Comment calculer le coefficient de diffusion avec la formule de Stokes-Einstein permet d'estimer la mobilité de particules sphériques dissoutes ou suspendues dans un fluide visqueux. La formule a été dérivée par Albert Einstein en 1905 (Annus Mirabilis, Berne) en combinant le facteur de drag de Stokes 6πηr (George Stokes, Cambridge 1851) avec la relation D = µ·k_B·T entre mobilité et diffusivité. La forme standard est D = k_B·T / (6π·η·r). C'est la base du Dynamic Light Scattering (DLS), du drug delivery par nanoparticules, de la microfluidique, du mouvement brownien, et de la biophysique des protéines — utilisée à l'Institut Pasteur Paris, Institut Curie, CEA Saclay, ESPCI Paris, et par les pharmaceutiques Sanofi, Servier, Ipsen.

1. Stokes-Einstein et le mouvement brownien

Le mouvement brownien (Robert Brown 1827) a été expliqué par Einstein (1905) comme effet des collisions thermiques des molécules du fluide. Le déplacement quadratique moyen en 3D est ⟨r²⟩ = 6·D·t. Le rayon hydrodynamique r inclut la sphère de solvatation (~3-5 Å en eau). Pour particules non sphériques, facteur de forme f (Perrin 1934). La formule vaut pour particules browniennes (r<1-10 µm en eau), régime dilué (φ<1%), fluides newtoniens. Vérifié expérimentalement par Jean Perrin (Prix Nobel 1926, École Normale Paris).

2. Coefficients de diffusion typiques

• Glucose en eau à 25°C (r ≈ 0,4 nm) — D ≈ 6,7×10⁻¹⁰ m²/s.
• Albumine BSA en eau à 37°C (r ≈ 3,5 nm) — D ≈ 6,2×10⁻¹¹ m²/s.
• Virus TMV (r ≈ 9 nm) — D ≈ 4,3×10⁻¹² m²/s.
• Nanoparticule or 20 nm en eau à 25°C — D ≈ 2,1×10⁻¹¹ m²/s.
• SARS-CoV-2 en salive (r ≈ 50 nm) — D ≈ 4,3×10⁻¹² m²/s.
• Liposome 100 nm en plasma (η = 4 mPa·s) — D ≈ 5×10⁻¹³ m²/s.
• Leucocyte en sang (r ≈ 7 µm) — D ≈ 3×10⁻¹⁵ m²/s.

3. Domaine de validité et corrections

Stokes-Einstein vaut pour particules sphériques rigides en fluide newtonien homogène, régime dilué (φ<1%). Pour particules non sphériques, facteur de forme f. Pour fluides non newtoniens (sang, gels), η dépend du cisaillement. Pour concentrations élevées, corrections de crowding (Phillies, Han). Pour échelles <1 nm, facteur Knudsen. Sous 100 K, effets quantiques. Diffusion active (chimiotaxie) et anormale (subdiffusion cellulaire Minton) requièrent traitements spécifiques. Codes Gromacs, NAMD, LAMMPS pour cas complexes.

4. Exemples numériques

Exemple 1 — Glucose en eau à 25°C, r=0,4 nm. D = 6,13×10⁻¹⁰ m²/s.

Exemple 2 — BSA en eau à 37°C, r=3,5 nm. D = 9,4×10⁻¹¹ m²/s. Standard de calibration DLS Malvern Nano-ZS à l'Institut Pasteur, Institut Curie.

Exemple 3 — Nanoparticule or 20 nm en eau à 25°C. D = 2,46×10⁻¹¹ m²/s. NanoComposix produit nanoparticules certifiées pour DLS, utilisées au CEA Saclay, ESPCI Paris.

5. Applications pratiques

• DLS: Malvern Nano-ZS, Wyatt DynaPro caractérisent protéines, virus, exosomes, nanoparticules à l'Institut Pasteur, Institut Curie, CEA Saclay, ESPCI Paris
• Drug delivery par nanoparticules: liposomes, LNPs pour vaccins mRNA (Pfizer-BioNTech, Moderna). Sanofi, Servier, Ipsen, Pierre Fabre développent nano-encapsulés
• Microfluidique: ESPCI Paris, CEA-Leti Grenoble, IEMN Lille
• Recherche batteries: Saft Bordeaux, Verkor Dunkerque, ACC Douvrin pour mobilité Li⁺
• Biophysique des protéines en cellules: FRAP à Institut Pasteur, Institut Curie, CNRS-IBPC
• DOSY NMR: Bruker, Agilent en pharmaceutique française

6. Cas particuliers et applications avancées

Pour protéines globulaires, corrections de Linderstrom-Lang. Pour polymères en solution, scaling Zimm ou Rouse. Pour plasma sanguin, non-newtonisme via Casson ou Quemada. Pour aérosol SARS-CoV-2 en air, Stokes-Einstein donne D ≈ 5×10⁻¹⁰ m²/s — fondamental pour modèles de transmission respiratoire étudiés à l'Institut Pasteur, Inserm, CNRS. Pour diffusion subcellulaire avec crowding macromoléculaire (effet Minton), D effective réduite 10-100× par rapport à la formule classique.

Mis à jour en juillet 2026