Cómo calcular la distribución de Fermi-Dirac para fermiones permite estimar la probabilidad de ocupación de un nivel energético en un gas de fermiones. La fórmula fue derivada en 1926 por Enrico Fermi (Roma, Premio Nobel 1938) y Paul Dirac (Cambridge) como aplicación del principio de exclusión de Pauli. La forma estándar es f(E) = 1 / (1 + exp((E - E_F)/k_B·T)). Es el fundamento de la física de semiconductores (Si, Ge, GaAs), de la teoría de metales (Cu, Au, Al), de la física nuclear (gas de neutrones en estrellas de neutrones), del computing cuántico, y de la espintrónica — usada en ICN2 Barcelona, ICMM Madrid, BSC Barcelona, Universidad Autónoma de Madrid, IFIMAC, e industrias como Indra Sistemas, GMV.

1. Distribución de Fermi-Dirac y principio de Pauli

El principio de exclusión de Pauli (Wolfgang Pauli, Nobel 1945) establece que dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado cuántico. Para E E_F, f(E) → 0 (vacíos); a E = E_F, f = 0,5. La energía de Fermi caracteriza el sistema: Cu E_F=7,0 eV (T_F=81000 K), Na=3,24 eV, Au=5,53 eV, Si intrínseco gap 1,12 eV. La velocidad de Fermi v_F = √(2E_F/m_e) para Cu vale ~1,6×10⁶ m/s.

2. Energías de Fermi típicas

• Litio Li — E_F = 4,7 eV, base de baterías Li-ion.
• Sodio Na — E_F = 3,24 eV.
• Cobre Cu — E_F = 7,00 eV, T_F = 81000 K.
• Oro Au — E_F = 5,53 eV.
• Aluminio Al — E_F = 11,7 eV.
• Silicio intrínseco Si — gap 1,12 eV.
• Estrellas de neutrones — E_F ≈ 50 MeV.

3. Rango de validez y correcciones

Fermi-Dirac vale para fermiones no interactuantes en equilibrio termodinámico. Para gases de electrones interactuantes se necesita teoría de Landau Fermi-líquido (Nobel 1962). Para sistemas fuera del equilibrio, formalismo de Keldysh. Para electrones en band structure se combina con densidad de estados g(E). Para regímenes relativistas (estrellas enanas blancas, estrellas de neutrones) se necesita formulación relativista. Códigos Quantum ESPRESSO (Trieste-SISSA), VASP, ABINIT, Wien2k implementan cálculos DFT con Fermi-Dirac.

4. Ejemplos numéricos

Ejemplo 1 — Electrón en Cu a 300 K, nivel 0,1 eV bajo E_F. f(E) = 1/(1 + exp(-3,876)) = 0,98. Régimen degenerado.

Ejemplo 2 — Si intrínseco a 300 K, banda de conducción. f(E) ≈ 3,7×10⁻¹⁰. Base de la densidad intrínseca n_i ≈ 10¹⁰ cm⁻³.

Ejemplo 3 — Estrellas de neutrones a 10⁹ K, E_F=50 MeV. Régimen ultra-degenerado, sostiene presión hasta límite TOV ~2,16 M☉.

5. Aplicaciones prácticas

• Física de semiconductores: Si, Ge, GaAs, GaN — base de la industria española STM Catania (italiana), Indra, GMV
• Microelectrónica: cada CPU Intel, AMD diseñado vía Fermi-Dirac
• Paneles fotovoltaicos: Solaria, Atersa, Soltec optimizan vía Fermi-Dirac
• Quantum computing: BSC Barcelona, ICFO Castelldefels, Universidad Autónoma Madrid colaboraciones con IBM Quantum y Google
• Astrofísica de estrellas compactas: estudiada en IFCA Santander, IAC Tenerife, IEEC Catalunya
• Física nuclear: ANAIS-LSC Canfranc, CIEMAT Madrid usan Fermi-Dirac para gas de nucleones

6. Casos especiales y aplicaciones avanzadas

Para grafeno (Premio Nobel Geim-Novoselov 2010), Fermi-Dirac aplicado a fermiones de Dirac sin masa con dispersión lineal — investigación en ICN2 Barcelona, ICMAB Barcelona. Para fermiones topológicos en materiales topológicos (Premio Nobel 2016), Fermi-Dirac con estados superficiales protegidos — desarrollos en ICMM Madrid, IFIMAC Madrid, ICN2 Barcelona. Para superconductores, BCS (Nobel 1972) usa pares de Cooper. Para espintrónica y MRAM, Fermi-Dirac describe bandas spin-up/down. Para fermiones de Dirac y Weyl (Cd₃As₂, TaAs), Fermi-Dirac estándar con E_F cerca del punto de Dirac.

Actualizado a julio de 2026