Calcolatore Costante di Tempo RC (Carica, Scarica, Filtro)

Calcolatore costante di tempo RC tau = R x C: carica e scarica condensatore V(t), frequenza di taglio f_c filtro passa-basso, tempo per raggiungere percentuale.

Parametri di calcolo
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Costante di tempo RC: definizione

In un circuito serie RC (resistore + condensatore in serie), la costante di tempo tau caratterizza la velocità di carica e scarica del condensatore:

tau = R * C

Unita: secondi (Ohm * Farad = secondi). R in Ohm, C in Farad. Esempi pratici: R = 10 kOhm, C = 1 uF -> tau = 10000 * 10^-6 = 0.01 s = 10 ms.

Curve di carica e scarica

Quando si applica V0 a un circuito RC inizialmente scarico:

V_C(t) = V0 (1 - e^(-t/tau)) [carica]

Quando si rimuove la sorgente e si lascia scaricare:

V_C(t) = V0 e^(-t/tau) [scarica]

Tempi caratteristici (multipli di tau):

  • 1 tau: V = 0.632 V0 (63.2 %, carica). V = 0.368 V0 (36.8 %, scarica).
  • 2 tau: V = 0.865 V0 (86.5 %, carica).
  • 3 tau: V = 0.950 V0 (95 %, carica).
  • 5 tau: V = 0.9933 V0 (99.3 %, carica). Considerato "completo".

Frequenza di taglio (filtro)

Un circuito RC e usato come filtro passa-basso (low-pass) o passa-alto (high-pass). La frequenza di taglio (cutoff o -3 dB):

f_c = 1 / (2 pi R C) = 1 / (2 pi tau)

A f_c: V_out / V_in = 1/sqrt(2) ~ 0.707 (-3 dB di guadagno). Sopra f_c (passa-basso): attenuazione 20 dB/decade. Esempio R = 1 kOhm, C = 100 nF: tau = 100 us, f_c = 1591 Hz (cutoff audio).

Filtro passa-basso vs passa-alto

  • Passa-basso (LP): V_in -> R -> V_out (su C verso ground). Lascia passare frequenze < f_c, attenua sopra. V_out / V_in = 1 / sqrt(1 + (f/f_c)^2).
  • Passa-alto (HP): V_in -> C -> V_out (su R verso ground). Lascia passare frequenze > f_c, attenua sotto. V_out / V_in = (f/f_c) / sqrt(1 + (f/f_c)^2).
  • Slope: 20 dB/decade (= 6 dB/ottava). Per slope più ripido servono filtri ordine superiore (LC, RLC, attivi).

Esempio numerico: R = 10k, C = 1uF

  • tau = 10^4 * 10^-6 = 10 ms.
  • f_c = 1 / (2 pi * 0.01) = 15.92 Hz (filtro audio sub-bass).
  • Carica al 99 %: t = 4.605 * tau = 46.05 ms.
  • Tempo medio: 0.693 * tau = 6.93 ms (50 %).
  • Energia immagazzinata a piena carica: E = (1/2) C V0^2 = 0.5 * 10^-6 * 144 = 72 uJ (per V0 = 12 V).

Derivazione: equazione differenziale

Per il circuito RC con sorgente V0 (carica):

V0 = V_R + V_C = R i + V_C

i = C dV_C/dt

Combinando: V0 = RC dV_C/dt + V_C, equazione differenziale lineare di primo ordine.

Soluzione con V_C(0) = 0: V_C(t) = V0 (1 - e^(-t/RC)). La costante di integrazione fissata dalla condizione iniziale. Per la scarica (V0 = 0): V_C(t) = V_C(0) e^(-t/RC) (decadimento esponenziale).

Energia immagazzinata e dissipata

Energia nel condensatore a tensione V: E_C = (1/2) C V^2.

Durante la carica completa da 0 a V0:

  • Energia fornita dalla sorgente: W_src = C V0^2.
  • Energia immagazzinata nel C: E_C = (1/2) C V0^2.
  • Energia dissipata nel R: W_R = (1/2) C V0^2.
  • Rendimento di carica: 50 % (sempre, indipendente da R).

Per migliorare l efficienza si usano convertitori DC-DC (boost, buck) anziché RC.

Applicazioni

  • Filtro audio: passa-basso anti-aliasing (DAC), passa-alto rimozione DC (microfoni).
  • Timer e ritardi: 555 timer in modalita astabile o monostabile.
  • Debouncing: filtra rimbalzi meccanici di interruttori (tau ~ 10-100 ms).
  • Smoothing: livellamento dell uscita di rettificatori (alimentatori).
  • Sample and hold: cattura e mantiene una tensione (ADC).
  • Oscillatori: rilassamento (sawtooth, square wave).
  • Controllo motori: PWM smoothing.
  • Comunicazioni RF: filtri di banda, bias networks.

