Il moto parabolico: cinematica del lancio

Il moto parabolico descrive il percorso di un corpo lanciato con velocità iniziale v₀ a un angolo θ rispetto all'orizzontale, soggetto solo alla gravità g. Il percorso è una parabola perfetta se si trascura la resistenza dell'aria. Questo calcolatore risolve le tre variabili fondamentali — gittata R, altezza massima h, tempo di volo t — più la velocità all'impatto e l'angolo di arrivo.

Le formule fondamentali

Scomponiamo la velocità iniziale in componenti:

• v_x = v₀ · cos(θ) — componente orizzontale (costante, niente forze)
• v_y = v₀ · sin(θ) — componente verticale (decresce per g)

Per lancio su terreno piano (h₀ = 0):

• Gittata: R = v₀² · sin(2θ) / g
• Altezza massima: h = v₀² · sin²(θ) / (2g)
• Tempo di volo: t = 2v₀ · sin(θ) / g
• Tempo al culmine: t_apex = v₀ · sin(θ) / g (metà del tempo totale)
• Velocità all'impatto: |v| = v₀ (per simmetria, senza attrito)

L'angolo ottimale 45°

La formula R = v₀² · sin(2θ) / g è massima quando sin(2θ) = 1, cioè 2θ = 90° → θ = 45°. Su terreno piano e senza attrito, un angolo di 45° dà sempre la gittata massima, qualunque sia v₀.

Per angoli simmetrici rispetto a 45° (es. 30° e 60°) la gittata è identica: sin(60°) = sin(120°). Ma l'altezza e il tempo di volo sono diversi: lanci a 60° vanno più in alto e restano più in aria di lanci a 30°.

Gittata a 30° vs 45° vs 60° (v₀ = 20 m/s, g = 9,81)

Nota: 30° e 60° danno la stessa gittata ma altezze e tempi molto diversi.

Lancio da altezza iniziale h₀ > 0

Se lanci da un'altezza (tetto, bastione, scogliera), il tempo di volo è maggiore: il proiettile scende più in basso prima di toccare il suolo. La formula completa:

t = (v_y + √(v_y² + 2g·h₀)) / g

La gittata diventa R = v_x · t, maggiore di R(h₀=0).

L'angolo ottimale per massima gittata da h₀ > 0 è inferiore a 45°:

θ_ottimo = arctan(v₀ / √(v₀² + 2g·h₀))

Esempio: v₀ = 20 m/s da h₀ = 10 m → θ_ottimo ≈ 39°. A quota aumenta, l'angolo ottimo diminuisce.

Esempi pratici

Esempio 1: pallone calciato

Un pallone viene calciato a 25 m/s con angolo 30°.

• R = 25² × sin(60°) / 9,81 = 625 × 0,866 / 9,81 = 55,2 m
• h = 25² × sin²(30°) / 19,62 = 625 × 0,25 / 19,62 = 7,96 m
• t = 2 × 25 × sin(30°) / 9,81 = 25 / 9,81 = 2,55 s

Esempio 2: pallavolo (servizio)

Velocità 15 m/s, angolo 8° (quasi orizzontale), battuta da 2,2 m di altezza.

• v_x = 15 × cos(8°) = 14,85 m/s
• v_y = 15 × sin(8°) = 2,09 m/s
• Discriminante: 2,09² + 2 × 9,81 × 2,2 = 4,37 + 43,16 = 47,53
• t = (2,09 + √47,53) / 9,81 = (2,09 + 6,89) / 9,81 = 0,916 s
• R = 14,85 × 0,916 = 13,6 m (quasi la lunghezza del campo)

Esempio 3: lancio del peso (atletica)

Atleta professionista: v₀ ≈ 13 m/s, angolo ~38° (ottimale dato che parte da 2,1 m di altezza).

• R ≈ 22 m — distanze record mondiali ~23 m
• Conferma: angolo ottimale per lanci alti si abbassa verso 38-40° (non 45°)

Esempio 4: frecce arco

v₀ = 55 m/s (compound bow), angolo 1,5° (quasi piatto), h₀ = 1,5 m.

