Calculatrice Racines Polynomiales (Cubique, Quartique)

Résolvez des équations polynomiales de degré 3, 4 et jusqu'à 8 avec Cardan, Ferrari et Durand-Kerner. Construction depuis racines et analyse du discriminant.

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Modo Durand-Kerner. Esempio: 1,-10,35,-50,24 = x⁴-10x³+35x²-50x+24 (radici 1,2,3,4). Max grado 8.
Modo 'costruisci polinomio'. Esempio: 1,2,3 dà (x-1)(x-2)(x-3) = x³-6x²+11x-6.
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Racines d'un polynôme

Résoudre une équation polynomiale est l'un des plus anciens problèmes mathématiques. Trouver les racines de P(x) = aₙxⁿ + … + a₀ = 0 signifie déterminer les valeurs de x qui l'annulent. Le degré 1 est trivial ; le degré 2 dispose d'une formule connue depuis Babylone. Au XVIe siècle, Del Ferro, Tartaglia, Cardan et Ferrari ont découvert des formes fermées pour les degrés 3 et 4. En 1824, Abel démontra que aucune formule par radicaux n'existe au-delà du degré 4.

Les quatre modes

  1. Cubique (Cardan) : ax³+bx²+cx+d = 0. Normalisation, forme déprimée y³+Py+Q = 0, Δ₃ = −4P³ − 27Q² ; choix automatique entre Cardan (Δ₃ 0).
  2. Quartique (Ferrari) : ax⁴+bx³+cx²+dx+e = 0 via Durand-Kerner pour la robustesse.
  3. Polynôme général (Durand-Kerner) : degrés 1 à 8, itération simultanée de Weierstrass.
  4. Construction depuis racines : développe Π(x − rᵢ).

Formule de Cardan

Substitution x = y − p/3 élimine le terme quadratique et donne y³ + Py + Q = 0. Discriminant Δ₃ = −4P³ − 27Q². Δ₃ 0 : 3 réelles distinctes (Viète) ; Δ₃ = 0 : racine multiple.

Méthode de Durand-Kerner

Algorithme itératif (1891/1966) à convergence quadratique : z_i^(k+1) = z_i − P(z_i)/Π_{j≠i}(z_i − z_j). Départ sur cercle de rayon ~1,4 du plan complexe. 20-100 itérations pour 10⁻¹² en degré 8.

Discriminant cubique

Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d². Δ > 0 : trois réelles distinctes ; Δ = 0 : multiple ; Δ < 0 : une réelle + deux complexes.

Abel-Ruffini et Galois

Abel (1824) : aucune formule par radicaux au-delà du degré 4. Galois (1832) : une équation est résoluble par radicaux si et seulement si son groupe de Galois est résoluble. Pour n ≤ 4 toujours résoluble ; pour n ≥ 5 génériquement non.

Applications

  • Ingénierie des systèmes : pôles d'une fonction de transfert.
  • Infographie : intersection rayon-surface.
  • Dynamique : fréquences propres det(K − ω²M) = 0.
  • Cristallographie : axes principaux du tenseur d'inertie.
  • Cryptographie : factorisation polynomiale sur corps finis (Berlekamp).

L'histoire dramatique de l'equation cubique

Peu d'histoires mathematiques sont aussi romanesques que celle de la decouverte de la formule de la cubique. Au debut du XVIe siecle Scipione del Ferro trouva une solution pour une certaine classe de cubiques mais la garda secrete, ne la revelant qu'a un disciple. La methode parvint ensuite a Niccolo Tartaglia, qui la redecouvrit de facon independante et la chiffra dans un poeme pour ne pas l'oublier. Gerolamo Cardano lui arracha le secret sous serment de ne pas le publier, mais en decouvrant que del Ferro l'avait avant, il se sentit libre de l'inclure dans son grand traite Ars Magna de 1545, declenchant une amere dispute qui poursuivit Tartaglia le reste de sa vie.

La resolution de la cubique eut une consequence inattendue et profonde. Dans le cas dit irreductible, quand l'equation a trois racines reelles, la formule de Cardano exige d'extraire des racines carrees de nombres negatifs meme pour parvenir a des reponses reelles. Ce scandale contraignit les mathematiciens a prendre au serieux les nombres imaginaires, jusque-la ecartes comme absurdes. Ainsi, de la tentative de resoudre des equations du troisieme degre naquit l'algebre des nombres complexes, aujourd'hui indispensable en physique et en ingenierie.