RC vs RL vs RLC

CircuitotauEnergiaComportamento
RCR C(1/2) C V^2Filtro 1 ordine, no oscillazione
RLL / R(1/2) L I^2Filtro 1 ordine, no oscillazione
RLC sotto-smorzato2L/RmistoOscillazione smorzata
RLC critico2L/RmistoRisposta più rapida senza oscillazione
RLC sovra-smorzatoR/(2L)mistoDecadimento doppio esponenziale lento

Errori comuni e accorgimenti

  • Tolleranze componenti: R tipico +/- 5 % o 1 %, C tipico +/- 5 % o 10 %. tau effettivo varia +/- 10 % o più. Per applicazioni precise: usare componenti 1 %.
  • ESR del condensatore: resistenza serie equivalente del C aggiunge a R. Significativa per condensatori elettrolitici alle alte frequenze.
  • Tensione di lavoro: V_max del C deve essere > V0 con margine 50 %.
  • Polarita: condensatori elettrolitici sono polarizzati. Inversione = guasto/esplosione.
  • Carico: se l uscita guida un carico R_L, tau effettivo = (R || R_L) * C.
  • Effetti parassiti: induttanza dei cavi, capacità parassite a frequenze RF.

Storia

Pieter van Musschenbroek (1745, Universita di Leiden): inventa la bottiglia di Leida, primo condensatore. Benjamin Franklin (1750s): sperimenta con bottiglie di Leida, conia il termine "battery" per banchi di condensatori. Ohm (1827): legge V = IR. Faraday (1830s): induzione elettromagnetica, capacità. Gustav Kirchhoff (1845): leggi delle correnti e tensioni. James Clerk Maxwell (1873): unificazione della teoria elettromagnetica. Heaviside (1880s-1890s): metodo operazionale per equazioni differenziali in circuiti. Standard moderno: SI definisce Farad come Coulomb/Volt.

Modalita del calcolatore

Cinque modalita: tau da R e C; carica V(t) = V0 (1 - exp(-t/tau)); scarica V(t) = V0 exp(-t/tau); frequenza di taglio f_c = 1/(2 pi RC); tempo per raggiungere percentuale target di V0 (carica o scarica). Output include i multipli di tau (1, 2, 3, 5 tau) e interpretazione contestuale.

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cos'e la costante di tempo RC?

E il prodotto della resistenza R per la capacita C, tau = R C, misurato in secondi (Ohm x Farad = secondi). Caratterizza la velocita con cui un condensatore si carica o si scarica attraverso un resistore in un circuito RC serie. Per R = 10 kOhm e C = 1 uF si ha tau = 10 ms.

Come varia la tensione durante la carica?

Partendo da condensatore scarico, la tensione cresce come V(t) = V0 (1 - e^(-t/tau)): rapida all'inizio, poi sempre piu lenta. A t = tau raggiunge il 63,2% di V0, a 2 tau l'86,5%, a 3 tau il 95% e a 5 tau oltre il 99,3%, quando si considera la carica praticamente completa.

Come varia la tensione durante la scarica?

La tensione decade come V(t) = V0 e^(-t/tau): a t = tau scende al 36,8% di V0, a 2 tau al 13,5%, a 5 tau sotto lo 0,7%. La corrente di scarica segue lo stesso andamento esponenziale, I(t) = V(t)/R, diminuendo man mano che il condensatore si svuota.

Cos'e la regola dei 5 tau?

E la convenzione pratica per cui dopo cinque costanti di tempo un transitorio RC e considerato completo, avendo raggiunto oltre il 99,3% del valore finale. Ogni tau aggiuntivo colma la stessa frazione della distanza residua: 1 tau 63%, 2 tau 86%, 3 tau 95%, 5 tau oltre 99%.

Cos'e la frequenza di taglio di un filtro RC?

E f_c = 1/(2 pi R C), la frequenza a cui un filtro RC attenua il segnale a -3 dB, cioe il guadagno scende a 1/radice(2) ~ 0,707. Un filtro passa-basso lascia passare le frequenze sotto f_c, un passa-alto quelle sopra. E l'inverso di 2 pi volte la costante di tempo.

Come si calcola il tempo per raggiungere una percentuale?

Per la carica al livello p (frazione di V0): t = -tau ln(1 - p). Per la scarica a una tensione residua p: t = -tau ln(p). Esempi: 50% carica = 0,693 tau, 90% = 2,303 tau, 99% = 4,605 tau. Sono le stesse relazioni logaritmiche del decadimento esponenziale.

Perche la risposta e esponenziale?

Perche le leggi di Kirchhoff su resistore e condensatore in serie danno un'equazione differenziale in cui la velocita di variazione della tensione e proporzionale alla distanza dal valore finale. La soluzione e un'esponenziale. E la stessa matematica del raffreddamento di un corpo e del decadimento radioattivo.

Dove si usano i circuiti RC?

Nella temporizzazione (timer 555, ritardi, debounce di interruttori), nel filtraggio audio e radio, nell'accoppiamento fra stadi, nel livellamento delle alimentazioni, nella carica dei flash fotografici e nei circuiti sample-and-hold. Scegliendo R e C si colloca la costante di tempo dove serve.

Formula

tau = R * C. Charge: V(t) = V0 (1 - e^(-t/tau)). Discharge: V(t) = V0 e^(-t/tau). Cutoff: f_c = 1/(2 pi RC). Energy: E = (1/2) C V^2.

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