Calculateur Nombres Amicaux (Paires et Chaines Sociales)

Calculateur nombres amicaux : verification paire, recherche partenaire, liste jusqu a N, chaines sociales de cycles aliquotes et formule Thabit ibn Qurra.

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Les nombres amicaux

Deux entiers positifs m et n sont amicaux si la somme des diviseurs propres de l un est l autre et reciproquement : s(m) = n et s(n) = m. La paire la plus celebre est (220, 284). Les Pythagoriciens (VIe s. av. J.-C.) les consideraient comme symbole d amitie parfaite.

Définition formelle

sigma(m) = sigma(n) = m + n, avec m != n. Si m = n, le nombre est parfait (cas degenere).

Formule de Thabit ibn Qurra (850 ap. J.-C.)

Si p = 3 * 2^k - 1, q = 3 * 2^(k-1) - 1, r = 9 * 2^(2k-1) - 1 tous premiers, alors (2^k * p * q, 2^k * r) est paire amicale.

k=2 : (220, 284). k=4 : (17296, 18416) Fermat 1636. k=7 : (9363584, 9437056) Descartes 1638.

Histoire

  • 220, 284 : Pythagoriciens ~500 av. J.-C.
  • 17296, 18416 : Thabit, Fermat.
  • 9363584, 9437056 : Descartes.
  • 1184, 1210 : Paganini (16 ans !) 1866.
  • Euler (1747) : 30 paires nouvelles.
  • Calcul moderne : > 1 milliard en 2026.

Chaines sociales

Generalisation a cycles > 2 : n_1 -> n_2 -> ... -> n_k -> n_1 par s. k=1 parfait, k=2 amical, k>=3 social. Longueur 5 (Poulet 1918), longueur 28 (1965). Aucune longueur 3 trouvee.

Cinq modes

  1. Verification paire.
  2. Recherche partenaire.
  3. Liste paires jusqu a N.
  4. Chaine sociale.
  5. Formule Thabit.

Propriétés

  • Un abondant, un deficient.
  • Toutes les paires connues meme parite.
  • Somme divisible par 9 pour m+n < 10^7 (conjecture Lee-Madachy).

Contexte philosophique

Les Pythagoriciens attribuaient aux nombres amicaux (220, 284) une signification mystique : deux amis portaient l un des nombres en talisman pour sceller leur amitie. Ce symbolisme a traverse le monde arabe (Thabit, Al-Kindi), la Renaissance europeenne (Fermat, Descartes) et la tradition mathématique moderne. Aujourd hui encore exemple accessible de beaute numérique liant divisibilite, symétrie et harmonie.

Applications

  • Théorie des nombres : fonction sigma, premiers de Mersenne, formules arithmetiques.
  • Histoire mathématique : symbole pythagoricien, tradition arabe, Renaissance europeenne.
  • Calcul distribue : projets de recherche de paires amicales.
  • Cryptographie : exemples en exercices de factorisation.
  • Philosophie : numerologie, mathématique mystique.
  • Didactique : introduction aux diviseurs, sigma, suites aliquotes.

Les nombres amicaux dans la culture et le mysticisme

Le couple (220, 284) fascine l'humanité depuis des millénaires, bien au-delà des mathématiques pures. Les pythagoriciens voyaient dans les nombres amicaux un symbole d'amitié et d'harmonie, attribuant au concept une valeur presque sacrée : on raconte que Pythagore, interrogé sur ce qu'était un ami, répondit « celui qui est l'autre moi-même, comme 220 et 284 ». Au Moyen Âge ces nombres apparaissaient sur des talismans et amulettes d'amour : on croyait qu'écrire 220 et 284 sur deux objets donnés à deux personnes renforçait leur lien affectif. La tradition juive relie le couple au récit biblique où Jacob offre à Ésaü 220 chèvres en cadeau de réconciliation. Cette riche symbolique montre comment une curiosité arithmétique peut traverser philosophie, religion et superstition.

