Calculadora Triángulo de Pascal (Tartaglia)

Genera el triángulo de Pascal con coeficientes binomiales, verifica identidad de Pascal, sumas 2^n, diagonales de Fibonacci y triángulo mod p de Sierpinski.

Parámetros de cálculo
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Quante righe mostrare (0 a N−1). Max 25 per visualizzazione leggibile.
Indice di riga (0-based). C(n, k) usa n come numero di elementi.
Indice di colonna (0 ≤ k ≤ n). Numero di scelte in C(n, k).
Modulo primo per triangolo modulare. Rivela frattali (triangolo di Sierpinski per p=2).
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El triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal (Tartaglia en Italia) es un arreglo triangular donde cada entrada es la suma de las dos de arriba. Las filas se indexan desde n = 0 y cada entrada es el coeficiente binomial C(n, k) = n!/(k!·(n−k)!).

Conocido en India (Pingala, 200 a.C.), Persia (al-Karaji, s. X), China (Yang Hui, 1261). Pascal lo sistematizó en 1654.

Los cuatro modos

  1. Primeras N filas (max 25).
  2. C(n, k) con identidad de Pascal y visualización.
  3. Suma de fila ∑ C(n, k) = 2^n + diagonales de Fibonacci.
  4. Triángulo mod p (Sierpinski para p = 2).

Identidad de Pascal

C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k). Algoritmo DP O(n²) para toda la fila n.

Teorema binomial de Newton

(x+y)^n = ∑ C(n,k)·x^(n−k)·y^k. Ejemplo n=4: x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+y⁴.

Propiedades notables

  • Simetría: C(n, k) = C(n, n−k).
  • Suma: ∑ C(n, k) = 2^n.
  • Suma alternada: ∑(−1)^k C(n, k) = 0 (n ≥ 1).
  • Segunda diagonal: naturales.
  • Tercera: triangulares.
  • Cuarta: tetraedrales.
  • Diagonales shallow: Fibonacci.
  • Hockey stick: ∑_{i=r}^{n} C(i,r) = C(n+1, r+1).

Triángulo de Sierpinski

Coloreando impares en negro en C(n,k) mod 2 emerge el fractal de Sierpinski (1915), dimensión de Hausdorff log₂ 3 ≈ 1,585. La regla «impar+impar=par, par+par=par, impar+par=impar» coincide con la construcción del fractal.

Teorema de Lucas

C(n, k) mod p = ∏ C(nᵢ, kᵢ) mod p, con nᵢ, kᵢ cifras de n y k en base p. Reduce el cálculo a O(log_p n) — imprescindible en algorítmica competitiva.

Aplicaciones

  • Probabilidad: distribución binomial.
  • Expansión polinomial: álgebra y cálculo.
  • Combinatoria: caminos en retículas C(m+n, m).
  • Estadística: extracciones, loterías.
  • Criptografía: Lucas para C(n,k) mod p rápido.
  • Gráficos: texturas fractales Sierpinski.
  • Optimización: mochila, scheduling con PD.

Pascal, Fermat y el nacimiento de la probabilidad

El triangulo debe su nombre occidental al tratado que Blaise Pascal le dedico en 1654, pero su importancia historica va mas alla de la combinatoria: fue una herramienta clave en el nacimiento del calculo de probabilidades. Ese mismo ano Pascal y Pierre de Fermat intercambiaron una celebre correspondencia sobre el "problema de los puntos", es decir, como repartir equitativamente la apuesta de un juego de azar interrumpido antes del final.

La solucion requeria contar de cuantas maneras podia haber terminado la partida, y aqui es donde entran en juego los coeficientes binomiales del triangulo: cada fila da las probabilidades de los distintos resultados de una secuencia de pruebas repetidas. De ese intercambio de cartas nacio la teoria matematica del azar, que hoy gobierna estadistica, finanzas y ciencia. El triangulo de Pascal es asi mucho mas que una curiosidad: es uno de los puentes entre la aritmetica elemental y la moderna teoria de la probabilidad.

Un triangulo de muchos nombres: Yang Hui, al-Karaji, Tartaglia

Aunque en Occidente lleva el nombre de Pascal, el triangulo era conocido por muchas culturas siglos antes. En India el matematico Pingala describio su estructura ya hacia el siglo II a.C. estudiando las combinaciones metricas, y Halayudha dio un comentario explicito en el siglo X. En el mundo islamico al-Karaji y mas tarde al-Tusi conocian la regla de formacion de las filas hacia el ano mil.

En China el matematico Jia Xian lo uso en el siglo XI para extraer raices, y Yang Hui lo expuso en 1261, tanto que en chino se llama todavia "triangulo de Yang Hui". En Italia Niccolo Tartaglia lo estudio en el siglo XVI, y por eso en el mundo italiano se habla a menudo de "triangulo de Tartaglia". El hecho de que tantas civilizaciones lo descubrieran independientemente atestigua su naturalidad: es una estructura que emerge inevitablemente cada vez que se cuentan combinaciones, un patrimonio comun de la matematica humana.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que es el triangulo de Pascal?

Es una disposicion triangular de numeros en la que cada valor es la suma de los dos inmediatamente encima de el. Las filas, numeradas desde 0, contienen los coeficientes binomiales C(n,k), es decir los pesos del desarrollo de (x+y)^n. Bordes siempre iguales a 1, estructura simetrica.

Como se construye el triangulo?

Se parte de un 1 en la cima; cada numero siguiente es la suma de los dos de encima, con los extremos de cada fila siempre iguales a 1. Esta regla, llamada identidad de Pascal, C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k), genera todo el triangulo por simple adicion.

Que representan los numeros del triangulo?

Son los coeficientes binomiales C(n,k), que cuentan de cuantas maneras se pueden elegir k elementos de n. Aparecen en el desarrollo de (x+y)^n, en las probabilidades de secuencias de pruebas repetidas y en innumerables problemas de combinatoria y teoria de numeros.

Por que la suma de cada fila es una potencia de 2?

Porque la suma de los coeficientes de la fila n vale 2^n, como se ve poniendo x = y = 1 en el binomio de Newton: (1+1)^n = suma de C(n,k). Cada fila duplica asi la suma de la anterior, reflejando el numero total de subconjuntos de un conjunto de n elementos.

Que relacion hay con Fibonacci?

Sumando los numeros a lo largo de las diagonales poco inclinadas del triangulo se obtienen los numeros de Fibonacci: F(n+1) = suma de C(n−k, k) para k de 0 a n/2. Es uno de los vinculos mas elegantes ocultos en la estructura del triangulo, entre combinatoria y sucesion aurea.

Que es el triangulo de Sierpinski en el triangulo de Pascal?

Coloreando los numeros impares y dejando blancos los pares, el triangulo de Pascal dibuja el triangulo de Sierpinski, un fractal autosimilar de dimension de Hausdorff log₂(3) ≈ 1,585. Es la manifestacion visual del triangulo de Pascal modulo 2, segun el teorema de Lucas.

Que es el teorema de Lucas?

Demostrado por Edouard Lucas en 1878, permite calcular C(n,k) modulo un primo p como producto de los coeficientes binomiales de las cifras de n y k escritas en base p. Hace posible tratar coeficientes gigantescos modulo p en tiempo logaritmico, evitando calculos enormes.

Quien descubrio el triangulo de Pascal?

Lleva el nombre de Blaise Pascal por su tratado de 1654, pero era conocido siglos antes: por Pingala y Halayudha en India, por al-Karaji en el mundo islamico, por Yang Hui en China (1261) y por Tartaglia en Italia. En varias lenguas se llama todavia con estos nombres.

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