Calculateur Produit Scalaire : A·B, angle, projection, 2D/3D/nD

Calculez le produit scalaire de deux vecteurs 2D, 3D ou n-dimensionnels : A·B = Σ aᵢ·bᵢ = |A||B|cos(θ). Angle, projection, orthogonalité. Quatre modes.

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Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs A et B dans ℝⁿ : A · B = Σᵢ aᵢ · bᵢ. Résultat : scalaire. 2D : aₓbₓ + aᵧbᵧ ; 3D : + a_z b_z.

Interprétation géométrique

A · B = |A|·|B|·cos(θ). Angle : θ = arccos((A·B)/(|A|·|B|)). θ = 0° : maximum ; θ = 90° : orthogonal (A·B = 0) ; θ = 180° : minimum.

Projection orthogonale

proj_B(A) = (A·B/|B|²)·B. Scalaire : (A·B)/|B| = |A|·cos(θ). Décomposition A = proj_B(A) + perp_B(A). Base des décompositions de forces, ombres, ACP.

Propriétés algébriques

  • Commutative : A·B = B·A.
  • Distributive : A·(B+C) = A·B + A·C.
  • A·A = |A|² ≥ 0.
  • Cauchy-Schwarz : |A·B| ≤ |A|·|B|.

Norme et distance

|A| = √(A·A) = √Σ aᵢ². Vecteur unitaire â = A/|A|. Similarité cosinus : â · b̂ dans [−1, 1].

Physique

Travail W = F · d = |F|·|d|·cos(θ). Puissance P = F · v. Flux électrique Φ = E · A. Perpendicularité : W = 0.

Applications informatiques

Rendu 3D : éclairage (L · N, loi de Lambert), backface culling, réflexions. Apprentissage automatique : similarité cosinus en NLP et recommandations, attention transformer (Q · K). RI : classement de documents.

Exemples numériques

A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6) : A·B = 4 + 10 + 18 = 32. |A| = √14 ≈ 3,742 ; |B| = √77 ≈ 8,775. θ = arccos(32/(3,742·8,775)) ≈ 12,93°. A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) : A·B = 0 → orthogonaux. Projection de (3, 4) sur (1, 0) : (3, 0). Force de 10 N inclinée de 30° sur un déplacement de 5 m : W = 10·5·cos(30°) = 43,3 J.

Utilisation

Quatre modes : base (A, B → A·B, |A|, |B|, angle, relation) ; projection (A, B → proj_B(A) vecteur et scalaire) ; angle (A, B → θ en degrés et radians) ; depuis angle (|A|, |B|, θ → A·B). Vecteurs séparés par virgule, toute dimension (listes de même longueur). Exemple : 1, 2, 3 et 4, 5, 6. Le produit scalaire se généralise naturellement aux espaces de Hilbert (dimension infinie) et constitue la base de l'analyse fonctionnelle et de la mécanique quantique (produit intérieur ⟨ψ|φ⟩).

Interprétation géométrique et orthogonalité

Le produit scalaire a une double nature : algébriquement c'est la somme des produits des composantes, A·B = Σ aᵢbᵢ ; géométriquement il vaut A·B = |A|·|B|·cos θ, où θ est l'angle entre les deux vecteurs. De cette seconde forme découlent les propriétés les plus utiles. Le signe du produit scalaire révèle la relation angulaire : positif pour les angles aigus (θ 90°), exactement nul quand les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Ce critère d'orthogonalité est parmi les plus utilisés en géométrie et physique : deux directions sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire s'annule. En inversant la formule on obtient l'angle entre vecteurs quelconques : cos θ = A·B/(|A|·|B|), outil fondamental en géométrie analytique et algèbre linéaire.

Projection et applications : du travail physique à l'intelligence artificielle

Le produit scalaire mesure à quel point un vecteur "pointe" dans la direction d'un autre, et c'est le concept de projection : la projection scalaire de A sur B vaut A·B/|B|, la projection vectorielle (A·B/|B|²)·B. En physique, le travail d'une force est exactement un produit scalaire, W = F·s = |F|·|s|·cos θ : seule la composante de la force selon le déplacement fournit du travail. En infographie, la loi du cosinus de Lambert calcule l'éclairage d'une surface comme produit scalaire entre la normale et la direction de la lumière. En intelligence artificielle, la "similarité cosinus" entre vecteurs de mots ou documents — utilisée dans les moteurs de recherche et les modèles de langage — n'est qu'un produit scalaire normalisé.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le produit scalaire ?

Le produit scalaire (ou produit interne) de deux vecteurs est un nombre, pas un vecteur. Il se calcule en sommant les produits des composantes correspondantes : A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + ... Il vaut aussi |A|·|B|·cos θ, où θ est l'angle entre les vecteurs. Il est défini en toute dimension.

Comment calculer le produit scalaire ?

Avec les composantes, on multiplie les coordonnées correspondantes et on les additionne : pour A = (1, 2, 3) et B = (4, 5, 6), A·B = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32. Sinon, connaissant les normes et l'angle, A·B = |A|·|B|·cos θ. Les deux méthodes donnent le même résultat.

Quelle est la signification géométrique ?

Géométriquement le produit scalaire A·B = |A|·|B|·cos θ mesure l'alignement de deux vecteurs. Il est maximal quand ils pointent dans le même sens (cos 0° = 1), nul quand ils sont perpendiculaires (cos 90° = 0) et minimal quand ils sont opposés (cos 180° = −1). Le signe indique si l'angle est aigu ou obtus.

Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul : A·B = 0. C'est parce que cos 90° = 0. C'est le critère le plus utilisé pour vérifier la perpendicularité en géométrie, physique et algèbre linéaire, valable en tout nombre de dimensions.

Comment trouver l'angle entre deux vecteurs ?

En inversant la formule géométrique : cos θ = A·B/(|A|·|B|), d'où θ = arccos(A·B/(|A|·|B|)). On calcule le produit scalaire, on divise par le produit des normes et on applique l'arccosinus. Le résultat est l'angle entre 0° et 180° séparant les deux vecteurs.

Qu'est-ce que la projection d'un vecteur ?

La projection de A sur B mesure combien A s'étend dans la direction de B. La projection scalaire vaut A·B/|B|, la projection vectorielle (A·B/|B|²)·B. C'est l'ombre de A sur la droite de B, fondamentale pour décomposer forces et vecteurs en leurs composantes selon des directions données.

Quelle différence avec le produit vectoriel ?

Le produit scalaire renvoie un nombre et mesure l'alignement (cos θ) ; le produit vectoriel renvoie un vecteur perpendiculaire aux deux et mesure l'aire du parallélogramme (sin θ). Le produit scalaire existe en toute dimension, le produit vectoriel seulement en 3D (et sous forme spéciale en 7D).

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