Questions ouvertes sur les nombres amicaux

Malgré des siècles d'étude, les nombres amicaux conservent des mystères non résolus. On ignore s'il existe une infinité de couples amicaux : on en connaît désormais des milliards grâce aux ordinateurs, mais une preuve qu'ils sont infinis manque encore. On n'a jamais trouvé de couple amical dont les deux nombres soient premiers entre eux (sans diviseurs communs), et l'on soupçonne qu'il n'en existe pas. Tous les couples connus ont en outre la même parité : tous deux pairs ou tous deux impairs, jamais mixte. De nombreuses conjectures sur ces schémas restent ouvertes, et la formule de Thabit, bien qu'élégante, ne génère qu'une infime fraction de tous les couples existants. Les nombres amicaux restent un terrain fertile pour la théorie des nombres.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Que sont les nombres amicaux ?

Deux nombres sont amicaux si chacun égale la somme des diviseurs propres de l'autre. Le couple le plus célèbre est (220, 284) : les diviseurs propres de 220 font 284, et ceux de 284 font 220. Ce sont une généralisation des nombres parfaits, où un nombre est amical avec lui-même. Rares et fascinants, ils sont étudiés depuis l'Antiquité et portent une forte valeur symbolique d'amitié.

Quel est le plus petit couple amical ?

C'est le couple (220, 284), connu depuis l'époque des pythagoriciens. Les diviseurs propres de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, qui font 284 ; les diviseurs propres de 284 sont 1, 2, 4, 71, 142, qui font 220. Les couples suivants sont (1184, 1210), (2620, 2924) et (5020, 5564). Ils deviennent rapidement plus rares et grands quand les valeurs croissent.

Qu'est-ce que la formule de Thabit ibn Qurra ?

C'est une règle découverte par le mathématicien arabe Thabit ibn Qurra au IXe siècle pour engendrer des couples amicaux. Elle affirme que si les trois nombres p = 3·2ᵏ−1, q = 3·2ᵏ⁻¹−1 et r = 9·2²ᵏ⁻¹−1 sont tous premiers, alors (2ᵏ·p·q, 2ᵏ·r) est un couple amical. Pour k = 2 elle donne précisément le couple (220, 284). Elle est élégante mais ne génère qu'une petite partie de tous les couples existants.

Que sont les chaînes sociables ?

Ce sont une généralisation des nombres amicaux à des cycles plus longs. Dans une chaîne sociable, la somme des diviseurs propres de chaque nombre donne le suivant, et à la fin on revient au premier, fermant le cycle. Les nombres parfaits sont des cycles de longueur 1, les couples amicaux de longueur 2. Il existe des chaînes de longueur 4, 5, 6, 9 et même 28 : la plus célèbre part de 14316 et a 28 éléments.

Qui a découvert les nombres amicaux ?

Le couple (220, 284) était déjà connu des pythagoriciens au VIe siècle av. J.-C. Le mathématicien arabe Thabit ibn Qurra formula une règle génératrice au IXe siècle. En Europe ils furent redécouverts au XVIIe siècle par Fermat et Descartes, qui trouvèrent de nouveaux couples. Mais le grand bond est dû à Leonhard Euler, qui au XVIIIe siècle en trouva pas moins de 59, révolutionnant la connaissance de ces nombres avant l'ère des ordinateurs.

Existe-t-il une infinité de couples amicaux ?

On l'ignore : c'est une question ouverte de la théorie des nombres. Grâce aux ordinateurs on en connaît désormais des milliards, et on continue de trouver des couples de plus en plus grands, mais personne n'a encore prouvé qu'ils sont infinis. Beaucoup de mathématiciens le jugent probable, mais une preuve rigoureuse manque. C'est l'un des nombreux problèmes apparemment simples sur les entiers qui résistent à une solution depuis des siècles.

Quelle fut la découverte de Paganini ?

En 1866 un jeune Italien de seize ans nommé Nicolò Paganini (homonyme du célèbre violoniste) découvrit le couple amical (1184, 1210), qui avait échappé pendant des siècles à des mathématiciens comme Fermat et Euler bien qu'il fût relativement petit. C'est le deuxième plus petit couple en absolu, et sa découverte tardive par un amateur est une anecdote célèbre dans l'histoire de la théorie des nombres.

Les couples amicaux peuvent-ils être premiers entre eux ?

Aucun n'est connu : tous les couples amicaux connus partagent au moins un facteur commun. On conjecture qu'il n'existe pas de couples amicaux premiers entre eux, c'est-à-dire avec les deux nombres sans diviseurs communs, mais cela n'a pas été démontré. De même, tous les couples connus ont la même parité, tous deux pairs ou tous deux impairs. Ces schémas encore inexpliqués font des nombres amicaux un sujet de recherche actif.

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