power).
• Carburo silicio 4H-SiC: μ_n = 900, μ_p = 100, ε_r = 9,7, E_g = 3,26 eV (power).
• Germanio Ge: μ_n = 3900, μ_p = 1900, ε_r = 16,2, E_g = 0,66 eV.
• Fosfuro indio InP: μ_n = 5400, μ_p = 200, ε_r = 12,5, E_g = 1,35 eV (laser).
• Arsenide indio InAs: μ_n = 33000, μ_p = 460, ε_r = 15,1 (HEMT alta velocità).
• Diamante C: μ_n = 4500, μ_p = 3800, E_g = 5,5 eV (UV detector, power).

3. Limiti di applicabilità dello schema

Scharfetter-Gummel è un schema box-method finite-volume per equazioni drift-diffusion classiche di Drude-Pearson. Limiti: (a) Velocity saturation: a campi alti E > 10⁵ V/cm in Si, μ(E) decresce → modello esteso necessario (Caughey-Thomas, Canali). (b) Hot carriers: a non-equilibrio, energy-balance + impact ionization (Selberherr-Stratton). (c) Quantum confinement: in MOSFET sub-10nm, drift-diffusion classico fallisce, serve Schrödinger-Poisson coupling o NEGF (Non-Equilibrium Green's Functions). (d) Recombination/generation: SRH, Auger, radiativo aggiungono termini source/sink. (e) Heterointerfaces: discontinuità banda eccessive richiedono thermionic emission boundary. (f) Tunneling: WKB approx per BTBT (band-to-band) e direct tunneling gate oxide. (g) Magnetic fields: Hall effect, magneto-resistenza. (h) Frequenze RF > 1 THz: oltre relaxation time τ_p, necessario hydrodynamic model.

4. Esempi numerici svolti

Esempio 1 — Diodo Si pn-junction a 0,5 V forward bias. µ_n=1450, T=300 K, V_T=25,85 mV, Δx=10 nm, ψ₁=0, ψ₂=0,5 V → ΔV/V_T = 19,3. B(+19,3)=4,2e-7, B(-19,3)=19,3. n₁=10¹⁶/cm³, n₂=10¹⁵/cm³. J_SG = (q·µ·V_T/Δx)·[n₂·B(-19,3) - n₁·B(+19,3)] = (1,6e-19·1450·0,02585/1e-6)·[10¹⁵·19,3 - 10¹⁶·4,2e-7] = 1,87 × 10⁵ A/cm². Tipico forward bias diodo.

Esempio 2 — MOSFET Si 22nm channel a strong inversion. n_inv=5e¹²/cm² × thickness=2nm = 2,5e¹⁹/cm³. ΔV_DS=1V over 22nm. ΔV/V_T=38,6. SG cattura corretta exp decay accumulation→pinchoff. J_drain ≈ 10⁵ A/cm². Modello GSS Sentaurus + STMicroelectronics 22FDX FD-SOI.

Esempio 3 — GaN HEMT power 600V. μ_n=1000 cm²/Vs (2DEG), V_T=25,85 mV, ΔV=600V over 5μm. ΔV/V_T=2,3e4 (estremo). SG da risultato, ma serve velocity saturation v_sat=2,5e7 cm/s. Modello Synopsys Sentaurus device GaN.

5. Applicazioni pratiche del Scharfetter-Gummel

• STMicroelectronics Catania-Agrate: simulazione TCAD Sentaurus per BCD8s (Bipolar-CMOS-DMOS) 0,18μm + 16FFC FinFET, automotive Bipolar SiPM (silicon photomultiplier).
• IMM-CNR Catania (Istituto Microelettronica e Microsistemi): ricerca SiC power device (Diodi MPS, MOSFETs 1,2 kV+), GaN HEMT, simulazioni FEM Atlas.
• Politecnico Milano DEIB: gruppo Marco Sampietro + Maurizio Sansotera + Alessandro Pesatori sviluppano modelli quantum-corrected Scharfetter-Gummel per nano-MOSFET.
• Politecnico Torino DET: gruppo Andrea Lacaita SPAD/SiPM + simulazioni Avalanche Cellular Automata + Sentaurus.
• INFN-Padova + Università Padova: silicon strip detector ATLAS-LHC + STAR RHIC + ALICE LHC, Geant4 + Sentaurus.
• SISSA Trieste 1978 + ICTP Trieste 1964: gruppo Stefano Baroni Quantum ESPRESSO ab initio + DFT, accoppiato con drift-diffusion.
• ISMN-CNR Bologna: simulazioni organic semiconductor OLED, OFET, OPV con SG modificato per disorder.
• Cineca Bologna 1969 Marconi100 + Leonardo HPC 250 PFlops + INFN-CNAF: TCAD Sentaurus + COMSOL su nodi GPU per simulazioni grandi (10⁶+ mesh nodes).

6. Confronto con altri schemi numerici

Scharfetter-Gummel 1969: schema Box-method finite-volume basato su funzione Bernoulli, monotonico, conservativo, stable per |ΔV| >> V_T. Centered finite differences: instabile per |ΔV/V_T| > 1, oscillazioni numeriche. Upwind first-order: stabile ma diffusivo (artificial diffusion). FCT (Flux Corrected Transport) Boris-Book 1973: minimizza diffusion ma TVD constraints. Petrov-Galerkin: variazione finite-element con weighting upwind. Streamline upwind Petrov-Galerkin (SUPG): estensione 2D/3D di SG. Discontinuous Galerkin (DG): high-order, stabilità via slope limiting. NEGF: per nano-device < 10nm, Schrödinger + Green functions. Hydrodynamic model (Stratton 1962, Selberherr 1980s): energy-balance, hot carriers. Spherical harmonic expansion (SHE): oltre drift-diffusion, transport non-equilibrium. SG resta il workhorse per semicond > 50 nm.

7. Sviluppi e correzioni moderne

Le varianti moderne di Scharfetter-Gummel includono: Kramer-Hitchner 1999 generalizzazione 2D triangolare. Mock 1972 mixed FE-FV per heterointerfaces. Bank-Rose 1981 analisi convergenza globale Newton-Raphson. Bank-Coughran 1991 Box-method ortogonale Voronoi. Brezzi-Marini-Pietra 1989 ELLAM Eulerian-Lagrangian Localized Adjoint Method. Quantum-corrected SG: density-gradient (Wettstein-Demmel-Wenzel 2002), Bohm potential, Wigner formalism. NEGF + SG hybrid: Datta-Lake-Klimeck 2002 nano-MOSFETs Stanford. Multiscale TCAD: Synopsys Sentaurus + ATK Quantum + GTS Minimos. Software commerciale: Synopsys Sentaurus Device (TCAD), Silvaco Atlas/Victory, Cadence Spectre, COMSOL Semiconductor Module, Ansys TCAD. Open-source: DESSIS (TU Delft), Charon (Sandia), NEMO5 (Purdue), BIA Simulator (UCSD), TIBERCAD (Tor Vergata Roma). HPC: Cineca Leonardo 250 PFlops + INFN-CNAF + LRZ Garching + Jülich. Esperimenti futuri: 3D heterogeneous integration (chiplets), quantum dot devices, 2D materials (graphene, MoS₂, WSe₂) richiedono SG estensioni.

Aggiornato a luglio 2026