Calculatrice Cone Droit: Volume, Surface, Apotheme, Tronc

Calculatrice cone droit: volume V = (1/3) pi r^2 h, surface laterale et totale, apotheme l = sqrt(r^2 + h^2), tronc de cone avec deux rayons et hauteur.

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Cone droit: definitions

Solide revolution rotation triangle rectangle. Rayon base r, hauteur h, apotheme l.

  • Volume: V = (1/3) pi r^2 h.
  • Apotheme: l = sqrt(r^2 + h^2).
  • Surface laterale: pi r l.
  • Surface base: pi r^2.
  • Totale: pi r (l + r).

Exemple numérique

r = 3, h = 4: l = 5, V = 12 pi ~ 37.70, S_tot = 24 pi ~ 75.40. Angle apex 73.74 deg.

Derivation volume

Intégrale sections: V = intégrale pi (r y/h)^2 dy = (1/3) pi r^2 h. Cavalieri: 1/3 du cylindre. Eudoxe ~370 av. J.-C., Archimede ~250 av. J.-C.

Developpement plan

Secteur circulaire rayon l, arc 2 pi r. Angle theta = 360 r/l. Plus cercle base rayon r.

Tronc de cone

V = (pi h/3)(r^2 + R^2 + rR). l_f = sqrt((r-R)^2 + h^2). S_lat = pi(r+R)l_f.

Droit vs oblique

Droit: axe perpendiculaire a base. Oblique: incline. MEME volume (Cavalieri). DIFFERENTE surface laterale.

Angle apex

  • 2 atan(r/h).
  • r=h: 90 deg.
  • h=2r: 53.13 etroit.
  • r=2h: 126.87 large.

Formules inverses

  • h = 3V/(pi r^2).
  • r = sqrt(3V/(pi h)).
  • Centroide: h/4.
  • Inertie axe: (3/10) m r^2.

Generalisations

  • Cone elliptique V = (pi a b h)/3.
  • Pyramide V = (1/3) base * h.
  • Double cone.
  • Sections coniques.

Applications

  • Toits coniques.
  • Coupoles, fleches.
  • Entonnoirs, buses.
  • Astronomie angle solide.
  • Aerospatial ogives.
  • Volcans, dunes.
  • Tremies industrielles.
  • Cornets glace.

Sections coniques

Coupes planes donnent cercle, ellipse, parabole, hyperbole. Apollonius ~262-190 av. J.-C. Kepler planetes. Newton gravite.

Histoire

Eudoxe ~370 av. J.-C. epuisement. Archimede ~250 av. J.-C. De la sphere et du cylindre. Apollonius coniques. Cavalieri 1635 indivisibles. Calcul Newton-Leibniz XVIIe.

Modes calculatrice

Cinq: tout, volume, surface, apotheme, tronc. Entrees r, h, R.

Pourquoi le cone vaut exactement un tiers du cylindre

Le fait le plus memorable d'un cone est que son volume est precisement un tiers du cylindre qui l'enferme, partageant le meme rayon de base et la meme hauteur. Ce n'est pas une coincidence mais une verite geometrique profonde, et elle appartient a une famille : une pyramide vaut de meme un tiers du prisme qui l'entoure. Les Grecs l'ont demontre bien avant le calcul. Eudoxe, vers 370 av. J.-C., utilisa la methode d'exhaustion, decoupant le solide en couches de plus en plus fines et encadrant le total entre des piles inscrites et circonscrites jusqu'a ce que l'ecart s'annule, et Archimede affina l'argument un siecle plus tard.

La derivation moderne rend le facteur d'un tiers transparent. Imaginez le cone pointe vers le haut et decoupez-le en disques horizontaux minces ; a une hauteur y depuis le sommet le rayon croit proportionnellement a y, donc l'aire du disque croit comme y au carre. Sommer ces aires, ce que le calcul fait en integrant y au carre de zero a la hauteur, produit exactement un tiers de la hauteur au cube fois la constante, et donc un tiers du cylindre complet. Cavalieri atteignit le meme resultat en 1635 avec son principe des indivisibles, montrant que deux solides aux aires de section coincidentes a chaque niveau ont necessairement le meme volume, un beau pont entre les preuves antique et du calcul.