• Gittata ≈ 17 m prima che la freccia tocchi terra (caduta verticale di 1,5 m in ~0,55 s)
• Senza angolo la freccia scende visibilmente
• Gli arcieri compensano con mirino inclinato

Derivazione delle formule

Dalla seconda legge di Newton, con g costante e nessuna altra forza:

• a_x = 0 → v_x(t) = v_x = v₀·cos(θ)
• a_y = -g → v_y(t) = v₀·sin(θ) - g·t
• x(t) = v_x · t
• y(t) = h₀ + v_y·t − ½g·t²

Impostando y(t) = 0 (impatto sul suolo) si ricava t; sostituendo in x(t) si trova R. L'altezza massima è in t_apex = v_y / g (quando v_y(t)=0).

Il ruolo della resistenza dell'aria

Il modello ideale (senza attrito) funziona bene per oggetti densi lanciati a basse velocità: palle di cannone, frecce, pallini. Per oggetti leggeri o veloci la resistenza dell'aria cambia drasticamente la traiettoria.

Effetti reali dell'aria

• Riduce la gittata: un pallone da calcio a 30 m/s perde 10-20% di distanza rispetto al vuoto
• Riduce l'altezza massima
• Rende la traiettoria asimmetrica: discesa più ripida dell'ascesa (il proiettile ha velocità inferiore in discesa)
• Sposta l'angolo ottimale tra 30° e 42° (non 45°)

La forza di resistenza è F_drag = ½·ρ·C_d·A·v², con C_d coefficiente di drag (≈0,47 sfera), ρ densità aria, A sezione frontale.

Effetti secondari

• Magnus effect: proiettili rotanti curvano (es. palla da tennis con top-spin cade più veloce)
• Vento: modifica gittata e direzione
• Variazione g: g = 9,83 ai poli, 9,78 all'equatore (effetto rotazione terrestre)
• Coriolis: per lunghissime gittate (artiglieria), la rotazione terrestre devia leggermente il proiettile

Applicazioni del moto parabolico

Sport

• Calcio: traiettoria dei tiri, cross, punizioni
• Basket: tiri con arco alto per scavalcare la difesa
• Baseball: gli home run volano 130-150 m
• Pallavolo: servizi e schiacciate
• Atletica: salto in lungo, getto del peso, lancio del disco, giavellotto
• Golf: drive da 300 m, effetto palla forata

Militare e storico

• Artiglieria antica (catapulte, trabocchi)
• Balistica militare moderna
• Giunzione artiglieria + tavole di tiro

Ingegneria

• Irrigatori ad aspersione (raggio irrigazione)
• Pompe antincendio (portata ugelli)
• Animazione fisica nei videogiochi
• Dimensionamento piscine con schizzi

Astronomia

• Traiettorie satelliti (caso limite: velocità orbitale)
• Sonde interplanetarie (con più corpi gravitazionali)
• Rientri atmosferici

Grafico della traiettoria

L'equazione cartesiana (eliminando t da x e y) è una parabola:

y = h₀ + x · tan(θ) − (g · x²) / (2 · v₀² · cos²(θ))

Con coefficiente negativo in x², parabola rivolta verso il basso, vertice nell'altezza massima. Intersezioni con asse x = 0 e x = R.

Simmetrie e casi speciali

Angoli complementari (θ + θ' = 90°)

θ = 30° e θ' = 60° danno identica gittata (senza attrito aria, da h₀=0). Uno lancia basso e veloce, l'altro alto e lento. Stessa distanza orizzontale.

Lancio verticale (θ = 90°)

Caso degenere: v_x = 0, nessuna gittata orizzontale. Altezza: h_max = v₀²/(2g). Tempo totale (sale e scende): t = 2v₀/g.

Lancio orizzontale (θ = 0°)

Proiettile parte orizzontale, cade sotto per gravità. Tempo caduta: t = √(2h₀/g). Gittata: R = v₀ · √(2h₀/g). Esempio classico: proiettile sparato da scogliera.

Lancio a 45° + altezza iniziale

Con h₀ > 0 l'angolo ottimo scende sotto 45°. Per h₀ = 2 m, v₀ = 20 m/s → θ_ottimo ≈ 43,5°.

