Calculadora teorema de Pitágoras: a² + b² = c² triángulo rectángulo

Calculadora teorema de Pitágoras: encuentra hipotenusa o cateto. Área, perímetro, ángulos. Ternas pitagóricas (3-4-5, 5-12-13), demostraciones, historia.

Parámetros de cálculo
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Teorema de Pitágoras: a² + b² = c²

El teorema de Pitágoras es el más famoso de las matemáticas: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos (lados que forman el ángulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto). a² + b² = c². Esta calculadora resuelve en 4 modos: hipotenusa, cateto, o triángulo completo.

Fórmulas

  • c = √(a² + b²)
  • a = √(c² − b²)
  • b = √(c² − a²)
  • Área = ½·a·b
  • Perímetro = a + b + c
  • sin(α) = a/c, cos(α) = b/c, tan(α) = a/b

La hipotenusa es SIEMPRE el lado más largo.

Ternas pitagóricas

TernaVerificaciónPrimitiva
(3, 4, 5)9+16=25Sí
(5, 12, 13)25+144=169Sí
(8, 15, 17)64+225=289Sí
(7, 24, 25)49+576=625Sí
(20, 21, 29)400+441=841Sí
(9, 40, 41)81+1600=1681Sí

Fórmula de Euclides

Con m>n>0, GCD(m,n)=1, m-n impar: (m²−n², 2mn, m²+n²) es primitiva. Genera infinitas ternas.

Ejemplos numéricos

Escalera contra pared

Escalera 5 m, base a 3 m: altura = √(25-9) = 4 m.

Diagonal rectángulo

8×6 m: d = √(64+36) = 10 m.

Distancia 2D

P₁(1,2), P₂(4,6): Δx=3, Δy=4, d = 5.

TV 55 pulgadas 16:9

k = 55/√337 ≈ 3: ancho 48", alto 27".

Árbol 45°

Distancia 30 m, ángulo 45°: altura 30 m, línea visión 30√2 ≈ 42,43 m.

Demostraciones

Euclides (libro I, 47)

Semejanza triángulos con altura a hipotenusa.

Algebraica

Cuadrado de lado (a+b) con 4 triángulos dentro. (a+b)² = 4·(½ab) + c² → a² + b² = c².

Garfield (1876)

El 20° presidente EEUU publicó una demostración con trapecio.

Teorema inverso

Si a² + b² = c² entonces el triángulo es rectángulo. Método albañil 3-4-5 para verificar ángulos rectos. Usado por egipcios hace 4000 años.

Aplicaciones

Geometría

  • Diagonales rectángulos, cubos
  • Distancias 2D y 3D
  • Alturas triángulos equiláteros (h=L·√3/2)

Construcción

  • Verificación ángulos rectos
  • Cortes 45°
  • Escaleras, rampas
  • Pendiente techos

Navegación

  • Distancias en mapas
  • Triangulación (GPS)

Computación

  • Distancia píxeles
  • Detección colisiones
  • Normalización vectores

Física

  • Módulo vectores
  • Resultante fuerzas perpendiculares
  • Velocidad oblicua

Trigonometría

  • sin²α + cos²α = 1 (Pitágoras con hipotenusa 1)

Teorema del coseno: generalización

Para cualquier triángulo: c² = a² + b² − 2ab·cos(γ). Si γ=90°: cos(90°)=0 → Pitágoras.

Extensión 3D

Diagonal caja a×b×c: d = √(a² + b² + c²). En n dimensiones: √(Σxᵢ²).

Historia

Babilonios (1800 a.C.): tablilla Plimpton 322 con 15 ternas.

Egipcios: terna 3-4-5 en pirámides.

Indios (Baudhayana, 800 a.C.): Sulba Sutras.

Pitágoras (570-495 a.C.): primera demostración general. Sacrificó 100 bueyes según tradición.

Euclides (300 a.C.): demostración rigurosa.

Fermat (1637): Último Teorema (aⁿ+bⁿ=cⁿ sin soluciones para n>2). Demostrado 1995 por Wiles.

