Calculatrice Série de Fourier

Calculez la série de Fourier d'ondes carrée, dent de scie, triangulaire, demi-onde redressée ou f(x) libre. Coefficients, Parseval et analyse de convergence.

Paramètres de calcul
Scegli il tipo di sviluppo in serie di Fourier.
Usato solo in modalità preset.
Sintassi JavaScript matematica. Esempi: x, Math.exp(-x), Math.sin(x) + Math.cos(2*x).
Periodo della funzione. Default 2π. La funzione è analizzata su [−T/2, T/2].
Numero di termini della serie di Fourier (oltre la costante a₀). Massimo 50.
Valore di x in cui valutare la somma parziale S_N(x).
Ce calculateur vous a-t-il été utile ?

La série de Fourier

La série de Fourier, introduite par Joseph Fourier en 1807, permet d'écrire toute fonction périodique (période T) comme somme de sinus et cosinus :

f(x) = a₀ + Σn=1∞ [an·cos(n·ω·x) + bn·sin(n·ω·x)]

avec ω = 2π/T, et coefficients aₙ = (2/T)·∫f(x)·cos(nωx) dx, bₙ analogues avec sinus.

Les quatre modes

  1. Ondes preset : carrée, dent de scie, triangulaire, demi-onde redressée. Coefficients analytiques exacts et somme partielle S_N(x).
  2. f(x) personnalisée : expression JavaScript, coefficients numériques par point milieu sur 2048 échantillons.
  3. Parseval : vérifie (1/T)·∫|f|² = |a₀|² + ½·Σ(aₙ² + bₙ²).
  4. Convergence : montre S_k(x) pour k = 0…N ; utile pour visualiser Gibbs.

Développements notables

  • Carrée : (4/π)·Σ sin(kx)/k, k impair, décroissance 1/k.
  • Dent de scie (x sur [−π, π]) : 2·Σ (−1)^(n+1)·sin(nx)/n, décroissance 1/n.
  • Triangulaire : (8/π²)·Σ (−1)^((k−1)/2)·sin(kx)/k², décroissance 1/k².

Règle : si la k-ième dérivée est la première avec sauts, |aₙ| ∼ 1/n^(k+2).

Le phénomène de Gibbs

Aux discontinuités, S_N(x) dépasse d'environ 9 % le saut, indépendamment de N. Observé par Michelson (1898), expliqué par Gibbs (1899). Atténué par fonctions de fenêtrage (Hann, Hamming, Blackman).

Applications modernes

  • Audio numérique : MP3, AAC, Vorbis utilisent des variantes de FFT.
  • Images : JPEG applique DCT sur blocs 8×8.
  • Communications : OFDM (Wi-Fi 6, 5G, DVB) via FFT.
  • Mécanique quantique : principe d'incertitude via Parseval.
  • EEG : décomposition en bandes (delta, thêta, alpha, bêta, gamma).
  • Tomographie (TDM, IRM) : reconstruction 3D via théorème de projection centrale.
  • EDP : méthode de Fourier pour chaleur, ondes, Laplace.

Théorème de Parseval

L'énergie d'une fonction périodique est conservée entre temps et fréquence. La calculatrice vérifie numériquement l'égalité (1/T)·∫|f|² dx = |a₀|² + ½·Σ(aₙ²+bₙ²).

Fourier et la naissance de l'analyse harmonique

La série porte le nom de Joseph Fourier, qui l'introduisit en 1807 en étudiant la propagation de la chaleur, défendant l'idée alors révolutionnaire que toute fonction périodique pouvait s'écrire comme somme de sinus et cosinus. L'idée suscita le scepticisme de mathématiciens comme Lagrange, mais se révéla l'un des outils les plus puissants des mathématiques appliquées. Le calculateur montre les coefficients analytiques des ondes classiques et calcule numériquement ceux de fonctions arbitraires, mettant en évidence la convergence, le phénomène de Gibbs et la vérification du théorème de Parseval.

De la série à la transformée de Fourier

Quand la période de la fonction tend vers l'infini, la série de Fourier se généralise en la transformée de Fourier, qui décompose les signaux non périodiques en un spectre continu de fréquences. C'est la base du traitement numérique du signal, de la compression audio et image et de l'analyse spectrale en physique et en ingénierie. Le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel, que ce calculateur illustre par les coefficients harmoniques, est l'une des idées les plus fécondes de la science moderne.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Quand une fonction admet-elle une série de Fourier ?

Conditions de Dirichlet : f périodique, avec un nombre fini de sauts par période, de maxima et minima, et ∫|f|² fini. Aux discontinuités la série converge vers la moyenne gauche-droite (f(x⁻)+f(x⁺))/2.

Différence entre série et transformée de Fourier ?

La série s'applique aux fonctions périodiques à spectre discret (coefficients indexés par entiers). La transformée F(ω) = ∫f(x)·e^(−iωx) dx étend l'analyse aux fonctions non périodiques à spectre continu. Dans la limite T → ∞, la série devient la transformée.

Qu'est-ce que le phénomène de Gibbs ?

Oscillation persistante de la somme partielle S_N(x) près des discontinuités : dépassement d'environ 9 % du saut, indépendant de N. Augmenter N rétrécit la zone d'oscillation mais ne la supprime pas. Les fonctions de fenêtrage (Hann, Hamming, Blackman) l'atténuent dans les applications.

Pourquoi les coefficients dépendent-ils de la régularité de f ?

Par intégration par parties : chaque IPP apporte un facteur 1/n. Si f est C⁰ avec f' discontinue, le premier IPP laisse un terme de bord non nul : |aₙ| ∼ 1/n². Si f est C^k avec f^(k+1) discontinue, |aₙ| ∼ 1/n^(k+2). Régularité = vitesse de décroissance spectrale.

Comment calculer les coefficients numériquement ?

Par quadrature : point milieu, Simpson ou trapézoïdale périodique (très efficace pour fonctions périodiques lisses grâce à la convergence géométrique). Pour N échantillons équidistants, la FFT calcule tous les N coefficients en O(N log N) au lieu de O(N²).

Qu'est-ce que la série complexe ?

f(x) = Σn=−∞∞ cn·e^(i·n·ω·x), avec cn = (1/T)·∫f(x)·e^(−i·n·ω·x) dx. Plus élégant et symétrique. Équivalent à la forme réelle : cn = (an − i·bn)/2 pour n > 0.

Fourier marche-t-il pour des fonctions non périodiques ?

Pas directement : la série exige la périodicité. Pour des fonctions sur intervalle fini on les prolonge périodiquement ou on utilise la série seulement sur cet intervalle. Pour ℝ entier on utilise la transformée continue ; pour signaux causaux, la transformée de Laplace.

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