Kragarm-Durchbiegungsrechner (δ, σ)

Calcola freccia massima δ, tensione massima σ e momento d'inerzia I di una trave a mensola con carico all'estremità. Formule esatte da resistenza dei materiali, in 5 lingue.

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Was ein Kragarm ist und warum die Berechnung wichtig ist

Ein Kragarm (Cantilever) ist an einem Ende eingespannt und am anderen frei: Balkonauskragungen, Dachüberstände, Konsolen, freitragende Wellen. Unter einer Last am freien Ende biegt sich der Träger, und die Faser an der Einspannstelle ist am stärksten biegebeansprucht. Richtige Dimensionierung heißt zweierlei: der Querschnitt hält (σ < Materialgrenze) und die Durchbiegung bleibt gebrauchstauglich (typisch δ < L/250).

Die drei Formeln dieses Rechners

Für einen Kragarm mit konzentrierter Last F am freien Ende:

  • Trägheitsmoment (Rechteckquerschnitt, neutrale Achse parallel zur Basis): I = b·h³/12. Der geometrische Parameter, der misst, wie stark sich der Querschnitt der Biegung „widersetzt" — er hängt vom Kubus der Höhe ab.
  • Maximale Durchbiegung am freien Ende: δmax = F·L³/(3·E·I). Wächst mit dem Kubus der Länge und nimmt mit dem Trägheitsmoment ab.
  • Maximale Spannung (Randfaser an der Einspannstelle): σmax = Mmax·c/I mit Mmax=F·L und c=h/2, was für einen Rechteckquerschnitt σmax = 6·F·L/(b·h²) ergibt.

Was das Trägheitsmoment bedeutet

Das Trägheitsmoment misst, wie das Material um die neutrale Achse verteilt ist. In der Rechteckformel I=b·h³/12 erhöht eine Verdopplung der Höhe I um das Achtfache, während eine Verdopplung der Basis I nur verdoppelt. Deshalb haben Biegeträger hohe, schmale Querschnitte (IPE-, HEA-Profile, hochkant verlegte Balken): bei gleicher Fläche erhält man viel mehr I, also weniger Durchbiegung und weniger Spannung.

Der E-Modul E: einige typische Werte

Der Elastizitätsmodul ist die intrinsische Steifigkeit des Materials (Spannungs-Dehnungs-Verhältnis im elastischen Bereich). Typische Werte:

  • Baustahl: E ≈ 200 GPa.
  • Aluminium (Legierungen): E ≈ 70 GPa.
  • Kupfer: E ≈ 110 GPa.
  • Beton: E ≈ 25–35 GPa (je nach Klasse).
  • Bauholz: E ≈ 8–13 GPa (parallel zur Faser).
  • Glas: E ≈ 70 GPa.

Höheres E = weniger Durchbiegung bei gleichem Querschnitt. Die Spannung hingegen hängt nicht von E ab: sie hängt nur von F, L und Geometrie ab.

Gebrauchstauglichkeit: warum das Verhältnis L/δ

Neben der Tragfähigkeit (σ < σzul) verlangen Normen, die Durchbiegung aus funktionalen und optischen Gründen zu begrenzen. Typische Grenzwerte im Hochbau (SLS — Gebrauchstauglichkeitsgrenzzustand):

  • L/250 für gewöhnliche Decken und Kragarme.
  • L/300 für sichtbare Elemente oder mit Unterdecke.
  • L/500 für Elemente mit Verglasungen oder empfindlichen Trennwänden.

Der Rechner zeigt L/δ: deutlich über dem Limit heißt „steifer" Kragarm; nahe oder darunter, muss er versteift werden.

Was tun, wenn die Durchbiegung zu hoch ist

Die Durchbiegung skaliert mit L³/(E·I). Zur Reduktion können Sie:

  • Die Höhe h des Querschnitts erhöhen (wirkt kubisch: +26 % h → −50 % δ, sonst gleich).
  • Die Länge L reduzieren (riesiger Einfluss: −20 % L → −50 % δ).
  • Auf ein Material mit höherem E wechseln (Stahl statt Aluminium verdreifacht die Steifigkeit).
  • Eine Zwischenstütze einfügen (macht aus dem Kragarm einen einfach aufgelagerten Träger → viel geringere Durchbiegung).

