Qu'est-ce que l'écart-type?

L'écart-type (σ population, s échantillon) mesure de combien les données s'écartent en moyenne de leur moyenne. Faible σ = données concentrées, élevé = grande variabilité.

Les formules

Écart-type de population

σ = √[Σ(x_i − μ)² / N]

Écart-type d'échantillon

s = √[Σ(x_i − x̄)² / (n − 1)]

Division par n − 1 = correction de Bessel, estimateur non biaisé.

Quand utiliser n-1 vs n

En doute: utiliser n−1.

Exemple pas à pas

Dataset {10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16, 18, 19}

Moyenne = 18,1. Somme carrés écarts = 192,90. Variance échantillon = 192,90/9 = 21,43. Écart-type = √21,43 = 4,63.

Règle 68-95-99,7

Pour loi normale:

• 68% données dans ±1σ
• 95% dans ±2σ
• 99,7% dans ±3σ

Coefficient de Variation (CV)

CV = σ/μ × 100. Sans dimension, compare datasets à échelles différentes.

• CV < 10%: faible dispersion
• CV 10-30%: typique
• CV > 30%: élevée

Score Z

z = (x − μ) / σ

• |z| < 1: typique
• |z| 2-3: potentiel aberrant
• |z| > 3: aberrant significatif

Applications pratiques

Finance — Volatilité

σ rendements quotidiens × √252 = volatilité annualisée.

Qualité — Six Sigma

Défauts < 3,4 par million. Motorola 1980s, GE.

Sport

Régularité athlètes: faible σ = performances constantes.

Recherche

Erreur-type (SE = σ/√n) pour intervalles confiance.

Éducation

Standardisation notes, percentiles.

Moyenne vs médiane

Moyenne sensible aberrants, médiane non.

Exemple salaires {20k, 22k, 25k, 28k, 30k, 10M}: moyenne €1.687k (déformée), médiane €27k (représentative).

Dérivation mathématique

E[Σ(x_i − x̄)²] = (n−1)σ². Diviser par n = biais; par (n−1) = estimateur non biaisé. Friedrich Bessel 1832.

Excel / Sheets / Python

• =ECARTYPE(plage): échantillon (n−1)
• =ECARTYPEP(plage): population (n)
• =VAR(plage): variance échantillon
• =MOYENNE(plage): moyenne
• =MEDIANE(plage): médiane

Python NumPy: np.std(data, ddof=1) échantillon, np.std(data) population.

Alternatives robustes

MAD (Median Absolute Deviation)

médiane(|x − médiane|). Plus robuste aux aberrants.

IIQ (Intervalle Interquartile)

Q3 − Q1. Aberrants: hors Q1 − 1,5×IIQ ou Q3 + 1,5×IIQ (règle Tukey).

Origines historiques

• 1809 — Gauss: loi normale, moindres carrés
• 1832 — Bessel: correction (n−1)
• 1893 — Karl Pearson: terme "standard deviation"
• 1901 — Fisher: inférence statistique moderne

FAQ

Pourquoi n-1?

Correction de Bessel: estimateur non biaisé variance population.

Peut-elle être négative?

Non. Toujours ≥ 0.

Quand est-elle zéro?

Quand toutes les valeurs sont identiques.

Comparer échelles différentes?

Coefficient variation (σ/μ), sans dimension.

Combien d'observations minimum?

Pour estimation fiable: au moins 30. Moins: t-Student plutôt que z.

Logiciels recommandés?

Excel/Sheets exploration, Python (NumPy/SciPy) robustes, R statistique avancée.

Erreurs courantes

• Confondre population et échantillon: erreur systématique 5-15% avec n petit
• Ne pas gérer les NaN: valeurs manquantes doivent être exclues
• Ne pas vérifier aberrants: quelques valeurs extrêmes dominent σ
• Appliquer 68-95-99,7 à distributions non-normales: pour asymétriques utiliser IIQ ou quantiles empiriques
• Agréger σ incorrectement: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

Distributions asymétriques: quand éviter la normale

De nombreuses variables réelles NE suivent PAS la loi normale:

• Salaires: asymétrie positive, queue longue vers hauts revenus
• Prix immobiliers: asymétrie positive, minimum naturel
• Temps de réponse: log-normal, toujours positifs
• Rendements financiers extrêmes: queues épaisses, kurtosis élevé
• Temps entre événements: distribution exponentielle

Pour celles-ci, utiliser statistiques robustes (médiane, IIQ, MAD). L'écart-type reste calculable mais son interprétation "68-95-99,7" ne s'applique pas.

Tests de normalité

• Shapiro-Wilk: test classique, puissant n petit-moyen
• Kolmogorov-Smirnov: test général
• Anderson-Darling: variante avec plus de poids aux queues
• QQ plot: visualisation intuitive
• Skewness et kurtosis: mesures directes

Si p-value < 0,05 rejeter normalité → considérer transformations (log, Box-Cox) ou méthodes non-paramétriques.

Bootstrap: estimation σ robuste

Quand données peu nombreuses ou non-normales, bootstrap est alternative puissante:

1. Échantillonnage avec remise B fois (B=1000) du dataset
2. Calcul σ de chaque échantillon bootstrap
3. Distribution empirique σ* donne intervalle confiance sans hypothèse normalité

Implémentation Python: np.random.choice(data, size=len(data), replace=True) + boucle.

Écart-type et finance: Sharpe Ratio

L'écart-type est le dénominateur du célèbre Ratio de Sharpe:

Sharpe = (R_p − R_f) / σ_p

Il mesure la rentabilité ajustée au risque: combien de rendement excédentaire par unité de volatilité. Développé par William F. Sharpe, Prix Nobel 1990.

Théorème de Chebyshev

Pour TOUTE distribution (pas seulement normale), le théorème de Chebyshev garantit:

P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²

Cela signifie:

• Au moins 75% des données dans ±2σ (k=2)
• Au moins 89% dans ±3σ (k=3)
• Au moins 96% dans ±5σ (k=5)

Plus faible que la règle 68-95-99,7 (qui suppose normale) mais universelle. Utile pour distributions inconnues ou asymétriques.

Loi des grands nombres

À mesure que n augmente, la moyenne empirique converge vers la moyenne théorique (Khintchine 1929). Conséquence: plus grand échantillon = estimation σ plus précise.

Erreur standard de la moyenne: SE_moyenne = σ/√n

Doubler la précision nécessite quadrupler la taille de l'échantillon. Explique les gros budgets d'étude pour des améliorations marginales.

Mis à jour en juillet 2026