Umlaufperiode Rechner (Kepler III)

Berechne die Umlaufperiode mit Keplers drittem Gesetz T = 2π·√(a³/GM). Presets für Sonne, Erde, Mars, Jupiter. Inverse für große Halbachse und Zentralmasse.

Berechnungsparameter
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Usato nelle modalità preset. La massa tabulata è quella di NASA Planetary Fact Sheet.
Massa del corpo attrattore. Default: massa del Sole 1,98892·10³⁰ kg.
Raggio orbitale medio o semiasse maggiore dell'ellisse. 1 AU = 1,495978707·10¹¹ m (per l'orbita terrestre).
Periodo di rivoluzione in secondi. 1 anno siderale ≈ 31 557 600 s (365,25 d).
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Keplers drittes Gesetz

Das dritte Keplersche Gesetz, von Johannes Kepler 1619 in der Harmonices Mundi formuliert, ist eines der drei Gesetze, die die Bahnbewegung regeln. Es besagt, dass «die Quadrate der Umlaufzeiten proportional zu den Kuben der großen Halbachsen sind»:

T² ∝ a³

Newton leitete daraus in den Principia (1687) die explizite Konstante aus der Gravitation ab:

T = 2π · √(a³ / (G·M))

mit G = 6,67430·10⁻¹¹ m³/(kg·s²) und M der dominanten Zentralmasse.

Die vier Modi

  1. Aus M und a → T.
  2. Preset Zentralkörper → T (Sonne, Erde, Mond, Mars, Jupiter, Saturn, Proxima Centauri).
  3. Aus T und M → a. Für geostationäre Satelliten (T = 86 164 s) ergibt a ≈ 42 164 km.
  4. Aus T und a → M: Sternenwaage über Exoplaneten.

Moderne Anwendungen

  • Künstliche Satelliten: ISS (92 min), GPS (12 h), geostationär.
  • Interplanetare Missionen: Hohmann-Fenster, 8,5 Monate nach Mars.
  • Exoplaneten (Kepler, TESS, HARPS): Tausende über Kepler III entdeckt.
  • Dunkle Materie: galaktische Rotationskurven erfordern unsichtbare Masse (Zwicky 1933, Rubin 1970).
  • Schwarzes Loch der Milchstraße: S1-S10-Sterne um Sgr A* ergeben ≈ 4,15·10⁶ M☉ (Nobelpreis 2020).

Harmonische Form

In AU, siderischen Jahren und Sonnenmassen:

T²(Jahre) = a³(AU) / (M/M☉)

Mars: a = 1,524 → T = 1,88 Jahre. Venus: a = 0,723 → T = 0,615 Jahre.

Grenzen

  • Geschlossene Bahn (negative Gesamtenergie).
  • Umlaufende Masse ≪ M; bei vergleichbaren Doppelsternen M_gesamt verwenden.
  • Zentralfeld ohne nennenswerte Drittkörper-Störungen.
  • Newtonsches Regime; nahe Schwarzen Löchern Schwarzschild/Kerr.

Von Keplers Gesetz zu Newtons Gravitation

Das dritte Gesetz wurde 1619 von Johannes Kepler in seinem Werk Harmonices Mundi veröffentlicht und krönte jahrelange Analysen der äußerst genauen Beobachtungen von Tycho Brahe. Kepler entdeckte empirisch, dass das Quadrat der Periode proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse ist (T² ∝ a³), kannte aber deren physikalische Ursache nicht. Es war Isaac Newton, der 1687 bewies, dass diese Beziehung direkt aus dem Gravitationsgesetz folgt: setzt man die Gravitationskraft der für die Bahn nötigen Zentripetalkraft gleich, erhält man genau T = 2π·√(a³/(G·M)). Die Proportionalitätskonstante, die Kepler für ein harmonisches Geheimnis hielt, hängt nur von der Masse des Zentralkörpers ab. Es war einer der Triumphe der newtonschen Physik und der Beweis, dass dieselben Gesetze den Fall eines Apfels und die Bewegung der Planeten regieren.

Die Prüfung des Gesetzes im Sonnensystem

Das dritte Gesetz bestätigt sich mit außerordentlicher Genauigkeit bei der Beobachtung der Planeten. Merkur, 0,39 astronomische Einheiten von der Sonne entfernt, hat eine Periode von 88 Tagen; die Erde, bei 1 AE, von einem Jahr; der Mars, bei 1,52 AE, von 1,88 Jahren; der Jupiter, bei 5,2 AE, von fast 12 Jahren; der Neptun, bei 30 AE, von ganzen 165 Jahren. Für alle bleibt das Verhältnis T²/a³ konstant: in Jahren und astronomischen Einheiten ausgedrückt, beträgt es für die Sonne genau 1. Diese Konstanz erlaubt es, durch Messung von Periode und Abstand die Masse des Zentralkörpers zu bestimmen: so wägen Astronomen Sterne, Planeten und sogar Galaxien und entdecken mit der Transitmethode — verwendet von den Weltraumteleskopen Kepler und TESS — Tausende von Exoplaneten um andere Sterne.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Warum hängt die Periode nicht von der Exzentrizität ab?