Grenzen des Modells

Der Rechner setzt voraus: konzentrierte Last am Ende, linear-elastisches Material (kein Fließen), konstanter prismatischer Querschnitt, kleine Verschiebungen (Euler-Bernoulli-Theorie), vernachlässigbare Schubverformung (gültig für schlanke Träger L/h > 10). Eigengewicht, Torsion, Kippen und reale Anschlüsse werden ignoriert. Für endgültige Nachweise ist stets eine Berechnung nach Normen (Eurocodes, nationale Regeln) erforderlich.

Wie der Rechner zu verwenden ist

Geben Sie die Kraft am Ende (in Newton — eine Last von 100 kg ≈ 981 N), die Kraglänge in Metern, den E-Modul des Materials in GPa sowie Basis und Höhe des Rechteckquerschnitts in Millimetern ein. Sie erhalten Trägheitsmoment, maximale Durchbiegung, maximale Spannung an der Einspannfaser, L/δ-Verhältnis (nützlich für den Gebrauchstauglichkeitsnachweis) und eine qualitative Bewertung.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ändert sich, wenn der Querschnitt nicht rechteckig ist?

Die Durchbiegung δ=FL³/(3EI) und das Moment M=FL bleiben gültig; nur das Trägheitsmoment I ändert sich. Für ein Rohr, ein IPE oder einen Rundstab müssen Sie das tabellierte I des Profils verwenden (für einen Vollrundstab mit Durchmesser D: I=πD⁴/64). Die maximale Spannung wird als M·c/I berechnet, wobei c der Abstand der Randfaser von der neutralen Achse ist.

Warum hängt die Durchbiegung von L³ ab?

Die Krümmung des Trägers ist in jedem Punkt proportional zum Biegemoment M(x), das für einen Kragarm mit Endlast linear mit dem Abstand zur Einspannstelle wächst. Beim zweifachen Integrieren der Krümmung zur Bestimmung der Verschiebung (Biegelinie) steigt die Potenz von L auf 3. Deshalb multipliziert eine Verdopplung der Spannweite die Durchbiegung um 8.

Welches Durchbiegungslimit muss ich einhalten?

Es hängt von Norm und Nutzung ab: Für gewöhnliche Decken und Kragarme ist L/250 üblich (Eurocode, quasi-ständige SLS). Für Elemente, die Verglasungen, empfindliche Trennwände oder Deckenputz tragen, sinkt es auf L/500. Für nicht tragende oder rein ästhetische Elemente genügt L/200. Der Rechner zeigt L/δ zum sofortigen Vergleich.

Berücksichtigt die Berechnung das Eigengewicht des Trägers?

Nein: sie berücksichtigt nur die am Ende angebrachte konzentrierte Kraft F. Das Eigengewicht ist eine verteilte Last, die eine zusätzliche Durchbiegung δeg=q·L⁴/(8·E·I) erzeugt und addiert werden muss. Für leichte Querschnitte oder hohe F ist es vernachlässigbar; für große Stahl- oder Betonkragarme muss es separat gerechnet werden.

Hängt die Spannung vom E-Modul E ab?

Nein, die Spannung σmax=6FL/(bh²) hängt nur von Last und Geometrie ab, nicht vom Material. Der E-Modul beeinflusst nur die Durchbiegung. Zwei Kragarme mit identischer Geometrie und Last, einer aus Stahl und einer aus Aluminium, haben dieselbe Spannung, aber der aus Aluminium biegt sich fast dreimal stärker (E ≈ 70 GPa gegenüber 200).

Gilt es auch für große Verschiebungen?

Nein, die Formel basiert auf der Euler-Bernoulli-Theorie und der Annahme kleiner Verschiebungen (geometrische Linearität). Für Durchbiegungen, die groß im Vergleich zu L sind (über etwa 10 %), überschätzt die Formel δ, weil der stark gekrümmte Träger sich „verkürzt" und seine Geometrie sich ändert. Für nichtlineare Fälle ist eine FEM-Analyse mit großen Deformationen erforderlich.

Wie vergleiche ich zwei Materialien?

Der Schlüsselparameter für die Steifigkeit ist E, für die Festigkeit das Verhältnis σzul/Dichte (spezifische Festigkeit). Stahl hat hohes E und σzul ≈ 235 MPa; Aluminium hat etwa 1/3 des E, aber auch etwa 1/3 der Dichte, sodass es pro Masse konkurrenzfähig sein kann. Für die Durchbiegung maximiert man E·I; für die Festigkeit W = I/c (Widerstandsmoment).

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