Calcolatore Numeri Amicabili (Coppie e Catene Sociali)

Calcolatore numeri amicabili: verifica coppia, ricerca partner, lista fino a N, catene sociali di cicli aliquoti e formula storica di Thabit ibn Qurra.

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I numeri amicabili

Due numeri interi positivi m e n sono amicabili se la somma dei divisori propri di uno e' uguale all'altro, e viceversa: s(m) = n e s(n) = m. La coppia più' celebre e' (220, 284): s(220) = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 e s(284) = 1+2+4+71+142 = 220. I Pitagorici (VI secolo a.C.) li consideravano simbolo di amicizia perfetta; si diceva che due amici portassero rispettivamente 220 e 284 come talismano.

Definizione formale

Sia sigma(n) la somma di tutti i divisori di n, e s(n) = sigma(n) - n la somma dei divisori propri (aliquotia). Allora (m, n) con m != n sono amicabili sse:

sigma(m) = sigma(n) = m + n

Equivalentemente: s(m) = n e s(n) = m. Se m = n, la condizione diventa s(m) = m, cioè' m e' perfetto - caso degenere di amicabilita' in coppia con se' stesso.

La formula di Thabit ibn Qurra (850 d.C.)

Il matematico arabo Thabit ibn Qurra (826-901) scopri' la prima formula esplicita per generare coppie amicabili:

Se p = 3 * 2^k - 1, q = 3 * 2^(k-1) - 1 e r = 9 * 2^(2k-1) - 1 sono tutti e tre primi, allora (2^k * p * q, 2^k * r) e' una coppia amicabile.

k=2: p=11, q=5, r=71 tutti primi -> (2^2 * 11 * 5, 2^2 * 71) = (220, 284).

k=4: p=47, q=23, r=1151 primi -> (17296, 18416). Scoperta attribuita a Fermat 1636.

k=7: p=383, q=191, r=73727 primi -> (9363584, 9437056). Scoperta da Descartes 1638.

Per k in {1, 3, 5, 6, 8, ...}: uno dei tre non e' primo, Thabit non applicabile.

Storia della scoperta

  • 220, 284: Pitagorici, ~ 500 a.C.
  • 17296, 18416: Thabit ibn Qurra ~ 860 d.C. (formalmente), Fermat 1636 (rediscoperta).
  • 9363584, 9437056: Descartes 1638.
  • 1184, 1210: scoperta scioccante da Nicolo' Paganini (16enne!) nel 1866. Sfugge a Eulero che trovo' oltre 60 coppie.
  • Eulero (1747): 30 nuove coppie in un'opera, portando il totale a 36.
  • Computing moderno (GIMPS-style): oltre 1 miliardo di coppie conosciute al 2026.

Catene sociali

Generalizzazione dell'amicabilita' a cicli di lunghezza > 2: una catena sociale e' una sequenza n_1 -> n_2 -> ... -> n_k -> n_1 dove ogni n_{i+1} = s(n_i). Se k=1, numero perfetto. Se k=2, coppia amicabile. Se k >= 3, catena sociale propria.

  • Catena 5: (12496, 14288, 15472, 14536, 14264) scoperta da Poulet 1918.
  • Catena 28: scoperta nel 1965 (Poulet), include il numero 14316 come più' piccolo.
  • Catene 4, 6, 8, 9, 10 esistono ma nessuna di lunghezza 3 e' stata trovata.
  • Congettura: non esistono catene di lunghezza 3 (open).

Le cinque modalita' del calcolatore

  1. Verifica coppia: dati m, n, controlla se sono amicabili.
  2. Trova partner: dato m, cerca il suo partner amicabile (o identifica se perfetto).
  3. Lista coppie: tutte le coppie amicabili fino a N.
  4. Catena sociale: orbita di s iterata con rilevamento cicli.
  5. Formula di Thabit: per k dato, verifica se p, q, r sono primi e costruisce la coppia.

Proprietà' notevoli

  • Se (m, n) amicabile, allora m e' abbondante (s(m) > m se m < n) e n e' deficiente, o viceversa. Una e' abbondante, una e' deficiente.
  • In tutte le coppie amicabili note, entrambi i numeri sono pari o entrambi dispari. Esistenza di coppie mista pari/dispari: open.
  • La somma di una coppia amicabile e' sempre divisibile per 9 nelle coppie con m+n < 10^7 (congettura Lee-Madachy 1972).
  • Coppie amicabili più' piccole per ogni fattore primo p.
  • Densità' asintotica delle coppie amicabili e' sconosciuta; si congettura o(n / log n).

Applicazioni

  • Teoria dei numeri: connessioni con sigma, Mersenne, formule aritmetiche.
  • Storia della matematica: simbolo dell'amicizia pitagorica, tradizione araba, rinascimento europeo.
  • Computing distribuito: ricerca di coppie amicabili in progetti come AmicableSearch.
  • Crittografia: alcune coppie amicabili compaiono come esempi in esercitazioni su fattorizzazione.
  • Filosofia: tema ricorrente nella numerologia e matematica mistica.
  • Didattica: esercizio accessibile per introdurre divisori, sigma, sequenze.

