Il triangolo di Pascal-Tartaglia

Il triangolo di Pascal (in Italia noto come triangolo di Tartaglia, dal matematico Niccolò Tartaglia che lo studiò nel 1556) è una delle strutture più belle della matematica combinatoria. È un array triangolare in cui ogni entrata è la somma delle due entrate sopra di essa:

             1
            1 1
           1 2 1
          1 3 3 1
         1 4 6 4 1
        1 5 10 10 5 1
       1 6 15 20 15 6 1

Le righe sono indicizzate da n = 0 e ogni entrata è un coefficiente binomiale:

C(n, k) = n! / (k! · (n−k)!)

che conta il numero di modi di scegliere k oggetti da un insieme di n. Il triangolo era già noto in India (Pingala, 200 a.C.), Persia (al-Karaji, X secolo) e Cina (Yang Hui, 1261), ma prende il nome da Blaise Pascal che lo studiò sistematicamente in Traité du triangle arithmétique (1654).

Le quattro modalità del calcolatore

1. Prime N righe: mostra il triangolo fino alla riga N−1 (max 25), con allineamento centrato.
2. C(n, k): calcola un singolo coefficiente binomiale, verifica l'identità di Pascal C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) e lo evidenzia nel triangolo.
3. Somma della riga: verifica la proprietà fondamentale ∑_k=0ⁿ C(n, k) = 2ⁿ e mostra i numeri di Fibonacci lungo le diagonali shallow.
4. Triangolo modulare: calcola C(n, k) mod p per un primo p, rivelando frattali come il triangolo di Sierpinski per p = 2.

L'identità di Pascal

La regola ricorsiva di costruzione è:

C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k)

Dimostrazione: per scegliere k oggetti da n+1, o il primo elemento è incluso (restano k−1 da scegliere fra n) oppure non lo è (k da scegliere fra n). Sommando i due casi si ottiene la ricorsione. Questa identità dà un algoritmo O(n²) per calcolare tutti i coefficienti fino alla riga n.

Il teorema binomiale di Newton

Il triangolo di Pascal fornisce esattamente i coefficienti dell'espansione:

(x + y)ⁿ = ∑_k=0ⁿ C(n, k) · x^n−k · y^k

Esempio per n = 4: (x+y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴, i cui coefficienti 1, 4, 6, 4, 1 sono la quarta riga del triangolo. Isaac Newton generalizzò la formula a esponenti non interi (serie binomiale) nel 1665.

Proprietà notevoli e diagonali

• Simmetria: C(n, k) = C(n, n−k). Scegliere k elementi equivale a scegliere quali n−k escludere.
• Somma di una riga: ∑ C(n, k) = 2ⁿ. Equivale al numero di sottoinsiemi di un insieme di n elementi.
• Somma alternata: ∑ (−1)^k C(n, k) = 0 per n ≥ 1 (principio di inclusione-esclusione).
• Prima diagonale: tutti 1 (C(n, 0) = 1).
• Seconda diagonale: numeri naturali 1, 2, 3, 4, … (C(n, 1) = n).
• Terza diagonale: numeri triangolari 1, 3, 6, 10, 15, … (C(n, 2) = n(n−1)/2).
• Quarta diagonale: numeri tetraedrici 1, 4, 10, 20, … (C(n, 3)).
• Diagonali shallow: somma lungo diagonali inclinate a 45° dà i numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
• Identità hockey stick: ∑_i=rⁿ C(i, r) = C(n+1, r+1). La somma di una «canna da hockey» è il valore all'angolo.

Il triangolo di Sierpinski

Quando si calcola C(n, k) mod 2 (ovvero si colorano di nero le entrate dispari e bianche le pari), emerge il famoso triangolo di Sierpinski, un frattale auto-simile scoperto da Wacław Sierpiński nel 1915. La sua dimensione di Hausdorff è log₂(3) ≈ 1,585: è più che un oggetto 1D (linea) ma meno di un 2D (superficie piena). La struttura frattale emerge anche mod p per altri primi, producendo pattern simili con p sottotriangoli. Questo collegamento tra combinatoria elementare (triangolo di Pascal) e geometria frattale è un esempio sorprendente di come strutture apparentemente semplici generino complessità infinita.

Il teorema di Lucas

Per calcolare C(n, k) modulo un primo p con n, k molto grandi, Édouard Lucas (1878) dimostrò:

C(n, k) mod p = ∏_i C(n_i, k_i) mod p

dove n_i, k_i sono le cifre di n e k scritte in base p. Questo riduce il calcolo a O(log_p n) operazioni, rendendo possibile calcolare coefficienti binomiali modulari anche per n di miliardi. Fondamentale in algoritmica competitiva e in teoria dei numeri.

Applicazioni

• Probabilità: la distribuzione binomiale usa C(n, k) per P(k successi in n prove) = C(n,k)·p^k·(1−p)^n−k.
• Espansione polinomiale: (x+y)^n e (1+x)^n in algebra e calcolo differenziale.
• Analisi combinatoria: conteggio di percorsi su griglie rettangolari (da (0,0) a (m,n) in esattamente m+n passi: C(m+n, m) modi).
• Statistica: combinazioni nelle estrazioni, lotterie, sondaggi.
• Crittografia: il teorema di Lucas permette calcoli rapidi di C(n,k) mod p per primi p enormi in RSA e schemi di segretezza.
• Grafica e videogiochi: triangolo di Sierpinski come pattern frattale per texture procedurali.
• Ottimizzazione: ricerca di pattern combinatori, scheduling, problema dello zaino con approccio DP.

Pascal, Fermat e la nascita del calcolo delle probabilita

Il triangolo deve il suo nome occidentale al trattato che Blaise Pascal gli dedico nel 1654, ma la sua importanza storica va oltre la combinatoria: fu uno strumento chiave nella nascita del calcolo delle probabilita. In quello stesso anno Pascal e Pierre de Fermat si scambiarono una celebre corrispondenza sul "problema dei punti", cioe come dividere equamente la posta di un gioco d'azzardo interrotto prima della fine.

La soluzione richiedeva di contare in quanti modi la partita avrebbe potuto concludersi, ed e qui che i coefficienti binomiali del triangolo entrano in gioco: ogni riga fornisce le probabilita dei diversi esiti di una sequenza di prove ripetute. Da quello scambio di lettere nacque la teoria matematica del caso, che oggi governa statistica, finanza e scienza. Il triangolo di Pascal e cosi molto piu di una curiosita: e uno dei ponti fra l'aritmetica elementare e la moderna teoria della probabilita.

Un triangolo di molti nomi: Yang Hui, al-Karaji, Tartaglia

Sebbene in Occidente porti il nome di Pascal, il triangolo era noto a molte culture secoli prima. In India il matematico Pingala ne descrisse la struttura gia intorno al II secolo a.C. studiando le combinazioni metriche, e Halayudha ne diede un commento esplicito nel X secolo. Nel mondo islamico al-Karaji e piu tardi al-Tusi conoscevano la regola di formazione delle righe intorno all'anno Mille.

In Cina il matematico Jia Xian lo uso nell'XI secolo per estrarre radici, e Yang Hui lo espose nel 1261, tanto che in cinese e ancora chiamato "triangolo di Yang Hui". In Italia Niccolo Tartaglia lo studio nel Cinquecento, e per questo nel mondo italiano si parla spesso di "triangolo di Tartaglia". Il fatto che tante civilta lo abbiano scoperto indipendentemente testimonia la sua naturalezza: e una struttura che emerge inevitabilmente ogni volta che si contano combinazioni, un patrimonio comune della matematica umana.

Aggiornato a luglio 2026