Le cone developpe et ses applications

Coupez un cone le long d'une ligne droite du sommet a la base et aplatissez-le, et la surface laterale courbe s'ouvre en un secteur circulaire plat dont le rayon est l'apotheme. L'arc de ce secteur egale la circonference de la base, donc le secteur couvre un angle de deux pi fois le rapport du rayon a l'apotheme. Ce developpement est le coeur pratique du travail de la tole et du papier : pour construire un vrai cone on decoupe exactement ce secteur d'une feuille plate et on joint ses bords droits, et la meme construction produit entonnoirs, chapeaux de fete, papiers filtres et les toits coniques des tours.

Les cones et leurs cousins tronques, les troncs de cone, sont partout en ingenierie car ils canalisent et concentrent. Un cone de haut-parleur couple un petit moteur a un grand volume d'air, l'ogive d'une fusee fend le flux d'air a grande vitesse, et les cones d'outils et les pointes de crayon exploitent la maniere dont un cone arrive doucement en un point unique. Le tronc de cone, un cone dont la pointe est coupee, modelise seaux, abat-jour, cones de signalisation et tours de refroidissement, et le mode tronc de la calculatrice renvoie son volume et sa surface directement a partir des deux rayons et de la hauteur, evitant le travail de soustraire un cone d'un autre.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on le volume d'un cone ?

Le volume d'un cone droit est V = (1/3) pi r^2 h, ou r est le rayon de base et h la hauteur. C'est exactement un tiers du volume du cylindre de meme base et meme hauteur. Pour r = 3 et h = 4, V = 12 pi, environ 37,70 unites cubiques.

Qu'est-ce que l'apotheme (hauteur inclinee) du cone ?

C'est la distance du sommet a un point quelconque du bord de la base, notee l. Elle se calcule par le theoreme de Pythagore : l = racine de (r^2 + h^2), car r, h et l forment un triangle rectangle. Pour r = 3 et h = 4, l = 5. Elle est necessaire pour calculer la surface laterale.

Comment calcule-t-on la surface d'un cone ?

La surface laterale est S_lat = pi r l et celle de base S_base = pi r^2. La surface totale est leur somme : S_tot = pi r (l + r). Par exemple pour r = 3 et l = 5, S_lat = 15 pi et S_tot = 24 pi, environ 75,40 unites carrees.

Pourquoi le cone vaut-il un tiers du cylindre ?

Parce qu'en integrant les aires des disques horizontaux, dont le rayon croit proportionnellement a la hauteur, on obtient exactement un tiers du volume du cylindre. Cela fut demontre par Eudoxe avec la methode d'exhaustion vers 370 av. J.-C. puis avec le principe de Cavalieri et le calcul integral.

Qu'est-ce qu'un tronc de cone ?

C'est un cone dont la pointe a ete coupee par un plan parallele a la base, laissant deux bases circulaires de rayons r (inferieur) et R (superieur). Son volume est V = (pi h / 3)(r^2 + R^2 + rR). Il modelise des objets comme seaux, abat-jour, cones de signalisation et tours de refroidissement.

Comment developpe-t-on un cone dans le plan ?

En coupant la surface laterale le long de l'apotheme et en l'etalant, on obtient un secteur circulaire de rayon l (l'apotheme) dont l'arc egale la circonference de base 2 pi r. L'angle du secteur est 2 pi r/l. C'est le patron pour construire des cones reels a partir de tole plate ou de papier.

Qu'est-ce que l'angle au sommet ?

C'est l'angle d'ouverture du cone mesure au sommet le long d'un plan contenant l'axe. Il vaut 2 arctan(r/h). Pour r = 3 et h = 4 il est d'environ 73,74 degres. Un petit angle indique un cone etroit et allonge, un grand un cone large et aplati.

A quoi servent ces calculs ?

A la geometrie dans l'espace, a l'ingenierie (cones de haut-parleur, ogives de fusees, entonnoirs), a la construction de toits et de tours, a la fabrication d'objets coniques en tole, et au calcul de capacites et de materiaux. Le cone est l'une des formes solides fondamentales, etudiee depuis l'antiquite par Eudoxe et Archimede.

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