Calculateur théorème de Pythagore: a² + b² = c² triangle rectangle

Calculateur théorème de Pythagore: trouve hypoténuse ou cathète. Aire, périmètre, angles. Triplets pythagoriciens (3-4-5, 5-12-13), démonstrations, histoire.

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Théorème de Pythagore: a² + b² = c²

Le théorème de Pythagore est le plus célèbre des mathématiques: dans un triangle rectangle, la somme des carrés des cathètes (côtés formant l'angle droit) égale le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit). a² + b² = c². Cette calculatrice résout 4 modes: hypoténuse, cathète, ou triangle complet.

Formules

  • c = √(a² + b²)
  • a = √(c² − b²)
  • b = √(c² − a²)
  • Aire = ½·a·b
  • Périmètre = a + b + c
  • sin(α) = a/c, cos(α) = b/c, tan(α) = a/b

L'hypoténuse est TOUJOURS le côté le plus long.

Triplets pythagoriciens

TripletVérificationPrimitif
(3, 4, 5)9+16=25Oui
(5, 12, 13)25+144=169Oui
(8, 15, 17)64+225=289Oui
(7, 24, 25)49+576=625Oui
(20, 21, 29)400+441=841Oui
(9, 40, 41)81+1600=1681Oui

Formule d'Euclide

m>n>0, PGCD(m,n)=1, m-n impair: (m²−n², 2mn, m²+n²). Génère une infinité de triplets primitifs.

Exemples

Échelle contre mur

Échelle 5 m, base 3 m: hauteur = √(25-9) = 4 m.

Diagonale rectangle

8×6 m: d = 10 m.

Distance 2D

P₁(1,2), P₂(4,6): d = 5.

TV 55" 16:9

Largeur 48", hauteur 27".

Arbre 45°

Distance 30 m, élévation 45°: hauteur 30 m.

Démonstrations

Euclide (livre I, 47)

Similarité triangles.

Algébrique

Carré côté (a+b) avec 4 triangles.

Garfield (1876)

20e président USA utilisa trapèze.

Théorème réciproque

Si a² + b² = c² alors triangle rectangle. Méthode 3-4-5 des maçons. Égyptiens il y a 4000 ans avec corde à 12 nœuds.

Applications

Géométrie

  • Diagonales rectangles, cubes
  • Distances 2D et 3D
  • Hauteurs triangles équilatéraux (h=L·√3/2)

Construction

  • Vérification angles droits
  • Coupes 45°
  • Escaliers, rampes
  • Pente toits

Navigation

  • Distances carte
  • Triangulation (GPS)

Informatique

  • Distance pixels
  • Détection collisions
  • Normalisation vecteurs

Physique

  • Module vecteurs
  • Résultante forces perpendiculaires
  • Vitesse oblique

Trigonométrie

  • sin²α + cos²α = 1

Loi des cosinus: généralisation

Pour tout triangle: c² = a² + b² − 2ab·cos(γ). Si γ=90°: Pythagore.

3D

Diagonale parallélépipède: d = √(a² + b² + c²). En n dimensions: √(Σxᵢ²).

Histoire

Babyloniens (1800 av. J.-C.): tablette Plimpton 322.

Égyptiens (2000 av. J.-C.): 3-4-5 pyramides.

Indiens (Baudhayana, 800 av. J.-C.): Sulba Sutras.

Pythagore (570-495 av. J.-C.): première démonstration.

Euclide (300 av. J.-C.): démonstration rigoureuse.

Fermat (1637): dernier théorème (n>2). Prouvé 1995 par Wiles.

Mathématiques modernes

  • Espaces métriques
  • Norme L²
  • Mécanique quantique (Hilbert)
  • Relativité (Minkowski)

FAQ

Formule?

a² + b² = c², triangles rectangles uniquement.

Hypoténuse?

c = √(a² + b²).

Cathète?

a = √(c² − b²).

Triplet pythagoricien?

Entiers (a,b,c) avec a²+b²=c². Infinité.

Toujours valide?

Seulement triangles rectangles.

Qui l'a découvert?

Connu avant Pythagore. Pythagore première démonstration.

3D?

Oui. d = √(a²+b²+c²).

Méthode 3-4-5

3 m + 4 m perpendiculaire + 5 m diagonale → angle droit.

Pythagore et π

Cercle rayon r: aire πr². Carré inscrit côté r√2.

Erreurs courantes

  • Appliquer à non rectangles
  • Confondre hypoténuse et cathète
  • Oublier racine carrée
  • Géométrie non euclidienne

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?

C'est la relation a² + b² = c² valable dans tout triangle rectangle : le carré construit sur l'hypoténuse (le plus long côté, opposé à l'angle droit) égale la somme des carrés construits sur les deux cathètes. C'est l'un des théorèmes les plus anciens et les plus utilisés des mathématiques, connu des Babyloniens et démontré par Pythagore au VIe siècle av. J.-C.

Comment calcule-t-on l'hypoténuse ?

On additionne les carrés des deux cathètes et on prend la racine carrée : c = √(a² + b²). Par exemple, avec des cathètes 3 et 4 : c = √(9 + 16) = √25 = 5. L'hypoténuse est toujours le plus long côté du triangle rectangle, opposé à l'angle de 90°. Il suffit de connaître les longueurs des deux cathètes.

Comment calcule-t-on une cathète connaissant l'hypoténuse et l'autre cathète ?

On soustrait le carré de la cathète connue du carré de l'hypoténuse et on prend la racine : a = √(c² − b²). Par exemple, avec une hypoténuse 13 et une cathète 5 : a = √(169 − 25) = √144 = 12. L'hypoténuse doit toujours être supérieure à chaque cathète, sinon le triangle n'existe pas.

Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien ?

C'est un ensemble de trois entiers positifs qui satisfont a² + b² = c², comme (3, 4, 5), (5, 12, 13) et (8, 15, 17). Un triplet est primitif si les trois nombres n'ont pas de diviseurs communs. Tout multiple d'un triplet reste pythagoricien : (6, 8, 10) est le double de (3, 4, 5). Ils sont utilisés depuis des millénaires pour construire des angles droits.

Quand peut-on appliquer le théorème de Pythagore ?

Seulement aux triangles rectangles, c'est-à-dire avec un angle d'exactement 90°. Si le triangle n'a pas d'angle droit, la relation a² + b² = c² ne vaut pas et il faut utiliser le théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) : c² = a² + b² − 2ab·cos(γ), qui se réduit à Pythagore précisément quand γ = 90° (car cos 90° = 0).

Comment vérifie-t-on qu'un triangle est rectangle ?

On applique la réciproque du théorème : si les trois côtés satisfont a² + b² = c², où c est le plus long côté, alors le triangle est rectangle. Par exemple 6, 8, 10 donne 36 + 64 = 100 = 10², il est donc rectangle. Si a² + b² est supérieur à c² le triangle est acutangle, s'il est inférieur il est obtusangle.

À quoi sert le théorème de Pythagore ?

Il est utilisé partout : en construction et menuiserie pour bâtir des angles droits et vérifier l'équerrage, en topographie et navigation pour calculer des distances, en graphisme et jeux vidéo pour mesurer des distances entre points, et comme base de la trigonométrie et de la géométrie analytique. C'est un outil mathématique fondamental en ingénierie et architecture.

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