Calculateur Permutations et Combinaisons : P(n,k), C(n,k)

Calculez les permutations P(n,k) = n!/(n-k)!, combinaisons C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) avec et sans répétition. Quatre modes avec factorielle et approximation.

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Permutations et combinaisons

Les permutations et combinaisons sont au cœur de la combinatoire : elles comptent les façons d'arranger ou de sélectionner des objets. Distinction clé : permutations → l'ordre compte ; combinaisons → non. Avec ou sans répétition : quatre cas principaux.

Permutations sans répétition

P(n, k) = n!/(n−k)! = n·(n−1)·...·(n−k+1). Pour k = n : P(n, n) = n!. Ex. : podium à 10 athlètes → P(10, 3) = 720.

Combinaisons sans répétition

C(n, k) = n!/(k!·(n−k)!) — coefficient binomial. Poker : C(52, 5) = 2 598 960. Loto 6/90 : C(90, 6) ≈ 622 millions.

Permutations avec répétition

n^k. Code PIN 4 chiffres : 10⁴ = 10 000. Mot de passe 8 caractères ASCII : 95⁸ ≈ 6,6·10¹⁵.

Combinaisons avec répétition

C(n+k−1, k) (stars and bars). 3 boules de glace parmi 10 parfums : C(12, 3) = 220.

Factorielle

n! = n·(n−1)·...·1, 0! = 1. Croît très vite : 20! ≈ 2,4·10¹⁸. Stirling : n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ.

Identités

  • Symétrie : C(n, k) = C(n, n−k).
  • Pascal : C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k).
  • Binôme : (x+y)ⁿ = Σ C(n, k)·xᵏ·yⁿ⁻ᵏ.
  • Somme : Σ C(n, k) = 2ⁿ.
  • Multinôme (anagrammes) : n!/(k₁!·k₂!·...).

Applications pratiques

Probabilités et statistique : la probabilité d'un événement est souvent un rapport de combinaisons (poker, loterie, échantillonnage). Cryptographie : force d'un mot de passe = entropie log₂(N^k). Informatique : algorithmes de recherche et hachage, indexation, codes de Huffman. Biologie : arbres phylogénétiques, séquences génétiques. Chimie : nombre d'isomères possibles d'une molécule. Jeux et paris : poker, bridge, loteries. Sociologie : tirages, sélection aléatoire de jurés. Tout problème commençant par "de combien de façons" est combinatoire.

Utilisation

Modes : permutations s.r., combinaisons s.r., permutations a.r., combinaisons a.r.. n et k entiers ≥ 0. Au-delà de 170! on utilise Stirling.

Permutations et combinaisons : quand l'ordre compte

La distinction fondamentale de la combinatoire est de savoir si l'ordre compte. Dans les permutations l'ordre est pertinent : choisir un président, un vice-président et un secrétaire dans un groupe donne des cas distincts selon qui occupe chaque poste, et se comptent par P(n,k) = n!/(n−k)!. Dans les combinaisons l'ordre est sans importance : choisir trois personnes pour un comité sans rôles attribués donne le même ensemble quel que soit l'ordre, et se comptent par C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!). Il existe aussi les variantes avec répétition : si un élément peut se répéter, les permutations sont n^k et les combinaisons C(n+k−1, k), formule dite « étoiles et barres ». Une propriété élégante est la symétrie C(n,k) = C(n,n−k) : choisir les k qui entrent équivaut à choisir les n−k qui restent dehors. Ces quatre cas couvrent tous les problèmes de dénombrement.

Applications : de la loterie à la génétique

La combinatoire gouverne les probabilités du hasard. Dans une loterie où l'on choisit 6 numéros sur 90, il y a C(90,6) ≈ 622 millions de combinaisons possibles, d'où l'infime probabilité de gagner. Au poker, les mains de 5 cartes sont C(52,5) = 2 598 960. Un résultat surprenant est le paradoxe des anniversaires : il suffit de 23 personnes pour que la probabilité que deux partagent leur anniversaire dépasse 50%. Les nombres C(n,k) sont les coefficients binomiaux du triangle de Pascal et apparaissent dans le développement de (a+b)ⁿ. La combinatoire est essentielle dans le calcul des probabilités, en cryptographie (nombre de clés possibles), en génétique (combinaisons d'allèles), en optimisation combinatoire et dans la conception d'expériences. Sans elle, il serait impossible de quantifier l'incertitude.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre permutations et combinaisons ?

Dans les permutations l'ordre compte : (A, B) et (B, A) sont des cas distincts. Dans les combinaisons l'ordre est sans importance : {A, B} et {B, A} sont le même ensemble. Les permutations sont donc toujours plus nombreuses que les combinaisons correspondantes, exactement k! fois plus.

Comment calculer les permutations ?

Les permutations de k éléments choisis parmi n se calculent par P(n,k) = n!/(n−k)! = n·(n−1)·...·(n−k+1). Par exemple, les façons d'attribuer or, argent et bronze parmi 8 athlètes sont P(8,3) = 8·7·6 = 336. L'ordre (qui gagne quelle médaille) est décisif.

Comment calculer les combinaisons ?

Les combinaisons de k éléments choisis parmi n se calculent par C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!). Par exemple, les façons de choisir 3 personnes parmi 8 pour un comité sont C(8,3) = 56. Ici l'ordre ne compte pas : on choisit seulement qui fait partie du groupe, pas avec quel rôle.

Qu'est-ce qui change avec la répétition ?

Si un élément peut être choisi plusieurs fois, les formules changent. Les permutations avec répétition sont n^k (ex. les mots de passe de k caractères parmi n symboles). Les combinaisons avec répétition sont C(n+k−1, k), calculées par la méthode « étoiles et barres », utilisée pour répartir des objets identiques en groupes.

Qu'est-ce que le triangle de Pascal ?

C'est une disposition triangulaire où chaque nombre est la somme des deux au-dessus. Ses valeurs sont exactement les coefficients binomiaux C(n,k), qui apparaissent dans le développement de (a+b)ⁿ. La ligne n contient C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). On l'appelle aussi triangle de Tartaglia en Italie.

Qu'est-ce que la symétrie des combinaisons ?

C'est la propriété C(n,k) = C(n,n−k) : choisir quels k éléments inclure équivaut à choisir quels n−k exclure. Par exemple C(10,3) = C(10,7) = 120. Cette symétrie sert aussi à accélérer les calculs, en choisissant la plus petite des deux valeurs de k.

À quoi servent les permutations et combinaisons ?

Elles sont la base du calcul des probabilités : des loteries (C(90,6) ≈ 622 millions) aux mains de poker (C(52,5) = 2 598 960). Elles servent en cryptographie pour compter les clés possibles, en génétique pour les combinaisons d'allèles, en statistique et dans tout problème de dénombrement.

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