Numeri amicabili nella cultura e nel misticismo

La coppia (220, 284) ha affascinato l'umanità per millenni, molto oltre la matematica pura. I Pitagorici vedevano nei numeri amicabili un simbolo di amicizia e armonia, e attribuivano al concetto un valore quasi sacro: si racconta che Pitagora, interrogato su cosa fosse un amico, rispondesse «uno che è l'altro me stesso, come 220 e 284». Nel Medioevo questi numeri comparivano su talismani e amuleti d'amore: si credeva che scrivere 220 e 284 su due oggetti dati a due persone ne rafforzasse il legame affettivo. La tradizione ebraica collega la coppia al racconto biblico in cui Giacobbe offre a Esaù 220 capre come dono di riconciliazione. Questa ricca simbologia mostra come una curiosità aritmetica possa attraversare filosofia, religione e superstizione.

Domande aperte sui numeri amicabili

Nonostante secoli di studio, i numeri amicabili conservano misteri irrisolti. Non si sa se esistano infinite coppie amicabili: se ne conoscono ormai miliardi grazie ai computer, ma una dimostrazione che siano infinite manca ancora. Non è mai stata trovata una coppia amicabile in cui i due numeri siano coprimi (senza divisori comuni), e si sospetta che non esista. Tutte le coppie conosciute hanno inoltre la stessa parità: entrambi pari o entrambi dispari, mai una mista. Restano aperte molte congetture su questi schemi, e la formula di Thabit, pur elegante, genera solo una minima frazione di tutte le coppie esistenti. I numeri amicabili rimangono un terreno fertile per la teoria dei numeri.

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cosa sono i numeri amicabili?

Due numeri sono amicabili se ciascuno è uguale alla somma dei divisori propri dell'altro. La coppia più famosa è (220, 284): i divisori propri di 220 sommano a 284, e quelli di 284 sommano a 220. Sono una generalizzazione dei numeri perfetti, dove un numero è amicabile con se stesso. Rari e affascinanti, sono studiati fin dall'antichità e hanno un forte valore simbolico di amicizia.

Qual è la coppia amicabile più piccola?

È la coppia (220, 284), nota fin dai tempi dei Pitagorici. I divisori propri di 220 sono 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, che sommano a 284; i divisori propri di 284 sono 1, 2, 4, 71, 142, che sommano a 220. Le coppie successive sono (1184, 1210), (2620, 2924) e (5020, 5564). Diventano rapidamente più rare e grandi al crescere dei valori.

Cos'è la formula di Thabit ibn Qurra?

È una regola scoperta dal matematico arabo Thabit ibn Qurra nel IX secolo per generare coppie amicabili. Afferma che se i tre numeri p = 3·2ᵏ−1, q = 3·2ᵏ⁻¹−1 e r = 9·2²ᵏ⁻¹−1 sono tutti primi, allora (2ᵏ·p·q, 2ᵏ·r) è una coppia amicabile. Per k = 2 dà proprio la coppia (220, 284). È elegante ma genera solo una piccola parte di tutte le coppie esistenti.

Cosa sono le catene sociali?

Sono una generalizzazione dei numeri amicabili a cicli più lunghi. In una catena sociale, la somma dei divisori propri di ciascun numero dà il successivo, e alla fine si ritorna al primo, chiudendo il ciclo. I numeri perfetti sono cicli di lunghezza 1, le coppie amicabili di lunghezza 2. Esistono catene di lunghezza 4, 5, 6, 9 e persino 28: la più famosa parte da 14316 e ha 28 elementi.

Chi ha scoperto i numeri amicabili?

La coppia (220, 284) era già nota ai Pitagorici nel VI secolo a.C. Il matematico arabo Thabit ibn Qurra formulò una regola generatrice nel IX secolo. In Europa furono riscoperti nel Seicento da Fermat e Descartes, che trovarono nuove coppie. Ma il grande balzo si deve a Leonhard Euler, che nel Settecento ne trovò ben 59, rivoluzionando la conoscenza di questi numeri prima dell'era dei computer.

Esistono infinite coppie amicabili?

Non si sa: è una domanda aperta della teoria dei numeri. Grazie ai computer se ne conoscono ormai miliardi, e continuano a essere trovate coppie sempre più grandi, ma nessuno ha ancora dimostrato che siano infinite. Molti matematici lo ritengono probabile, ma manca una prova rigorosa. È uno dei tanti problemi apparentemente semplici sui numeri interi che resistono a una soluzione da secoli.

Cosa fu la scoperta di Paganini?

Nel 1866 un giovane italiano sedicenne di nome Nicolò Paganini (omonimo del celebre violinista) scoprì la coppia amicabile (1184, 1210), sfuggita per secoli a matematici come Fermat ed Euler nonostante fosse relativamente piccola. È la seconda coppia più piccola in assoluto, e la sua scoperta tardiva da parte di un dilettante è un aneddoto celebre nella storia della teoria dei numeri.

Le coppie amicabili possono essere coprime?

Non se ne conosce alcuna: tutte le coppie amicabili note condividono almeno un fattore comune. Si congettura che non esistano coppie amicabili coprime, cioè con i due numeri privi di divisori comuni, ma non è stato dimostrato. Analogamente, tutte le coppie conosciute hanno la stessa parità, entrambi pari o entrambi dispari. Questi schemi non ancora spiegati rendono i numeri amicabili un argomento di ricerca attivo.

Formula

(m, n) amicabili: sigma(m) = sigma(n) = m + n, m != n. Equivalente: s(m) = n, s(n) = m con s(n) = sigma(n) - n. Thabit: se p=3*2^k-1, q=3*2^(k-1)-1, r=9*2^(2k-1)-1 primi, (2^k*p*q, 2^k*r) amicabile. k=2 da' (220, 284).

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