Series entières

Une serie entière est une serie infinie de forme sum_{n=0}^{infty} a_n (x - x_0)^n avec coefficients a_n et centre x_0. Les series entières representent les fonctions analytiques et sont l outil central de l analyse réelle et complexe.

Rayon de convergence

Le rayon de convergence R est le nombre (possiblement infini) tel que la serie converge absolument pour |x - x_0| R. Sur le bord requiert analyse specifique.

Formule de Cauchy-Hadamard

1/R = limsup |a_n|^(1/n). Test du quotient (si limite existe): R = lim |a_n / a_{n+1}|. Pour series de Maclaurin de fonctions élémentaires R se calcule facilement.

Exemples classiques

• Géométrique: sum x^n = 1/(1-x), R = 1.
• Exponentielle: e^x = sum x^n/n!, R = infty.
• Sinus: sin(x) = sum (-1)^k x^(2k+1)/(2k+1)!, R = infty.
• Cosinus: cos(x) = sum (-1)^k x^(2k)/(2k)!, R = infty.
• Logarithme: ln(1+x) = sum (-1)^(n+1) x^n/n, R = 1.
• Binomiale: (1+x)^a = sum C(a,n) x^n, R = 1 (a non entier).
• Arctan: arctan(x) = sum (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1), R = 1.

Convergence absolue et uniforme

Dans |x - x_0| < R, serie converge ABSOLUMENT. Sur tout compact contenu, convergence UNIFORME. Permet integrer/deriver terme a terme. Somme est fonction holomorphe.

Comportement au bord

Pour |x - x_0| = R peut diverger, converger non absolument, ou converger absolument. Théorème d Abel: si converge au bord, somme continue depuis l intérieur. arctan(1) = pi/4 (Leibniz).

Operations

• Somme: (sum a_n) + (sum b_n) = sum (a_n + b_n).
• Produit Cauchy: c_n = sum_k a_k b_{n-k}.
• Derivation: f'(x) = sum n a_n x^(n-1).
• Intégration: sum a_n x^(n+1)/(n+1).
• Composition: si g(0) = 0.

Series de Taylor

Pour f indefiniment derivable en x_0: f(x) = sum f^(n)(x_0)/n! (x - x_0)^n. Si f analytique converge a f. NON toutes fonctions C^infty sont analytiques (ex. e^(-1/x^2)).

Erreur de troncature

• Lagrange: erreur <= max|f^(N+1)| / (N+1)! * |x|^(N+1).
• Alternee (Leibniz): erreur <= |a_{N+1} x^{N+1}|.
• Géométrique: erreur = |q^{N+1}| / (1 - q).

Applications

• Calcul numérique fonctions élémentaires.
• Solution ODE: méthode de Frobenius.
• Combinatoire: fonctions generatrices.
• Physique: developpements perturbatifs.
• Analyse complexe: fonctions holomorphes.
• Théorie des nombres: zeta de Riemann.

Histoire

Madhava (XIVe siecle) series arctan et sinus. Newton (1665-1672) serie binomiale générale. Taylor 1715 formalise théorème. Cauchy 1821 rigueur convergence. Hadamard 1888 formule rayon. Weierstrass 1880 series comme outil principal.

Les fonctions analytiques et le prolongement

Une fonction est dite analytique en un point si, dans un voisinage de ce point, elle coincide avec la somme d'une serie entiere convergente. Cette propriete est etonnamment forte : les fonctions analytiques sont infiniment derivables et completement determinees par leurs valeurs dans un petit voisinage. Les fonctions elementaires comme l'exponentielle, le sinus, le cosinus et le logarithme sont toutes analytiques sur leurs domaines, et c'est pourquoi elles peuvent etre representees exactement par des series entieres.

Un concept profond est le prolongement analytique. La serie geometrique 1/(1-x) ne converge que pour |x| < 1, mais la fonction 1/(1-x) est definie et reguliere partout sauf en x = 1. La serie n'est qu'une "fenetre" locale sur une fonction plus large, qui peut etre etendue au-dela du rayon de convergence en suivant la fonction elle-meme. Dans le champ complexe ce prolongement est unique, un principe a la base de resultats fondamentaux comme la definition de la fonction zeta de Riemann sur tout le plan complexe.

Les series entieres dans le calcul pratique

Les series entieres ne sont pas qu'un outil theorique : c'est ainsi que calculatrices et ordinateurs evaluent les fonctions transcendantes. Quand on demande le sinus ou l'exponentielle d'un nombre, le processeur ne consulte pas une table mais somme un nombre fini de termes d'une serie entiere, s'arretant quand l'erreur de troncature passe sous la precision requise. Une phase preliminaire de reduction de l'argument ramene la valeur dans un petit intervalle ou la serie converge rapidement.

Pour maximiser l'efficacite on utilise des techniques comme l'economisation de Chebyshev, qui reorganise les coefficients pour reduire le nombre de termes necessaires. Les series entieres apparaissent aussi comme fonctions generatrices en combinatoire, ou les coefficients codent des suites entieres de nombres, et dans la resolution d'equations differentielles par series. De l'infographie au calcul scientifique, toute evaluation d'une fonction non elementaire passe, en coulisses, par une serie entiere tronquee.

Mis à jour en juillet 2026