Calculatrice Systèmes Linéaires (Cramer, Gauss-Jordan)

Calculatrice systèmes linéaires A x = b: règle de Cramer, elimination Gauss-Jordan, théorème Rouche-Capelli, systèmes sous/sur-determines et applications.

Paramètres de calcul
Ce calculateur vous a-t-il été utile ?

Systèmes linéaires

Système A x = b avec n équations en m inconnues. Matricielle: A (n x m), x (m x 1), b (n x 1). Resoudre = trouver x satisfaisant toutes. Algèbre linéaire fondamentale.

Exemple numérique

Système 3x3: 2x_1 + x_2 - x_3 = 8, -3x_1 - x_2 + 2x_3 = -11, -2x_1 + x_2 + 2x_3 = -3. Solution x_1 = 2, x_2 = 3, x_3 = -1.

Regle de Cramer

A carree det != 0: x_i = det(A_i) / det(A). A_i remplace colonne i par b. Cramer 1750. O(n^4) inefficace n > 4.

Gauss-Jordan

Operations lignes. Reduire [A|b] en RREF. O(n^3). Standard production.

Decomposition LU

A = LU. L triangulaire inferieure, U superieure. L y = b, U x = y. Multi-b: O(n^2) chaque.

Théorème Rouche-Capelli

  • rank(A) < rank(A|b): incompatible.
  • = m: unique.
  • < m: infinies (m-rank) libres.

Sous-determines

n < m. Infinies solutions. Norme min: pseudo-inverse Moore-Penrose.

Sur-determines

n > m. Pas solution exacte. Least squares: min ||Ax - b||^2. Équations normales.

Stabilité numérique

cond(A) sensibilite. =1 bon. >>1 mauvais. Pivot partiel. SVD robuste.

Méthodes iteratives

  • Jacobi.
  • Gauss-Seidel.
  • SOR.
  • Conjugate Gradient SPD.
  • GMRES général.

Applications

  • FEM éléments finis.
  • Reseaux électriques Kirchhoff.
  • Programmation linéaire simplex.
  • Reseaux neuronaux backprop.
  • Images filtres.
  • Mecanique quantique.
  • Chaines Markov.
  • Regression polynomiale.

Modes calculatrice

Cinq: Gauss-Jordan, Cramer, verification, rang Rouche-Capelli, sous/sur-determines.

Histoire

Chine ancienne 200 av. J.-C. (Jiuzhang Suanshu): première méthode similaire. Cramer 1750: formules explicites. Gauss 1809 (Theoria Motus): elimination orbites. Jordan 1888: variante echelonnee reduite. Cholesky 1910: matrices symetriques. Wilkinson 1960s: analyse stabilité numérique. LAPACK 1992: standard moderne production.

La geometrie des systemes lineaires : intersections dans l'espace

Chaque equation lineaire represente geometriquement un objet plat : une droite en deux dimensions, un plan en trois, un hyperplan en general. Resoudre un systeme signifie trouver les points qui appartiennent simultanement a toutes ces surfaces, c'est-a-dire leur intersection. Cette vision geometrique eclaire immediatement pourquoi un systeme peut avoir une, une infinite ou aucune solution.

Si deux droites dans le plan se croisent en un point, le systeme a une solution unique. Si elles coincident, chaque point est solution et les solutions sont infinies. Si elles sont paralleles et distinctes, elles ne se rencontrent jamais et le systeme est impossible. En dimensions superieures la meme logique s'etend aux plans et hyperplans. Le theoreme de Rouche-Capelli traduit cette geometrie en arithmetique : en comparant le rang de la matrice des coefficients a celui de la matrice augmentee on etablit exactement lequel des trois cas se produit, sans besoin de visualiser.

Le conditionnement : quand de petites erreurs deviennent grandes

Tous les systemes lineaires ne sont pas aussi faciles a resoudre en pratique. Certains sont mal conditionnes : de petites variations dans les coefficients ou les termes constants produisent d'enormes variations dans la solution. Geometriquement cela correspond a des droites presque paralleles, dont le point d'intersection se deplace violemment au moindre changement de pente. Dans ces cas meme les inevitables erreurs d'arrondi de l'ordinateur peuvent rendre la solution numerique totalement peu fiable.

La gravite du probleme se mesure par le nombre de conditionnement de la matrice : une valeur proche de 1 indique un systeme bien pose, des valeurs enormes signalent un mauvais conditionnement. Un exemple classique est la matrice de Hilbert, dont les nombres de conditionnement croissent exponentiellement avec la dimension, en faisant un banc d'essai pour les algorithmes. Reconnaitre et gerer le mauvais conditionnement est essentiel en ingenierie et calcul scientifique, ou l'on recourt a des techniques comme le pivotage, la regularisation ou l'augmentation de la precision pour obtenir des resultats fiables.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un systeme d'equations lineaires ?

C'est un ensemble d'equations lineaires aux memes inconnues, que l'on cherche a satisfaire toutes a la fois. Il s'ecrit sous forme matricielle A x = b, ou A est la matrice des coefficients, x le vecteur des inconnues et b les termes constants. Le resoudre signifie trouver les valeurs des inconnues.

Comment le resout-on par l'elimination de Gauss ?

On transforme la matrice augmentee en forme echelonnee par operations elementaires sur les lignes : echange, multiplication par une constante, addition de multiples. En reduisant le systeme a une forme triangulaire ou reduite on lit directement les solutions. C'est la methode standard, de complexite proportionnelle a n au cube.

Qu'est-ce que la regle de Cramer ?

Elle donne les solutions d'un systeme carre comme rapports de determinants : chaque inconnue x_i egale le determinant de la matrice obtenue en remplacant la colonne i par les termes constants, divise par le determinant de A. Elle est elegante mais inefficace pour de grands systemes, car calculer des determinants est couteux.

Combien de solutions un systeme peut-il avoir ?

Trois cas : solution unique, une infinite de solutions ou aucune. Geometriquement ils correspondent a des surfaces se rencontrant en un point, coincidant, ou etant paralleles sans se couper. Le theoreme de Rouche-Capelli determine le cas en comparant les rangs des matrices.

Que dit le theoreme de Rouche-Capelli ?

Un systeme a des solutions si et seulement si le rang de la matrice des coefficients egale le rang de la matrice augmentee. Si ce rang commun egale le nombre d'inconnues, la solution est unique ; s'il est plus petit, les solutions sont infinies avec un certain nombre de variables libres.

Que sont les systemes sur-determines ?

Ce sont des systemes avec plus d'equations que d'inconnues, qui en general n'ont pas de solution exacte. On cherche alors la solution des moindres carres, qui minimise l'erreur globale, en resolvant les equations normales A transposee A x = A transposee b. C'est la base de la regression lineaire.

Qu'est-ce que le conditionnement d'un systeme ?

C'est une mesure de la sensibilite de la solution a de petites erreurs dans les donnees. Un systeme mal conditionne, aux droites presque paralleles, amplifie les erreurs d'arrondi et donne des solutions peu fiables. Le nombre de conditionnement quantifie le probleme : plus il est grand, moins le resultat numerique est fiable.

A quoi servent les systemes lineaires ?

Ils sont partout : en ingenierie pour l'analyse de structures et circuits, en physique pour l'equilibre des forces, en economie pour les modeles input-output, en infographie, en optimisation et dans la resolution numerique d'equations differentielles par discretisation (methode des elements finis).

Commentaires (0)

Pas encore de commentaire. Soyez le premier !