Methodes numeriques : quand les formules echouent

Le theoreme d'Abel-Ruffini, complete par la theorie de Galois, demontre qu'a partir du cinquieme degre il n'existe pas de formule generale exprimant les racines par des radicaux. Cela ne signifie pas que de telles equations n'ont pas de solution, mais qu'il faut la trouver autrement : par des methodes numeriques qui approchent les racines par iteration. La calculatrice emploie la methode de Durand-Kerner, dite aussi de Weierstrass, qui affine simultanement toutes les racines a la fois sur le plan complexe, en partant d'estimations reparties sur un cercle pour favoriser la convergence.

Il existe bien d'autres schemas numeriques, chacun avec ses avantages. La methode de Newton converge tres vite mais trouve une racine a la fois et exige de bonnes estimations initiales ; la methode de Bairstow extrait des facteurs quadratiques pour obtenir des paires de racines complexes conjuguees ; et l'approche de la matrice compagnon transforme le probleme en calcul de valeurs propres, tirant parti de l'algebre lineaire numerique bien developpee. Ces algorithmes font de la resolution de polynomes de haut degre une tache routiniere en pratique, malgre l'impossibilite theorique d'une formule fermee.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Que signifie trouver les racines d'un polynome ?

Cela signifie determiner les valeurs de x qui annulent le polynome P(x) = a_n x^n + ... + a_0 = 0, soit ses zeros. Un polynome de degre n a exactement n racines dans le corps complexe (theoreme fondamental de l'algebre), comptees avec leur multiplicite, certaines reelles et d'autres complexes conjuguees.

Quels modes offre la calculatrice ?

Quatre : cubique avec la formule de Cardano, quartique resolue numeriquement, la methode generale de Durand-Kerner pour les polynomes jusqu'au degre 8, et la construction du polynome a partir de ses racines. Pour chaque mode elle donne les racines reelles et complexes, le discriminant quand il s'applique et les etapes.

Qu'est-ce que le discriminant d'une cubique ?

C'est la quantite Delta = 18abcd - 4b^3 d + b^2 c^2 - 4ac^3 - 27a^2 d^2 qui revele la nature des racines : si Delta > 0 il y a trois racines reelles distinctes, si Delta = 0 une racine multiple, si Delta < 0 une reelle et deux complexes conjuguees. C'est l'analogue cubique du discriminant quadratique.

Qu'est-ce que la formule de Cardano ?

C'est la formule qui resout l'equation cubique en la reduisant a la forme deprimee y^3 + Py + Q = 0 (sans le terme quadratique) par la substitution x = y - p/3, puis en exprimant les racines avec des racines cubiques. Publiee par Cardano en 1545, c'est le premier grand resultat de l'algebre de la Renaissance.

Pourquoi n'existe-t-il pas de formule pour le degre 5 ?

Parce que le theoreme d'Abel-Ruffini (1824), explique par la theorie de Galois, demontre que les equations generales de degre 5 ou plus ne sont pas resolubles par radicaux : il n'y a pas de formule donnant les racines avec seulement additions, produits et racines. Les solutions existent mais doivent etre trouvees numeriquement.

Qu'est-ce que la methode de Durand-Kerner ?

C'est un algorithme numerique qui approche toutes les racines d'un polynome simultanement, en iterant sur le plan complexe avec la formule de Weierstrass z_i = z_i - P(z_i)/produit(z_i - z_j). La calculatrice l'utilise pour les quartiques et les polynomes de haut degre, en partant d'estimations reparties sur un cercle.

Pourquoi les racines complexes vont-elles par paires ?

Parce que si un polynome a des coefficients reels et que z est une de ses racines complexes, le conjugue de z l'est aussi. Cela garantit que les racines non reelles apparaissent toujours en paires conjuguees, et donc un polynome reel de degre impair a toujours au moins une racine reelle.

A quoi sert de trouver les racines des polynomes ?

A l'ingenierie des systemes pour les poles des fonctions de transfert et la stabilite, a la dynamique pour les frequences propres det(K - omega^2 M) = 0, au graphisme pour les intersections rayon-surface, a la cristallographie pour les axes principaux du tenseur d'inertie et a la cryptographie pour la factorisation sur les corps finis.

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