Come calcolare quartili, IQR e outlier: i quartili dividono il dataset ordinato in quattro parti uguali. Q1 (25° percentile) lascia il 25% dei dati a sinistra; Q2 (50° percentile, mediana) il 50%; Q3 (75° percentile) il 75%. IQR = Q3 − Q1 è la dispersione robusta. Gli outlier mild stanno oltre Q1 − 1.5·IQR o Q3 + 1.5·IQR (regola di Tukey 1977); estremi oltre 3·IQR.

Formula e principi

I quartili sono percentili specifici: Q1 = 25-esimo, Q2 = 50-esimo (mediana), Q3 = 75-esimo. Il calcolo segue diverse convenzioni (R offre 9 metodi). La più diffusa: ordinare i dati, calcolare l'indice idx = (p/100)·(n-1) per il percentile p, interpolare linearmente tra arr[floor(idx)] e arr[ceil(idx)]. L'IQR (Interquartile Range) = Q3 − Q1 è una misura di dispersione robusta agli outlier (a differenza della deviazione standard). Le "fences" di Tukey definiscono outlier: inner fence Q1±1.5·IQR per outlier mild, outer fence Q1±3·IQR per estremi.

Storia e contesto statistico

John Wilder Tukey introdusse il box plot nel suo libro Exploratory Data Analysis (1977), insieme alla regola 1.5·IQR per gli outlier. Tukey è considerato il padre della statistica esplorativa e dell'EDA (Exploratory Data Analysis). Il termine "stem-and-leaf plot" e il concetto di "five-number summary" (min, Q1, mediana, Q3, max) sono suoi contributi. La regola 1.5·IQR è basata sulla distribuzione normale: per N(0,1) IQR ≈ 1.349·σ, quindi 1.5·IQR ≈ 2.024·σ; le fences corrispondono a circa ±2.7σ dalla mediana, contenendo il 99.3% dei dati normali (0.7% di falsi positivi accettato). ASA, ICH E9, FDA Guidance e ISO 16269-4 codificano l'analisi esplorativa.

Tabella di interpretazione

• Range = max − min: misura di dispersione totale, sensibile a outlier
• IQR = Q3 − Q1: dispersione del 50% centrale, robusta agli outlier
• Inner fence: Q1 − 1.5·IQR (basso), Q3 + 1.5·IQR (alto)
• Outer fence: Q1 − 3·IQR, Q3 + 3·IQR
• Mild outliers: tra inner e outer fence
• Extreme outliers: oltre outer fence
• Quartile Coefficient of Dispersion: QCD = (Q3 − Q1)/(Q3 + Q1), confronta dispersioni
• Five-number summary: min, Q1, mediana, Q3, max

Esempi numerici dettagliati

Esempio 1 — dataset simmetrico. Dati 1-10. n=10. Mediana Q2 = 5.5 (media 5 e 6). Q1 = 3.25, Q3 = 7.75. IQR = 4.5. Inner fences: -3.5 e 14.5. Outer fences: -10.25 e 21.25. Nessun outlier. Range = 9, mean = 5.5, SD ≈ 3.03. QCD = (7.75-3.25)/(7.75+3.25) = 0.41.

Esempio 2 — dataset con outlier. Dati: 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 100. Q1 ≈ 14.25, Q2 ≈ 16.5, Q3 ≈ 18.75. IQR = 4.5. Inner fences: 7.5 e 25.5. Il valore 100 è > 25.5 + 1.5·4.5 = 25.5 ma anche > Q3+3·IQR = 32.25 → estremo outlier. Mediana 16.5 vs media 24.1: mediana è più rappresentativa, immune all'outlier 100.

Esempio 3 — distribuzione skewed (positiva). Salari (k€): 25, 28, 30, 32, 33, 35, 38, 42, 45, 60, 80, 150. Q1 = 30.5, Q2 = 36.5, Q3 = 51.25. IQR = 20.75. Inner fence superiore: 82.4. Il valore 150 è oltre 82.4 → mild outlier (tra 82.4 e 113.5 outer). Asimmetria positiva confermata: Q2−Q1 = 6 < Q3−Q2 = 14.75.

Esempio 4 — controllo qualità SPC. Misure di diametro pezzi (mm): 9.98, 10.01, 10.02, 10.00, 9.99, 10.03, 9.97, 10.04, 9.96, 10.05, 11.50 (errore strumento). IQR = 0.04. Inner fences: 9.94 e 10.07. 11.50 è ben oltre, outlier estremo. Trigger ispezione: rimuovere il punto e investigare il processo. ISO 8258 SPC carte di controllo.

Esempio 5 — punteggi esami. 50 studenti voti su 100. Five-number summary: 35, 60, 70, 80, 95. IQR = 80-60 = 20. Inner fence inferiore: 60-30 = 30. Lo studente con 35 NON è outlier (è dentro l'inner fence). Box plot mostra mediana 70 (passing grade), spread 50% centrale tra 60 e 80, range completo 35-95.

Limiti del modello

1. Regola 1.5·IQR è arbitraria: per dati molto skewed può marcare troppi punti come outlier o nessuno.
2. Funziona bene per distribuzioni approssimativamente simmetriche; per skewed asimmetria estrema usare regola adjusted (Hubert-Vandervieren 2008).
3. Per piccoli campioni (n<10) i quartili sono molto instabili.
4. Outlier rilevati ≠ errori di misura: possono essere veri valori estremi (top performer, eventi rari).
5. Per distribuzioni a code grasse (Cauchy, t a basso df), molti "outlier" sono normali.
6. Diverse definizioni di percentile esistono (Hyndman-Fan 1996 elenca 9 metodi).
7. Box plot non rivela bimodalità o forma fine: complementare con istogramma.
8. Per dati discreti con molti valori uguali, quartili possono essere identici.

Errori comuni

1. Calcolare quartili usando metodo diverso da quello di riferimento (Excel QUARTILE.EXC vs INC).
2. Confondere outlier mild (1.5·IQR) con extreme (3·IQR).
3. Rimuovere automaticamente outlier senza investigare la causa.
4. Non considerare bias asimmetrico (la regola 1.5·IQR è simmetrica intorno a Q2).
5. Applicare regola 1.5·IQR a distribuzioni decisamente non normali.
6. Confondere range (max-min) con IQR (Q3-Q1).
7. Non riportare entrambi mediana e media per evidenziare asimmetria.
8. Trattare outlier come errori sempre (pratica statistica errata).

Applicazioni pratiche

1. Quality control: SPC carte di controllo, lotti accettazione (ISO 8258).
2. Esplorazione dati (EDA): prima fase di ogni analisi statistica.
3. Finance: identificazione movimenti di prezzo anomali, trade surveillance.
4. Sanità: valori di laboratorio fuori range (CDC, NHS, ISTAT).
5. Ricerca clinica: outlier handling per ICH E9.
6. Education: distribuzione voti, fasce di merito.
7. HR: retribuzioni outlier (compensation analysis).
8. Sport analytics: performance outlier rispetto al pari.
9. Climatologia: identificazione eventi estremi (NOAA, ECMWF).
10. Cybersecurity: anomaly detection in log e traffico di rete.

Per supporto

Per domande tecniche o segnalazioni: info@calcoi.com. Strumento didattico per analisi quartili e outlier. Per analisi statistiche professionali consultare un biostatistico secondo le linee guida ISTAT, ASA, ICH E9.

Aggiornato a luglio 2026