Conservazione dell'energia

L'energia meccanica totale resta costante (sistema chiuso senza attrito):

½m·v² + m·g·h = costante

• Al punto di lancio: E_tot = ½m·v₀² + m·g·h₀
• Al culmine: E_tot = ½m·v_x² + m·g·h_max
• All'impatto: E_tot = ½m·v_impact²

Da cui v_impact = √(v₀² + 2g·h₀). Senza altezza iniziale, v_impact = v₀ (conservazione dell'energia cinetica totale).

FAQ

Qual è l'angolo ottimale per la gittata massima?

45° su terreno piano, senza resistenza dell'aria, con altezza iniziale zero. Con h₀ > 0, l'angolo ottimale è inferiore a 45° (dipende dal rapporto v₀/√(v₀²+2gh₀)). Con resistenza aria, l'angolo ottimo reale è 30-42° a seconda della velocità.

Perché 30° e 60° danno la stessa gittata?

Perché sin(60°) = sin(120°) e la gittata dipende da sin(2θ). Gli angoli complementari (θ e 90°-θ) hanno lo stesso sin(2θ). Però il lancio alto (60°) sta molto più in aria del lancio basso (30°).

Come influisce la resistenza dell'aria?

Riduce gittata (10-40% a seconda di forma e velocità), altezza massima e rende la traiettoria asimmetrica. Sposta l'angolo ottimale reale tra 30° e 42°. Ininfluente per lanci lenti di oggetti densi (palla cannone).

La formula funziona sulla Luna o altri pianeti?

Sì, basta cambiare g. Luna: g = 1,62 m/s². Marte: g = 3,71. Giove: g ≈ 24,8. Sulla Luna la gittata a parità di v₀ è circa 6 volte quella terrestre.

Cos'è la gittata massima nel vuoto vs in aria?

Nel vuoto: 45°. Nell'aria: 30-42° a seconda del proiettile. Esempio record getto del peso: ~38° perché la palla è pesante ma parte da h₀ = 2 m.

Come calcolo se il proiettile cadrà prima o dopo un ostacolo?

Calcola y(x_ostacolo) = h₀ + x·tan(θ) − g·x²/(2·v₀²cos²θ). Se y > h_ostacolo, passa sopra. Se y < h_ostacolo, urta.

La velocità all'impatto è uguale a quella di lancio?

Solo se h₀ = 0 e senza attrito. Con h₀ > 0 (lancio da alto), v_impatto = √(v₀² + 2g·h₀) > v₀ (l'energia potenziale si converte in cinetica). Con attrito, v_impatto è minore.

Storia: da Galileo alla balistica moderna

Aristotele (IV sec. a.C.) credeva che un proiettile viaggiasse in linea retta fino a esaurimento della forza, poi cadesse verticale — teoria errata ma dominante per secoli.

Niccolò Tartaglia (1537, Nova Scientia): prime tavole di tiro, ipotizza traiettoria curva.

Galileo Galilei (1638, Discorsi): dimostra matematicamente che la traiettoria è una parabola, combinando moto uniforme orizzontale con moto uniformemente accelerato verticale. Pietra miliare della fisica moderna.

Newton (1687): la sua seconda legge F=ma unifica la meccanica. Moto parabolico diventa caso particolare.

Balistica moderna: integrazione con dinamica dei fluidi, tavole di tiro per artiglieria, simulazioni Monte Carlo.

Calcolo inverso: angolo per colpire bersaglio

Dato v₀ e coordinate bersaglio (x, y), si trovano DUE angoli che lo raggiungono. La soluzione dell'equazione quadratica in tan(θ):

tan(θ) = (v₀² ± √(v₀⁴ − g·(g·x² + 2·y·v₀²))) / (g·x)

Soluzione reale solo se l'argomento della radice è ≥ 0. L'angolo basso è più veloce (tempo breve), quello alto è più lento (arco alto). In balistica si preferisce quello basso per precisione (meno tempo → meno errori da vento).

Aggiornato a luglio 2026