Calcolatore Cono Retto: Volume, Superficie, Apotema, Tronco

Calcolatore cono retto: volume V = (1/3) pi r^2 h, superficie laterale e totale, apotema l = sqrt(r^2 + h^2), tronco di cono con due raggi e altezza data.

Parametri di calcolo
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Cono retto: definizioni e formule

Un cono retto e un solido di rotazione ottenuto ruotando un triangolo rettangolo attorno a uno dei cateti. Caratterizzato da: raggio di base r, altezza h, apotema (slant height) l. Il vertice (apice) e perpendicolare al centro della base. Le formule fondamentali sono:

  • Volume: V = (1/3) pi r^2 h.
  • Apotema: l = sqrt(r^2 + h^2) (Pitagora applicato al triangolo r-h-l).
  • Superficie laterale: S_lat = pi r l.
  • Superficie base: S_base = pi r^2.
  • Superficie totale: S_tot = S_lat + S_base = pi r (l + r).

Esempio numerico

Cono con r = 3 cm, h = 4 cm:

  • Apotema: l = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5 cm.
  • Volume: V = (1/3) pi * 9 * 4 = 12 pi ~ 37.70 cm^3.
  • S_lat = pi * 3 * 5 = 15 pi ~ 47.12 cm^2.
  • S_base = 9 pi ~ 28.27 cm^2.
  • S_tot = 24 pi ~ 75.40 cm^2.
  • Angolo apice (2 atan(r/h)) = 2 * atan(0.75) = 73.74 gradi.

Derivazione del volume (integrale)

Il volume del cono si ottiene per integrazione di sezioni trasversali. A altezza y dal vertice, il raggio della sezione e r(y) = (r/h) * y (similitudine). Sezione circolare di area pi (r y / h)^2. Volume:

V = integrale da 0 a h di pi (r y / h)^2 dy = pi r^2 / h^2 * integrale y^2 dy = pi r^2 / h^2 * h^3/3 = (1/3) pi r^2 h

Equivalente principio di Cavalieri: il cono ha volume = (1/3) del cilindro circoscritto stesso r, h. Risultato classico di Eudosso (~370 a.C.) e Archimede (~250 a.C.). Generalizza: ogni cono o piramide ha volume = (1/3) area_base * altezza.

Sviluppo del cono nel piano

Tagliando un cono lungo l apotema e srotolandolo si ottiene:

  • Settore circolare di raggio l (apotema) e arco lungo 2 pi r (circonferenza base). Angolo settore: theta = 2 pi r / l radianti = 360 r / l gradi.
  • Cerchio di raggio r (base, separabile).

Esempio r = 3, l = 5: theta = 360 * 3/5 = 216 gradi. Settore di 216 gradi e raggio 5 + cerchio di raggio 3.

Tronco di cono (frustum)

Cono troncato da un piano parallelo alla base, con raggio inferiore r, raggio superiore R < r, altezza h:

  • Volume: V = (pi h / 3)(r^2 + R^2 + r R).
  • Apotema laterale: l_f = sqrt((r - R)^2 + h^2).
  • Superficie laterale: S_lat = pi (r + R) l_f.
  • Superficie totale: S = S_lat + pi (r^2 + R^2).

Esempio r = 3, R = 1.5, h = 4: V = (pi * 4 / 3)(9 + 2.25 + 4.5) = 4.19 * 15.75 = 65.97. l_f = sqrt(2.25 + 16) = 4.27. S_lat = pi * 4.5 * 4.27 = 60.36. Caso R = 0: cono normale. Caso R = r: cilindro.

Cono obliquo vs retto

Cono RETTO: asse perpendicolare alla base, sezioni trasversali parallele coincidenti con cerchi concentrici. Volume = (1/3) pi r^2 h. Cono OBLIQUO: vertice non sopra il centro della base. STESSO volume (Cavalieri), ma superficie laterale diversa (no formula chiusa semplice). In questo calcolatore si assume sempre cono retto.

Angolo apice e angolo basale

  • Angolo apice (vertex angle): 2 alpha dove tan(alpha) = r/h. In gradi: 2 atan(r/h) * 180/pi.
  • Angolo basale: 90 - alpha = atan(h/r). Angolo tra base e apotema.
  • Cono stretto (h grande, r piccolo): angolo apice piccolo. Cono largo (r grande): apice grande.

Esempi: r = h (apice 90 gradi). h = 2r (apice 53.13 gradi). r = 2h (apice 126.87 gradi).

Formule alternative e relazioni

  • Da V e r: h = 3V / (pi r^2).
  • Da V e h: r = sqrt(3V / (pi h)).
  • Da S_lat e r: l = S_lat / (pi r), poi h = sqrt(l^2 - r^2).
  • Da S_tot e r: l = (S_tot - pi r^2)/(pi r).
  • Massa: m = densità * V (per cono pieno).
  • Centroide (cono pieno): a h/4 dalla base sull asse.
  • Momento di inerzia (asse): I = (3/10) m r^2.

