Comment calculer la diffusion Coulomb de Rutherford

Calculez la section efficace différentielle dσ/dΩ de la diffusion Coulomb élastique de Rutherford (1911) : dσ/dΩ = (Z₁Z₂e²/4E)²/sin⁴(θ/2). Pour alphas, protons, ions lourds — base de RBS au GANIL Caen, CEA Saclay, IPN Orsay, ESRF Grenoble.

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Comment calculer la diffusion Coulomb de Rutherford permet d'estimer la probabilité de déflexion élastique d'une particule chargée dans un champ coulombien. La formule a été dérivée en 1911 par Ernest Rutherford (Manchester, prix Nobel 1908) pour expliquer l'expérience de Geiger-Marsden (1909) sur la diffusion de particules alpha à travers une fine lame d'or — expérience qui mena à la découverte du noyau atomique. La section efficace différentielle est dσ/dΩ = (Z₁Z₂e²/4E)² · 1/sin⁴(θ/2), avec Z₁ et Z₂ les numéros atomiques, E l'énergie cinétique CM et θ l'angle. Elle vaut pour la diffusion élastique sous la barrière de Coulomb en régime non relativiste. C'est la base du RBS au GANIL Caen, CEA Saclay, ARRONAX Nantes, et des calculs de diffusion multiple Coulomb dans les détecteurs ATLAS, CMS, ALICE et LHCb.

1. La formule de Rutherford et la barrière de Coulomb

La formule classique vaut pour la diffusion élastique de particules ponctuelles en régime non relativiste, sous la barrière de Coulomb V_C = Z₁Z₂e²/(4πε₀R). Pour α (Z₁=2) sur Au-197 (Z₂=79) à 5 MeV, V_C ≈ 26 MeV. La caractéristique 1/sin⁴(θ/2) diverge à petits angles et donne la courbe classique de rétrodiffusion à 180°. La tasso di scattering dN/dt = N_inc · n_t · t · dσ/dΩ · ΔΩ est fondamentale pour dimensionner les cibles expérimentales au GANIL Caen et IPN Orsay (renommé IJCLab 2020).

2. Section efficace Rutherford cas typiques

  • Alpha 5 MeV sur Au-197 à 90° — dσ/dΩ ≈ 5,18 barn/sr (géométrie Geiger-Marsden 1909).
  • Proton 1 MeV sur C-12 à 170° (RBS) — 0,29 mbarn/sr.
  • Alpha 2 MeV sur Si-28 à 165° — 1,5 barn/sr.
  • Proton 100 keV sur U-238 à 130° — 80 barn/sr.
  • C-12 100 MeV sur Pb-208 (GANIL) — au-dessus de la barrière de Coulomb.
  • Pb-208 sur Pb-208 à 5 GeV/u (LHC ALICE) — diffusion ultrapériphérique.

3. Domaine de validité et corrections

La formule échoue quand :

  • l'énergie dépasse la barrière de Coulomb : E > V_C admet réactions nucléaires
  • Effets relativistes requièrent la formule de Mott (1929)
  • Spin nucléaire et moments magnétiques introduisent corrections (Mott-Schwinger)
  • Taille nucléaire : facteur de forme de Glauber F(q²). (5) Pour écrantage atomique à basse énergie, potentiel Yukawa effectif. Codes Geant4, FLUKA, MCNP, SRIM-TRIM (Ziegler) implémentent toutes les corrections en cascade

4. Exemples numériques

Exemple 1 — Geiger-Marsden α 5 MeV sur Au-197 à 90°. dσ/dΩ ≈ 5,18 barn/sr — cohérent avec mesures Manchester 1911.

Exemple 2 — RBS proton 2 MeV sur Au sur Si à 165°. dσ/dΩ_Au ≈ 4,9 barn/sr, dσ/dΩ_Si ≈ 0,034 barn/sr. Rapport 144× permet la discrimination élémentaire.

Exemple 3 — ALICE Pb-Pb 5 GeV/u à 1°. Z² = 6724, dσ/dΩ_Coulomb énorme à petits angles, base des UPC.

