Calculateur mouvement parabolique: portée, hauteur, temps de vol

Calculateur mouvement parabolique: portée R = v₀²sin(2θ)/g, hauteur h, temps t, vitesse impact. Formules cinématiques, 45° optimal, exemples foot volley.

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Mouvement parabolique: cinématique du lancer

Le mouvement parabolique décrit la trajectoire d'un corps lancé avec vitesse initiale v₀ et angle θ sur l'horizontale, soumis uniquement à la gravité g. La trajectoire est une parabole parfaite sans résistance de l'air. Cette calculatrice résout portée R, hauteur max h, temps de vol t, vitesse d'impact et angle d'arrivée.

Formules fondamentales

Composantes de la vitesse initiale:

  • v_x = v₀ · cos(θ)
  • v_y = v₀ · sin(θ)

Sur sol plat (h₀=0):

  • Portée: R = v₀² · sin(2θ) / g
  • Hauteur: h = v₀² · sin²(θ) / (2g)
  • Temps vol: t = 2v₀ · sin(θ) / g
  • Temps au zénith: t_apex = v₀ · sin(θ) / g
  • Vitesse impact: v = v₀ (symétrie)

L'angle optimal 45°

R est maximum quand sin(2θ)=1 → θ = 45° sur sol plat sans frottement. Angles complémentaires (30° et 60°) donnent même portée mais hauteurs et temps différents.

Comparaison 30° vs 45° vs 60° (v₀=20 m/s)

AngleR (m)h (m)t (s)
30°35,315,102,04
45°40,7710,192,89
60°35,3115,293,53
90°020,394,08

Lancer depuis hauteur h₀ > 0

Le temps de vol augmente: t = (v_y + √(v_y² + 2g·h₀)) / g. Portée R = v_x · t > R(h₀=0). Angle optimal maintenant inférieur à 45°: θ_opt = arctan(v₀ / √(v₀² + 2g·h₀)).

Exemples pratiques

Ballon frappé

v₀=25 m/s, θ=30° → R = 55,2 m, h = 7,96 m, t = 2,55 s.

Service volley

v₀=15 m/s, θ=8°, h₀=2,2 m → R ≈ 13,6 m, t ≈ 0,92 s.

Lancer du poids

Athlète pro: v₀≈13 m/s, θ≈38° (optimal depuis h₀=2,1 m) → R ≈ 22 m.

Flèche arc composé

v₀=55 m/s, θ=1,5°, h₀=1,5 m → portée ≈ 17 m.

Dérivation

De F=ma avec g constant:

  • a_x = 0, v_x(t) = v₀·cos(θ)
  • a_y = -g, v_y(t) = v₀·sin(θ) - g·t
  • x(t) = v_x · t
  • y(t) = h₀ + v_y·t − ½g·t²

y(t)=0 donne t; substituer dans x(t) donne R.

Résistance de l'air

Modèle idéal OK pour objets denses à basse vitesse. Pour objets légers ou rapides:

  • Réduit portée 10-40%
  • Réduit hauteur
  • Trajectoire asymétrique (descente plus raide)
  • Angle optimal réel: 30-42°

F_traînée = ½·ρ·C_d·A·v² (C_d≈0,47 sphère).

Effets secondaires

  • Effet Magnus (balles tournantes)
  • Vent
  • Variation g (pôles 9,83; équateur 9,78)
  • Coriolis (artillerie longue portée)

Applications

Sports

  • Football (tirs, coup francs)
  • Basket (arcs hauts)
  • Base-ball (home runs 130-150 m)
  • Volley-ball (services)
  • Athlétisme (saut, poids, disque, javelot)
  • Golf (drives 300 m)

Militaire

  • Artillerie antique et moderne
  • Tables de tir

Ingénierie

  • Arroseurs
  • Pompes pompiers
  • Animation jeux vidéo

Astronomie

  • Satellites (limite vitesse orbitale)
  • Sondes interplanétaires
  • Rentrées atmosphériques

Équation cartésienne

En éliminant t: y = h₀ + x·tan(θ) − (g·x²) / (2·v₀²·cos²θ). Parabole ouverte vers le bas.

Cas particuliers

Angles complémentaires

30° et 60° même portée (sans drag, h₀=0). L'un bas-rapide, l'autre haut-lent.

Lancer vertical (θ=90°)

Pas de portée horizontale. h_max = v₀²/(2g). t = 2v₀/g.

Lancer horizontal (θ=0°)</h3

Chute parabolique. t = √(2h₀/g). R = v₀·√(2h₀/g).

45° avec h₀ > 0

Angle optimal descend sous 45°. Pour h₀=2 m, v₀=20 m/s → θ_opt ≈ 43,5°.

