Calculadora Producto Escalar: A·B, ángulo, proyección, 2D/3D/nD

Calcula el producto escalar de dos vectores 2D, 3D o n-dimensionales: A·B = Σ aᵢ·bᵢ = |A||B|cos(θ). Ángulo, proyección, ortogonalidad. Cuatro modos de cálculo.

Parámetros de cálculo
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Producto escalar

El producto escalar (o dot product) de dos vectores A y B en ℝⁿ: A · B = Σᵢ aᵢ · bᵢ. Resultado: escalar. 2D: aₓbₓ + aᵧbᵧ; 3D: + a_z b_z. Fundamental en álgebra lineal.

Interpretación geométrica

A · B = |A|·|B|·cos(θ). Ángulo: θ = arccos((A·B)/(|A|·|B|)). θ = 0°: máximo; θ = 90°: ortogonal (A·B = 0); θ = 180°: mínimo.

Proyección ortogonal

proj_B(A) = (A·B/|B|²)·B. Escalar: (A·B)/|B| = |A|·cos(θ). Descomposición A = proj_B(A) + perp_B(A). Base de fuerzas, sombras, PCA.

Propiedades algebraicas

  • Conmutativa: A·B = B·A.
  • Distributiva: A·(B+C) = A·B + A·C.
  • A·A = |A|² ≥ 0.
  • Cauchy-Schwarz: |A·B| ≤ |A|·|B|.

Norma y distancia

|A| = √(A·A) = √Σ aᵢ². Vector unitario â = A/|A|. Similitud coseno: â · b̂ en [−1, 1].

Física

Trabajo W = F · d = |F|·|d|·cos(θ). Potencia P = F · v. Flujo eléctrico Φ = E · A. Perpendicularidad: W = 0.

Aplicaciones informáticas

Renderizado 3D: iluminación (L · N, ley de Lambert), backface culling, reflexiones. Machine learning: similitud coseno en NLP y recomendaciones, atención transformer (Q · K). IR: ranking de documentos.

Ejemplos numéricos

A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6): A·B = 4 + 10 + 18 = 32. |A| = √14 ≈ 3,742; |B| = √77 ≈ 8,775. θ = arccos(32/(3,742·8,775)) ≈ 12,93°. A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0): A·B = 0 → ortogonales. Proyección de (3, 4) sobre (1, 0): (3, 0) (componente horizontal). Fuerza de 10 N inclinada 30° aplicada a un desplazamiento de 5 m: W = 10·5·cos(30°) = 43,3 J.

Cómo usar

Cuatro modos: básico (A, B → A·B, |A|, |B|, ángulo, relación); proyección (A, B → proj_B(A) vector y escalar); ángulo (A, B → θ en grados y radianes); desde ángulo (|A|, |B|, θ → A·B). Vectores separados por coma, cualquier dimensión (ambas listas misma longitud). Ejemplo entrada: 1, 2, 3 y 4, 5, 6. El producto escalar se generaliza naturalmente a espacios de Hilbert (dimensión infinita) y forma la base del análisis funcional y la mecánica cuántica (producto interno ⟨ψ|φ⟩).

Interpretación geométrica y ortogonalidad

El producto escalar tiene una doble naturaleza: algebraicamente es la suma de los productos de las componentes, A·B = Σ aᵢbᵢ; geométricamente vale A·B = |A|·|B|·cos θ, donde θ es el ángulo entre los dos vectores. De esta segunda forma derivan las propiedades más útiles. El signo del producto escalar revela la relación angular: positivo para ángulos agudos (θ 90°), exactamente cero cuando los vectores son ortogonales (perpendiculares). Este criterio de ortogonalidad es de los más usados en geometría y física: dos direcciones son perpendiculares si y solo si su producto escalar se anula. Invirtiendo la fórmula se obtiene el ángulo entre vectores cualesquiera: cos θ = A·B/(|A|·|B|), herramienta fundamental en geometría analítica y álgebra lineal.

Proyección y aplicaciones: del trabajo físico a la inteligencia artificial

El producto escalar mide cuánto un vector "apunta" en la dirección de otro, y ese es el concepto de proyección: la proyección escalar de A sobre B vale A·B/|B|, la vectorial (A·B/|B|²)·B. En física el trabajo de una fuerza es un producto escalar, W = F·s = |F|·|s|·cos θ: solo la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento realiza trabajo. En gráficos por ordenador, la ley del coseno de Lambert calcula la iluminación de una superficie como producto escalar entre la normal y la dirección de la luz. En inteligencia artificial, la "similitud del coseno" entre vectores de palabras o documentos — usada en motores de búsqueda y modelos lingüísticos — es simplemente un producto escalar normalizado.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Qué es el producto escalar?

El producto escalar (o producto interno) de dos vectores es un número, no un vector. Se calcula sumando los productos de las componentes correspondientes: A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + ... También equivale a |A|·|B|·cos θ, donde θ es el ángulo entre los vectores. Se define en cualquier dimensión.

¿Cómo se calcula el producto escalar?

Con componentes, se multiplican las coordenadas correspondientes y se suman: para A = (1, 2, 3) y B = (4, 5, 6), A·B = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32. Alternativamente, conociendo los módulos y el ángulo, A·B = |A|·|B|·cos θ. Ambos métodos dan el mismo resultado.

¿Cuál es el significado geométrico?

Geométricamente el producto escalar A·B = |A|·|B|·cos θ mide cuánto están alineados dos vectores. Es máximo cuando apuntan en la misma dirección (cos 0° = 1), nulo cuando son perpendiculares (cos 90° = 0) y mínimo cuando son opuestos (cos 180° = −1). El signo indica si el ángulo es agudo u obtuso.

¿Cuándo son ortogonales dos vectores?

Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si y solo si su producto escalar es cero: A·B = 0. Esto se debe a que cos 90° = 0. Es el criterio más usado para verificar la perpendicularidad en geometría, física y álgebra lineal, válido en cualquier número de dimensiones.

¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?

Invirtiendo la fórmula geométrica: cos θ = A·B/(|A|·|B|), de donde θ = arccos(A·B/(|A|·|B|)). Se calcula el producto escalar, se divide por el producto de los módulos y se aplica el arcocoseno. El resultado es el ángulo entre 0° y 180° que separa los dos vectores.

¿Qué es la proyección de un vector?

La proyección de A sobre B mide cuánto se extiende A en la dirección de B. La proyección escalar vale A·B/|B|, la vectorial (A·B/|B|²)·B. Es la sombra de A sobre la recta de B, fundamental para descomponer fuerzas y vectores en sus componentes según direcciones dadas.

¿Cuál es la diferencia con el producto vectorial?

El producto escalar devuelve un número y mide la alineación (cos θ); el producto vectorial devuelve un vector perpendicular a ambos y mide el área del paralelogramo (sin θ). El producto escalar existe en toda dimensión, el vectorial solo en 3D (y en forma especial en 7D).

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