Calculadora volumen y superficie: 9 sólidos geométricos

Calcula volumen y superficie de esfera, cilindro, cono, cubo, paralelepípedo, pirámide, prisma, semiesfera, toro. Fórmulas geométricas puras evergreen.

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Geometría sólida: fundamentos

La geometría sólida estudia figuras en espacio 3D. Desde cálculo volumen piscina a diseño silos, desde capacidad botella a dimensión pelotas: volumen y superficie son herramientas fundamentales.

9 figuras cubiertas

  1. Esfera
  2. Cubo
  3. Paralelepípedo rectangular
  4. Cilindro
  5. Cono
  6. Pirámide cuadrada
  7. Prisma triangular
  8. Semiesfera
  9. Toro

Fórmulas fundamentales

Esfera

V = (4/3)·π·r³, S = 4·π·r²

Burbujas son esféricas porque esfera minimiza superficie por volumen.

Cubo

V = a³, S = 6·a². Diagonal = a·√3.

Paralelepípedo

V = l·w·h, S = 2·(lw + wh + lh). Diagonal = √(l²+w²+h²).

Cilindro

V = π·r²·h, S = 2·π·r² + 2·π·r·h

Cono recto

V = (1/3)·π·r²·h (un tercio del cilindro!), S = π·r² + π·r·ℓ donde ℓ = √(r²+h²). Descubierto por Arquímedes siglo III a.C.

Pirámide cuadrada

V = (1/3)·a²·h. Pirámides egipcias de Giza.

Prisma triangular

V = (1/2)·b·h·L. Forma tiendas de campaña, techos a dos aguas.

Semiesfera

V = (2/3)·π·r³, S = 3·π·r².

Toro

V = 2·π²·R·r², S = 4·π²·R·r (fórmula con π²).

Relaciones entre sólidos

Principio de Cavalieri (1635)

Dos sólidos con misma área de sección a cada altura tienen mismo volumen. Precursor del cálculo integral.

Cilindro-esfera-cono inscritos en cubo 2r

  • V cilindro = 2π·r³
  • V esfera = (4/3)π·r³
  • V cono = (2/3)π·r³

Razón: 3 : 2 : 1. Arquímedes ~240 a.C. — su tumba decorada con esta figura (su mayor logro).

Fórmula de Euler poliedros

V − E + F = 2

  • Cubo: 8 − 12 + 6 = 2
  • Tetraedro: 4 − 6 + 4 = 2

Ejemplos prácticos

Balón fútbol

22 cm diámetro: V ≈ 5.575 cm³ ≈ 5,6 litros.

Depósito cilíndrico

Radio 1 m, altura 3 m: V ≈ 9.425 litros.

Cono helado

Radio 3 cm, altura 10 cm: V ≈ 94,25 cm³.

Caja embalaje

60×40×30 cm: V = 72 litros.

Piscina semiesférica

Radio 3 m: V ≈ 56,55 m³ = 56.550 litros.

Propiedades óptimas esfera

  • Máxima razón volumen/superficie
  • Máxima resistencia a presión externa uniforme
  • Planetas y estrellas esféricos por autogravedad

5 Sólidos platónicos

SólidoCarasVérticesAristas
Tetraedro4 triángulos46
Cubo6 cuadrados812
Octaedro8 triángulos612
Dodecaedro12 pentágonos2030
Icosaedro20 triángulos1230

Platón: fuego (tetraedro), tierra (cubo), aire (octaedro), universo (dodecaedro), agua (icosaedro). Euclides demostró que sólo estos 5 existen.

Sólidos arquimedianos

13 poliedros semi-regulares. Libro de Arquímedes perdido, reconstruidos por Kepler 1619.

Volúmenes naturales

  • Tierra: V ≈ 1,08 × 10¹² km³
  • Sol: V ≈ 1,41 × 10¹⁸ km³ (1,3 millones × Tierra)
  • Júpiter: V ≈ 1,43 × 10¹⁵ km³

¿Por qué planetas esféricos?

Sobre masa crítica (~500 km radio), autogravedad aplasta cuerpo hasta esferización ("equilibrio hidrostático"). Asteroides menores conservan forma irregular.

Arquitectura histórica

  • Pirámide de Giza: pirámide cuadrada 146 m altura
  • Panteón Roma: cúpula semiesférica 21,6 m radio
  • Santa Sofía Estambul: cúpula sobre pechinas, 32 m diámetro
  • Guggenheim NY: espiral Frank Lloyd Wright
  • 30 St Mary Axe Londres (Gherkin): elipsoide

Ley del cuadrado-cubo

Duplicando radio: superficie × 4, volumen × 8.

Consecuencias:

  • Bebés pierden calor más rápido
  • Ballenas no pueden vivir en tierra (aplastadas)
  • Insectos gigantes imposibles

Historia

  • ~300 a.C. Euclides: libros XI-XIII Elementos
  • ~250 a.C. Arquímedes: razones cilindro-esfera-cono
  • ~1500 Leonardo: ilustraciones sólidos platónicos
  • 1619 Kepler: Harmonices Mundi
  • 1635 Cavalieri: principio indivisibles
  • 1750 Euler: V − E + F = 2

Excel / Sheets / Python

  • =PI() * r^2 * h: cilindro
  • =(4/3) * PI() * r^3: esfera
  • =(1/3) * PI() * r^2 * h: cono

Python: math.pi, math.sqrt.

