Géométrie solide: fondamentaux

La géométrie solide étudie les figures dans l'espace 3D. Du calcul volume piscine à la conception de silos, de la capacité d'une bouteille au dimensionnement de ballons: volume et surface sont des outils fondamentaux.

9 figures couvertes

1. Sphère
2. Cube
3. Parallélépipède rectangle
4. Cylindre
5. Cône
6. Pyramide carrée
7. Prisme triangulaire
8. Hémisphère
9. Tore

Formules fondamentales

Sphère

V = (4/3)·π·r³, S = 4·π·r²

Bulles sont sphériques car sphère minimise surface par volume.

Cube

V = a³, S = 6·a². Diagonale = a·√3.

Parallélépipède

V = l·w·h, S = 2·(lw + wh + lh).

Cylindre

V = π·r²·h, S = 2·π·r² + 2·π·r·h

Cône droit

V = (1/3)·π·r²·h (un tiers du cylindre!), S = π·r² + π·r·ℓ où ℓ = √(r²+h²). Découvert par Archimède IIIe siècle av. J.-C.

Pyramide carrée

V = (1/3)·a²·h. Pyramides égyptiennes de Gizeh.

Prisme triangulaire

V = (1/2)·b·h·L. Forme de tentes, toits à deux pans.

Hémisphère

V = (2/3)·π·r³, S = 3·π·r².

Tore

V = 2·π²·R·r², S = 4·π²·R·r (formule avec π²).

Relations entre solides

Principe de Cavalieri (1635)

Deux solides avec même aire de section à chaque hauteur ont même volume. Précurseur du calcul intégral.

Cylindre-sphère-cône inscrits dans cube 2r

• V cylindre = 2π·r³
• V sphère = (4/3)π·r³
• V cône = (2/3)π·r³

Rapport: 3 : 2 : 1. Archimède ~240 av. J.-C. — sa tombe décorée de cette figure (son plus grand résultat).

Formule d'Euler des polyèdres

V − E + F = 2

• Cube: 8 − 12 + 6 = 2
• Tétraèdre: 4 − 6 + 4 = 2

Exemples pratiques

Ballon football

22 cm diamètre: V ≈ 5.575 cm³ ≈ 5,6 litres.

Cuve cylindrique

Rayon 1 m, hauteur 3 m: V ≈ 9.425 litres.

Cône glace

Rayon 3 cm, hauteur 10 cm: V ≈ 94,25 cm³.

Carton emballage

60×40×30 cm: V = 72 litres.

Piscine hémisphérique

Rayon 3 m: V ≈ 56,55 m³ = 56.550 litres.

Propriétés optimales de la sphère

• Maximum rapport volume/surface
• Résistance maximale à pression externe uniforme
• Planètes et étoiles sphériques par auto-gravitation

5 Solides platoniciens

Platon: feu (tétraèdre), terre (cube), air (octaèdre), univers (dodécaèdre), eau (icosaèdre). Euclide démontra que seuls ces 5 existent.

Solides archimédiens

13 polyèdres semi-réguliers. Livre d'Archimède perdu, reconstruit par Kepler 1619.

Volumes naturels

• Terre: V ≈ 1,08 × 10¹² km³
• Soleil: V ≈ 1,41 × 10¹⁸ km³ (1,3 millions × Terre)
• Jupiter: V ≈ 1,43 × 10¹⁵ km³

Pourquoi planètes sphériques?

Au-dessus de masse critique (~500 km rayon), auto-gravitation écrase le corps jusqu'à sphérisation ("équilibre hydrostatique"). Astéroïdes plus petits gardent forme irrégulière.

Architecture historique

• Pyramide de Gizeh: pyramide carrée 146 m de hauteur
• Panthéon Rome: dôme hémisphérique 21,6 m rayon
• Sainte-Sophie Istanbul: dôme sur pendentifs, 32 m diamètre
• Guggenheim NY: spirale Frank Lloyd Wright
• 30 St Mary Axe Londres: ellipsoïde

Loi carré-cube

Doubler rayon: surface × 4, volume × 8.

Conséquences:

• Bébés perdent chaleur plus rapidement
• Baleines ne peuvent vivre à terre (écrasées par leur poids)
• Insectes géants impossibles

Histoire

• ~300 av. J.-C. Euclide: livres XI-XIII Éléments
• ~250 av. J.-C. Archimède: rapports cylindre-sphère-cône
• ~1500 Léonard de Vinci: illustrations solides platoniciens
• 1619 Kepler: Harmonices Mundi
• 1635 Cavalieri: principe des indivisibles
• 1750 Euler: V − E + F = 2

Excel / Sheets / Python

• =PI() * r^2 * h: cylindre
• =(4/3) * PI() * r^3: sphère
• =(1/3) * PI() * r^2 * h: cône

Python: math.pi, math.sqrt.

FAQ

Pourquoi bulles sphériques?

Sphère minimise surface pour volume donné. Tension superficielle pousse à forme minimale.

Cône et cylindre: pourquoi 1/3?

Eudoxe ~370 av. J.-C. exhaustion, rigoureusement Archimède.

Tore avec π²?

Tore = surface engendrée par cercle (π) tournant autour axe (2π). Produit = 2π².

Volume vs capacité?

Conceptuellement égaux. Volume = espace occupé, capacité = fluide contenable.

Formes irrégulières?

Décomposer en solides réguliers, ou méthode Archimède (immersion).

Solides de révolution

Les solides de révolution s'obtiennent en faisant tourner une figure plane autour d'un axe:

• Sphère: rotation d'un demi-cercle
• Cylindre: rotation d'un rectangle
• Cône: rotation d'un triangle rectangle
• Tore: rotation d'un cercle autour d'axe externe
• Ellipsoïde: rotation d'une ellipse
• Paraboloïde: rotation d'une parabole (antennes satellites)

Toutes ont symétrie axiale. Les plus faciles à fabriquer au tour mécanique.

Intégrales et volumes

Le calcul intégral permet de dériver toutes les formules de volume. Méthode du disque:

V = π · ∫_a^b [f(x)]² dx

où f(x) est le rayon du disque à hauteur x.

Théorème de Pappus-Guldin

Pour solides de révolution:

V = A · 2π·d

où A est l'aire de la figure qui tourne et d la distance du centroïde à l'axe. Exemple tore: cercle aire π·r² avec centre à distance R → V = 2π²·R·r² ✓

Empilement de sphères

Combien d'espace remplissent des sphères identiques empilées?

• Empilement désordonné: ~64%
• Empilement optimal CFC/HCP: π/(3√2) ≈ 74,05% (Conjecture de Kepler 1611, démontrée par Hales 2005)
• Restant 26% d'espace vide

Applications: structure cristalline des métaux, empilement d'oranges, médecine (sphères médicamenteuses).

Solides non-convexes

Tous les solides ne sont pas convexes. Exemples:

• Étoile tétraédrique: octaèdre étoilé
• Solides de Kepler-Poinsot: 4 polyèdres non-convexes réguliers
• Éponge de Menger: fractale avec volume → 0 mais surface → ∞
• Topologie: donut, Möbius, bouteille de Klein — étude des formes sans se focaliser sur la taille

Mis à jour en juillet 2026