Comment calculer la distribution de Fermi-Dirac pour les fermions permet d'estimer la probabilité d'occupation d'un niveau d'énergie dans un gaz de fermions. La formule a été dérivée en 1926 par Enrico Fermi (Université de Rome, Prix Nobel 1938) et Paul Dirac (Cambridge) comme application du principe d'exclusion de Pauli. La forme standard est f(E) = 1 / (1 + exp((E - E_F)/k_B·T)). C'est le fondement de la physique des semi-conducteurs (Si, Ge, GaAs), de la théorie des métaux (Cu, Au, Al), de la physique nucléaire, du calcul quantique et de la spintronique — utilisée au CEA Saclay, CNRS Institut Néel Grenoble, École Normale Paris, ICFP, et chez Atos Quantum, Pasqal (Massy), Quandela, Alice & Bob.

1. Distribution de Fermi-Dirac et principe de Pauli

Le principe d'exclusion de Pauli (Nobel 1945) stipule que deux fermions identiques ne peuvent occuper le même état quantique. Pour E E_F, f(E) → 0 ; à E = E_F, f = 0,5. L'énergie de Fermi caractérise le système : Cu E_F=7,0 eV (T_F=81000 K), Na=3,24 eV, Au=5,53 eV, Si intrinsèque gap 1,12 eV. La vitesse de Fermi v_F = √(2E_F/m_e) pour Cu vaut ~1,6×10⁶ m/s.

2. Énergies de Fermi typiques

• Lithium Li — E_F = 4,7 eV, base des batteries Li-ion ACC, Verkor, Saft.
• Sodium Na — E_F = 3,24 eV.
• Cuivre Cu — E_F = 7,00 eV, T_F = 81000 K.
• Or Au — E_F = 5,53 eV.
• Aluminium Al — E_F = 11,7 eV.
• Silicium intrinsèque Si — gap 1,12 eV.
• Étoiles à neutrons — E_F ≈ 50 MeV.

3. Domaine de validité et corrections

Fermi-Dirac vaut pour fermions non interactifs en équilibre thermodynamique. Pour gaz d'électrons interactifs il faut la théorie de Landau Fermi-liquide (Nobel 1962). Pour systèmes hors équilibre, formalisme de Keldysh. Pour électrons en structure de bande on combine avec densité d'états g(E). Pour régimes relativistes (naines blanches, étoiles à neutrons) la formulation relativiste est nécessaire. Codes Quantum ESPRESSO (Trieste-SISSA), VASP, ABINIT, Wien2k implémentent calculs DFT avec Fermi-Dirac.

4. Exemples numériques

Exemple 1 — Électron en Cu à 300 K, niveau 0,1 eV sous E_F. f(E) = 0,98. Régime dégénéré.

Exemple 2 — Si intrinsèque à 300 K, bande de conduction. f(E) ≈ 3,7×10⁻¹⁰. Base de la densité intrinsèque n_i ≈ 10¹⁰ cm⁻³.

Exemple 3 — Étoiles à neutrons à 10⁹ K, E_F=50 MeV. Régime ultra-dégénéré, soutient pression jusqu'à limite TOV ~2,16 M☉.

5. Applications pratiques

• Physique des semi-conducteurs: STMicroelectronics Crolles, Soitec Bernin, X-FAB Saint-Étienne
• Microélectronique: chaque CPU Intel, AMD conçu via Fermi-Dirac
• Panneaux photovoltaïques: Photowatt, Voltec Solar, CEA-INES Le Bourget-du-Lac optimisent via Fermi-Dirac
• Calcul quantique: Atos Quantum, Pasqal Massy, Quandela, Alice & Bob, CEA-Leti développent qubits supraconducteurs et atomes neutres
• Astrophysique des étoiles compactes: étudiée à l'Institut d'Astrophysique de Paris, Observatoire de Paris, IRAP Toulouse
• Physique nucléaire: GANIL Caen, IPNO Orsay (IJCLab) utilisent Fermi-Dirac pour gaz de nucléons

6. Cas particuliers et applications avancées

Pour graphène (Prix Nobel Geim-Novoselov 2010), Fermi-Dirac appliqué aux fermions de Dirac sans masse — recherche au CEA-Saclay, CNRS-LPS Orsay, Institut Néel Grenoble. Pour fermions topologiques dans matériaux topologiques (Prix Nobel 2016), Fermi-Dirac avec états de surface protégés — développements à l'Institut Néel, ESPCI Paris, Laboratoire Charles Coulomb Montpellier. Pour supraconducteurs, BCS (Nobel 1972) utilise paires de Cooper. Pour spintronique et MRAM, Fermi-Dirac décrit bandes spin-up/down. Pour fermions de Dirac et Weyl (Cd₃As₂, TaAs), Fermi-Dirac standard avec E_F près du point de Dirac.

Mis à jour en juillet 2026