5. Applications pratiques

  • RBS : technique analytique non destructive au GANIL Caen, CEA Saclay (laboratoire LRC), ARRONAX Nantes, IBS Grenoble. Résolution 1-10 nm
  • PIXE pour archéométrie au C2RMF Louvre Paris et plate-forme AGLAE Hôtel de Sully
  • Détecteurs Si ATLAS, CMS, ALICE, LHCb au LHC
  • Diagnostic plasmas tokamaks : ITER Cadarache, WEST CEA, JT-60SA
  • Excitation coulombienne de noyaux au GANIL et ILL Grenoble
  • Collisions ultrapériphériques Pb-Pb au LHC avec photoproduction de J/ψ

6. Cas particuliers et régimes extrêmes

Pour noyaux exotiques au GANIL Caen (SPIRAL2 depuis 2017), FRIB Michigan State, RIBF RIKEN, FAIR Darmstadt, ARCHADE Caen (en construction), Rutherford est le point de départ pour mesurer les réactions élastiques. Diffusion Mott-Coulomb entre noyaux identiques montre interférence quantique. Les collisions ultrapériphériques Pb-Pb à 5 TeV au LHC ont domination du flux de photons équivalents coulombien, base de la photoproduction de J/ψ mesurée par ALICE. Pour antiprotons (PANDA-FAIR 2027), Rutherford inclut z₁=-1 prédisant asymétries.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la formule de Rutherford et pourquoi est-elle importante ?

La formule de Rutherford (1911) décrit la diffusion élastique Coulomb : dσ/dΩ = (Z₁Z₂e²/4E)²/sin⁴(θ/2). Ernest Rutherford (Manchester, Nobel 1908) l'a dérivée pour expliquer l'expérience Geiger-Marsden 1909 avec particules alpha sur lame d'or, qui mena à la découverte du noyau atomique. C'est la base du RBS, PIXE, et des détecteurs de trajectographie au LHC.

Comment calcule-t-on la section efficace de Rutherford ?

dσ/dΩ = (Z₁Z₂e²/4E)² · 1/sin⁴(θ/2), avec Z₁,Z₂ numéros atomiques, E énergie cinétique, θ angle. Pour α 5 MeV sur Au-197 à 90° : dσ/dΩ ≈ 5,18 barn/sr. Pour RBS proton 2 MeV sur Au à 165° : 4,9 barn/sr. La caractéristique 1/sin⁴(θ/2) diverge à petits angles et donne haute probabilité de rétrodiffusion à 180°.

Qu'est-ce que l'expérience de Geiger-Marsden ?

Expérience de 1909 au laboratoire de Rutherford à Manchester : particules alpha de 5 MeV (Ra-226) sur lame d'or fine. Hans Geiger et Ernest Marsden ont détecté qu'1 alpha sur 8000 rétrodiffusait au-dessus de 90° — résultat explicable seulement avec un noyau atomique petit et dense. Rutherford a dérivé la formule en 1911 et proposé le modèle atomique planétaire.

Quelles sont les limites de la formule de Rutherford ?

Vaut pour diffusion élastique classique, énergie sous la barrière de Coulomb V_C = Z₁Z₂e²/(4πε₀R), projectile non relativiste. Au-dessus de V_C surviennent les réactions nucléaires. Pour particules relativistes, Mott (1929). Pour noyaux étendus, facteur de forme F(q²) de Glauber. À très haute énergie, QED complet. Codes Geant4 et SRIM-TRIM gèrent les transitions.

Qu'est-ce que le RBS (Rutherford Backscattering Spectrometry) ?

Le RBS est une technique analytique non destructive basée sur la diffusion Rutherford. Un faisceau d'α 1-3 MeV ou de proton 1-2 MeV frappe l'échantillon ; les particules rétrodiffusées à 165-170° sont analysées en énergie pour déterminer composition et profil. Résolution 1-10 nm, sensibilité ppm. Active au GANIL Caen, CEA Saclay LRC, ARRONAX Nantes, IBS Grenoble pour archéométrie et matériaux.

Quelles applications pratiques pour Rutherford ?

(1) RBS pour analyse de films fins (GANIL, CEA Saclay, ARRONAX) ; (2) PIXE pour archéométrie au C2RMF Louvre et AGLAE Hôtel de Sully ; (3) Diffusion multiple Coulomb dans détecteurs LHC ; (4) Diagnostic tokamak ITER et WEST ; (5) Excitation coulombienne au GANIL ; (6) Collisions ultrapériphériques Pb-Pb au LHC avec photoproduction de J/ψ.

Différence entre Rutherford et Mott ?

Rutherford (1911) décrit la diffusion Coulomb classique, valable pour particules non relativistes sans spin. Mott (1929) généralise pour électrons spin-1/2 et v ≈ c, incluant corrections relativistes et interférence quantique. Mott-Schwinger ajoute moments magnétiques. Pour noyaux identiques (¹²C+¹²C) Mott prédit interférence dσ/dΩ_Mott = dσ/dΩ_Ruth · (1 + cos(2η·ln(tan(θ/2)))).

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