Matemáticas modernas

  • Espacios métricos: distancia euclídea
  • Norma L² = √(Σxᵢ²)
  • Mecánica cuántica: |ψ|² = Σ|cᵢ|² (Hilbert)
  • Relatividad: métrica Minkowski ds² = dx² + dy² + dz² − c²dt²

FAQ

¿Fórmula?

a² + b² = c², c hipotenusa, a,b catetos. Solo triángulos rectángulos.

¿Hipotenusa?

c = √(a² + b²). Ej: 3,4 → 5.

¿Cateto?

a = √(c² − b²). Ej: c=5, b=4 → a=3.

¿Terna pitagórica?

Enteros (a,b,c) con a²+b²=c². Infinitas ternas.

¿Siempre válido?

Solo triángulos rectángulos. Sino teorema coseno.

¿Quién lo descubrió?

Conocido por babilonios, egipcios, indios antes de Pitágoras. Pitágoras dio primera demostración formal.

¿Existe en 3D?

Sí. Diagonal caja √(a²+b²+c²).

Método albañil 3-4-5

  1. 3 m un lado
  2. 4 m perpendicular
  3. Hipotenusa debe ser 5 m

Si 5 m exacto → ángulo recto.

Pitágoras y π

Círculo radio r: área πr². Cuadrado inscrito lado r√2. Relación π/2 ≈ 1,571.

Errores comunes

  • Aplicar a no rectángulos
  • Confundir hipotenusa con cateto
  • Olvidar raíz cuadrada
  • Grados vs longitudes
  • Ignorar geometría no euclídea

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Qué es el teorema de Pitágoras?

Es la relación a² + b² = c² válida en todo triángulo rectángulo: el cuadrado construido sobre la hipotenusa (el lado más largo, opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los dos catetos. Es uno de los teoremas más antiguos y usados de las matemáticas, conocido por los babilonios y demostrado por Pitágoras en el siglo VI a.C.

¿Cómo se calcula la hipotenusa?

Se suman los cuadrados de los dos catetos y se saca la raíz cuadrada: c = √(a² + b²). Por ejemplo, con catetos 3 y 4: c = √(9 + 16) = √25 = 5. La hipotenusa es siempre el lado más largo del triángulo rectángulo, opuesto al ángulo de 90°. Basta conocer las longitudes de los dos catetos.

¿Cómo se calcula un cateto conociendo la hipotenusa y el otro cateto?

Se resta el cuadrado del cateto conocido del cuadrado de la hipotenusa y se saca la raíz: a = √(c² − b²). Por ejemplo, con hipotenusa 13 y un cateto 5: a = √(169 − 25) = √144 = 12. La hipotenusa siempre debe ser mayor que cada cateto, de lo contrario el triángulo no existe.

¿Qué es una terna pitagórica?

Es un conjunto de tres enteros positivos que satisfacen a² + b² = c², como (3, 4, 5), (5, 12, 13) y (8, 15, 17). Una terna es primitiva si los tres números no tienen divisores comunes. Todo múltiplo de una terna sigue siendo pitagórico: (6, 8, 10) es el doble de (3, 4, 5). Se usan desde hace milenios para construir ángulos rectos.

¿Cuándo se puede aplicar el teorema de Pitágoras?

Solo a los triángulos rectángulos, es decir con un ángulo de exactamente 90°. Si el triángulo no tiene un ángulo recto, la relación a² + b² = c² no vale y hay que usar el teorema del coseno: c² = a² + b² − 2ab·cos(γ), que se reduce a Pitágoras precisamente cuando γ = 90° (porque cos 90° = 0).

¿Cómo se verifica si un triángulo es rectángulo?

Se aplica el recíproco del teorema: si los tres lados satisfacen a² + b² = c², donde c es el lado más largo, entonces el triángulo es rectángulo. Por ejemplo 6, 8, 10 da 36 + 64 = 100 = 10², así que es rectángulo. Si a² + b² es mayor que c² el triángulo es acutángulo, si es menor es obtusángulo.

¿Para qué sirve el teorema de Pitágoras?

Se usa en todas partes: en construcción y carpintería para construir ángulos rectos y verificar la escuadra, en topografía y navegación para calcular distancias, en gráficos y videojuegos para medir distancias entre puntos, y como base de la trigonometría y la geometría analítica. Es una herramienta matemática fundamental en ingeniería y arquitectura.

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