Conservation de l'énergie

Énergie mécanique totale constante (sans frottement):

½m·v² + m·g·h = constante

  • Lancer: E = ½m·v₀² + m·g·h₀
  • Zénith: E = ½m·v_x² + m·g·h_max
  • Impact: E = ½m·v_impact²

v_impact = √(v₀² + 2g·h₀).

FAQ

Angle optimal pour portée max?

45° sol plat sans air. h₀>0: inférieur à 45°. Avec air: 30-42°.

Pourquoi 30° et 60° même portée?

sin(60°) = sin(120°). Angles complémentaires partagent sin(2θ). Mais 60° vole plus haut et plus longtemps.

Comment l'air affecte le mouvement?

Réduit portée et hauteur. Trajectoire asymétrique. Angle optimal réel: 30-42°.

La formule marche-t-elle sur la Lune?

Oui, avec g lunaire = 1,62 m/s². Portée lunaire ≈ 6× terrestre.

Portée max vide vs air?

Vide: 45°. Air: 30-42°. Record poids: 38°.

Comment savoir si passe un obstacle?

Calculer y(x_obstacle). Si y > h_obstacle, passe dessus.

Vitesse impact égale vitesse lancer?

Seulement si h₀=0 sans air. Avec h₀>0: v_impact = √(v₀² + 2g·h₀) > v₀.

Histoire

Aristote (IVe s. av. J.-C.): trajectoire droite puis chute verticale. Erroné mais dominant 2000 ans.

Tartaglia (1537, Nova Scientia): premières tables de tir.

Galilée (1638, Discorsi): prouve mathématiquement la parabole.

Newton (1687): F=ma unifie la mécanique.

Balistique moderne: dynamique des fluides, simulations.

Calcul inverse: angle pour cible

Donnés v₀ et coordonnées (x, y), deux angles possibles:

tan(θ) = (v₀² ± √(v₀⁴ − g·(g·x² + 2·y·v₀²))) / (g·x)

Solution réelle si discriminant ≥ 0. Angle bas plus rapide (moins de vent), angle haut plus lent.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le mouvement parabolique ?

C'est le mouvement d'un corps lancé dans l'espace soumis uniquement à la gravité : la trajectoire est une parabole. Il se décompose en deux mouvements indépendants, un horizontal à vitesse constante et un vertical uniformément accéléré vers le bas. Le calculateur combine les deux composantes pour déterminer portée, hauteur maximale et temps de vol.

Comment calcule-t-on la portée d'un projectile ?

Pour un lancer au niveau du sol, R = v₀²·sin(2θ)/g, où v₀ est la vitesse initiale, θ l'angle et g l'accélération de la pesanteur. Un lancer à 20 m/s à 45° atteint environ 40,8 m. Avec une hauteur de départ h₀, la portée augmente car le projectile reste plus longtemps en l'air ; le calculateur utilise la formule complète.

Pourquoi l'angle de 45° donne-t-il la portée maximale ?

Parce qu'à vitesse initiale égale, le produit sin(2θ) est maximal quand 2θ = 90°, soit θ = 45° : c'est le meilleur compromis entre la composante horizontale (qui projette loin) et la verticale (qui maintient en l'air). Cela ne vaut que sur terrain plat sans frottement ; avec une hauteur de départ, l'angle optimal descend sous 45°.

Comment calcule-t-on la hauteur maximale ?

Avec h = h₀ + v₀²·sin²θ/(2g) : elle dépend de la composante verticale de la vitesse initiale. Au sommet, la vitesse verticale est nulle et il ne reste que l'horizontale. Un lancer à 20 m/s à 45° atteint environ 10,2 m au-dessus du point de départ. Le calculateur donne aussi le temps jusqu'au sommet, vy/g.

La masse du projectile influe-t-elle sur la trajectoire ?

Non, en l'absence de résistance de l'air : tous les corps tombent avec la même accélération g quelle que soit la masse, comme Galilée l'a démontré. Une plume et un boulet de canon lancés à l'identique suivraient la même parabole dans le vide. La masse ne compte que pour l'énergie cinétique, pas pour la forme de la trajectoire.

Comment l'énergie se conserve-t-elle dans le mouvement parabolique ?

L'énergie mécanique totale reste constante : l'énergie cinétique se convertit en potentielle en montant et inversement en descendant. La vitesse à l'impact vérifie ½v² = ½v₀² + g·h₀, elle ne dépend donc que de la vitesse initiale et de la hauteur, pas de l'angle. Le calculateur vérifie cette conservation et montre les énergies à chaque phase.

Le modèle tient-il compte de la résistance de l'air ?

Non : le calculateur utilise le modèle idéal sans frottement, valable pour des corps denses et des vitesses modérées. En réalité, l'air réduit portée et hauteur et rend la trajectoire asymétrique, la descente étant plus raide que la montée. Pour des projectiles légers ou rapides, l'effet est important et un modèle avec le coefficient de traînée est nécessaire.

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