FAQ

¿Por qué burbujas esféricas?

Esfera minimiza superficie por volumen. Tensión superficial empuja a forma mínima.

Cono y cilindro: ¿por qué 1/3?

Eudoxo ~370 a.C. método exhaustión, rigurosamente Arquímedes.

¿Toro con π²?

Toro = superficie generada por círculo (π) rotado sobre eje (2π). Producto = 2π².

¿Volumen vs capacidad?

Conceptualmente iguales. Volumen = espacio ocupado, capacidad = fluido contenible.

¿Formas irregulares?

Descomponer en sólidos regulares, o método Arquímedes (inmersión en agua).

Sólidos de revolución

Los sólidos de revolución se obtienen rotando una figura plana alrededor de un eje:

  • Esfera: rotación de semicírculo
  • Cilindro: rotación de rectángulo
  • Cono: rotación de triángulo rectángulo
  • Toro: rotación de círculo alrededor de eje externo
  • Elipsoide: rotación de elipse
  • Paraboloide: rotación de parábola (antenas satelitales)

Todas tienen simetría axial. Son los sólidos más fáciles de fabricar en torno mecánico.

Integrales y volúmenes

El cálculo integral permite derivar todas las fórmulas de volumen. Método del disco:

V = π · ∫ab [f(x)]² dx

donde f(x) es el radio del disco a altura x. Demostración moderna y elegante de fórmulas descubiertas por Arquímedes.

Teorema de Pappus-Guldin

Para sólidos de revolución:

V = A · 2π·d

donde A es el área de la figura que gira y d es la distancia del centroide al eje. Ejemplo toro: círculo área π·r² con centro a distancia R → V = π·r² · 2π·R = 2π²·R·r² ✓

Empaquetamiento esferas

¿Cuánto espacio llenan esferas idénticas empaquetadas?

  • Empaquetamiento desordenado: ~64% (cercan densidad física)
  • Empaquetamiento óptimo FCC/HCP: π/(3√2) ≈ 74,05% (Conjetura Kepler 1611, demostrada Hales 2005)
  • Quedando 26% de espacio vacío

Aplicaciones: estructura cristalina metales, empaquetamiento naranjas en cajón, medicina (esferas fármacos).

Sólidos no-convexos

No todos los sólidos son convexos. Ejemplos:

  • Estrella tetraédrica: octaedro estrellado
  • Solidi di Kepler-Poinsot: 4 poliedros no-convexos regulares
  • Menger spugna: fractal con volumen → 0 ma superficie → ∞
  • Topology: donut, Möbius, bottiglia di Klein — studio formas sin enfocarse en tamaño

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el volumen de una esfera?

El volumen de una esfera es V = (4/3)·π·r³, donde r es el radio. Crece con el cubo del radio: al duplicar r el volumen se hace ocho veces mayor. Por ejemplo, una esfera de radio 3 tiene volumen (4/3)·π·27 ≈ 113,1. La fórmula fue demostrada por Arquímedes.

¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro?

El volumen de un cilindro es V = π·r²·h, es decir el área del círculo de base (π·r²) por la altura h. Por ejemplo, un cilindro de radio 2 y altura 5 tiene volumen π·4·5 ≈ 62,83. La superficie total es 2π·r² + 2π·r·h.

¿Cómo se calcula el volumen de un cono?

El volumen de un cono es V = (1/3)·π·r²·h, exactamente un tercio del cilindro con la misma base y altura. La generatriz (lado oblicuo) vale ℓ = √(r²+h²), usada para la superficie lateral π·r·ℓ. La pirámide también sigue la regla del tercio: V = (1/3)·área base·h.

¿Cuál es la razón entre cono, esfera y cilindro?

Arquímedes descubrió que, para sólidos con el mismo radio r y altura 2r, los volúmenes de cono, esfera y cilindro están en razón 1:2:3. El cono es un tercio del cilindro, la esfera dos tercios. Estaba tan orgulloso que lo hizo grabar en su tumba.

¿Cómo se calcula el volumen de un ortoedro?

El volumen de un ortoedro (o caja) es V = largo × ancho × alto. Por ejemplo, una caja 4×3×2 tiene volumen 24. La superficie total es 2(lw + wh + lh) y la diagonal interna √(l²+w²+h²). El cubo es el caso particular con todos los lados iguales.

¿En qué unidades se mide el volumen?

La unidad SI es el metro cúbico (m³). En la práctica se usan el litro (1 L = 1 dm³, así que 1 m³ = 1000 L) y el centímetro cúbico (cm³). Cuidado con las conversiones: 1 m³ = 1.000.000 cm³. Para líquidos se prefiere el litro, para sólidos el metro cúbico.

¿Para qué sirve calcular el volumen?

Sirve para determinar la capacidad de recipientes y depósitos, la cantidad de material en construcción (hormigón, tierra), la dosificación de líquidos, la estimación de masas conocida la densidad (masa = volumen × densidad), y en física, ingeniería, química y diseño de todo tipo.

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