Generalizzazioni

  • Cono ellittico: base ellittica con semiassi a, b. V = (pi a b h)/3.
  • Piramide retta: base poligonale, V = (1/3) area_base * h. Stessa formula generalizzata.
  • Cono in n dimensioni: V_n = h * V_{n-1}(base) / n.
  • Doppio cono: due coni uniti per la base. V = 2 * (1/3) pi r^2 h.
  • Cono biconico (sezione): sezione conica di un cono e parabola, ellisse o iperbole.

Applicazioni

  • Ingegneria civile: tetti conici, ciminiere, silos.
  • Architettura: cupole, guglie, campanili.
  • Idraulica: imbuti, ugelli, valvole.
  • Astronomia: angolo solido di un cono = 2 pi (1 - cos alpha).
  • Aerospaziale: ogive missili, capsule (cono di rientro).
  • Geologia: vulcani conici, dune.
  • Industriale: tramogge, contenitori conici.
  • Cucina: coni gelato, imbuti.

Sezioni coniche

Tagliando un cono retto con un piano si ottengono le sezioni coniche, fondamentali in geometria analitica:

  • Cerchio: piano perpendicolare all asse.
  • Ellisse: piano obliquo che taglia entrambi i lati ma non e parallelo al lato.
  • Parabola: piano parallelo al lato (apotema).
  • Iperbole: piano parallelo all asse (taglia entrambi i nappi del doppio cono).

Apollonio di Perga (~262-190 a.C.) studio sistematicamente le coniche in 8 libri. Kepler le applico al moto planetario, Newton al campo gravitazionale.

Storia

Eudosso di Cnido (~370 a.C.): primo a dimostrare V_cono = V_cilindro / 3 con metodo di esaustione. Archimede (~250 a.C., "On the Sphere and Cylinder"): formalizza calcolo coni e tronchi. Apollonio di Perga: trattato sui coni e sezioni coniche. Cavalieri (1635): metodo degli indivisibili, dimostrazione moderna. Calcolo integrale (Newton, Leibniz, XVII secolo): derivazione rigorosa via integrali. Teoremi di Pappo (~300 d.C.): superficie di rotazione = lunghezza curva * 2 pi * distanza centroide.

Modalita del calcolatore

Cinque modalita: tutto (V + superfici + apotema + angolo apice); volume; superficie totale e laterale; apotema l; tronco di cono con due raggi r e R. Input: r, h, e per il tronco anche R. Output: tutte le grandezze geometriche notevoli del cono.

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Come si calcola il volume di un cono?

Il volume di un cono retto e V = (1/3) pi r^2 h, dove r e il raggio di base e h l'altezza. E esattamente un terzo del volume del cilindro con la stessa base e altezza. Per r = 3 e h = 4 si ha V = 12 pi, circa 37,70 unita cubiche.

Cos'e l'apotema (altezza inclinata) del cono?

E la distanza dal vertice a un punto qualsiasi del bordo della base, indicata con l. Si calcola col teorema di Pitagora: l = radice di (r^2 + h^2), perche r, h e l formano un triangolo rettangolo. Per r = 3 e h = 4, l = 5. Serve per calcolare la superficie laterale.

Come si calcola la superficie di un cono?

La superficie laterale e S_lat = pi r l e quella di base S_base = pi r^2. La superficie totale e la somma: S_tot = pi r (l + r). Ad esempio per r = 3 e l = 5, S_lat = 15 pi e S_tot = 24 pi, circa 75,40 unita quadrate.

Perche il cono e un terzo del cilindro?

Perche integrando le aree dei dischi orizzontali, il cui raggio cresce proporzionalmente all'altezza, si ottiene esattamente un terzo del volume del cilindro. Fu dimostrato da Eudosso col metodo di esaustione intorno al 370 a.C. e poi con il principio di Cavalieri e il calcolo integrale.

Cos'e un tronco di cono?

E un cono a cui e stata tagliata la punta con un piano parallelo alla base, ottenendo due basi circolari di raggi r (inferiore) e R (superiore). Il suo volume e V = (pi h / 3)(r^2 + R^2 + rR). Modella oggetti come secchi, paralumi, coni stradali e torri di raffreddamento.

Come si sviluppa un cono nel piano?

Tagliando la superficie laterale lungo l'apotema e stendendola, si ottiene un settore circolare di raggio l (l'apotema) il cui arco e uguale alla circonferenza di base 2 pi r. L'angolo del settore e 2 pi r/l. E il modello per costruire coni reali da lamiere o carta piatta.

Cos'e l'angolo al vertice?

E l'angolo di apertura del cono misurato al vertice lungo un piano che contiene l'asse. Vale 2 arctan(r/h). Per r = 3 e h = 4 e circa 73,74 gradi. Un angolo piccolo indica un cono stretto e allungato, uno grande un cono largo e schiacciato.

A cosa servono questi calcoli?

Alla geometria dello spazio, all'ingegneria (coni di altoparlanti, ogive di razzi, imbuti), all'edilizia per tetti e torri, alla produzione di oggetti conici da lamiera, e al calcolo di capacita e materiali. Il cono e una delle forme solide fondamentali, studiata fin dall'antichita da Eudosso e Archimede.

Formula

Volume V = (1/3) pi r^2 h. Slant l = sqrt(r^2 + h^2). Lateral S = pi r l. Total S = pi r (l + r). Frustum V = (pi h/3)(r^2 + R^2 + rR).

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