Weil in Keplers drittem Gesetz die große Halbachse a steht, nicht die Form der Bahn. Zwei Bahnen mit gleicher großer Halbachse haben dieselbe Periode, ob nahezu kreisförmig oder stark elliptisch. Der Grund ist, dass die gesamte Bahnenergie nur von der großen Halbachse abhängt: ein stark langgestreckter Komet und ein kreisförmiger Planet mit gleicher 'mittlerer Entfernung' brauchen dieselbe Zeit für einen Umlauf.

Wie wägt man einen Stern mit Exoplaneten?

Indem man die Periode T und die große Halbachse a der Planetenbahn misst, kehrt man Keplers drittes Gesetz um: M = 4π²·a³/(G·T²). Da die Masse des Planeten gegenüber der des Sterns vernachlässigbar ist, ergibt das Resultat direkt die Sternmasse. Mit dieser Methode bestimmen Astronomen die Massen von Sternen, indem sie ihre Planeten oder Begleitsterne in Doppelsternsystemen beobachten.

Wie groß ist die geostationäre Periode?

Ein geostationärer Satellit hat eine Periode von genau einem siderischen Tag, etwa 23 Stunden 56 Minuten, um über demselben Punkt des Äquators stehen zu bleiben, während sich die Erde dreht. Wendet man das dritte Gesetz mit der Erdmasse an, ergibt sich der zugehörige Bahnradius: etwa 42.164 km vom Erdmittelpunkt, also etwa 35.786 km Höhe über der Oberfläche.

Warum siderisches statt tropisches Jahr?

Das siderische Jahr ist die Zeit, die die Erde für einen vollen Umlauf um die Sonne relativ zu den Fixsternen braucht, etwa 365,256 Tage: es ist die wahre Umlaufperiode. Das tropische Jahr (365,242 Tage) misst dagegen die Wiederkehr der Jahreszeiten und ist wegen der Präzession der Äquinoktien etwas kürzer. Für Bahnberechnungen ist das siderische Jahr zu verwenden, im Einklang mit dem dritten Gesetz.

Wie verallgemeinert es sich auf Doppelsterne?

Sind die beiden Massen vergleichbar, umkreisen beide den gemeinsamen Schwerpunkt und im dritten Gesetz steht die Gesamtmasse: T² = 4π²·a³/(G·(M₁+M₂)), wobei a die große Halbachse der Relativbahn ist. Misst man Periode und Abstand, erhält man die Summe der Massen; mit weiteren Daten zur Bewegung jedes Sterns lassen sich die beiden Einzelmassen trennen. Es ist die Schlüsselmethode zum Wägen von Doppelsternen.

Gilt das Gesetz für parabolische oder hyperbolische Bahnen?

Nein, Keplers drittes Gesetz gilt nur für geschlossene elliptische (oder kreisförmige) Bahnen, die einzigen periodischen. Parabolische und hyperbolische Bahnen sind offen: der Körper passiert einmal und kehrt nicht zurück, hat also keine Periode. Sie sind typisch für nichtperiodische Kometen und für nach einem Swing-by entweichende Sonden, für die stattdessen andere Energiebeziehungen verwendet werden.

Wie verhält es sich nahe eines Schwarzen Lochs?

Fern von einem Schwarzen Loch bleibt Keplers drittes Gesetz eine ausgezeichnete Näherung, weil die newtonsche Gravitation das Feld gut beschreibt. Nahe dem Ereignishorizont braucht man jedoch die allgemeine Relativitätstheorie: die Bahnen erfahren eine relativistische Periheldrehung (wie bei Merkur um die Sonne, aber verstärkt), und es gibt eine kleinste stabile Kreisbahn, jenseits derer Materie unvermeidlich ins Schwarze Loch stürzt.

Wer formulierte Keplers drittes Gesetz?

Das Gesetz wurde von Johannes Kepler 1619 in seinem Werk Harmonices Mundi aufgestellt, auf Grundlage der Beobachtungen von Tycho Brahe. Kepler entdeckte es empirisch als harmonische Beziehung zwischen den Planeten, ohne seine Ursache zu erklären. Isaac Newton leitete es 1687 aus dem Gravitationsgesetz ab und zeigte, dass die Konstante von der Masse des Zentralkörpers abhängt. Es ist das dritte der drei keplerschen Gesetze.

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