Calculateur Suite Géométrique : terme n, somme, raison

Calculez le terme n-ième a_n = a_1·q^(n-1), la somme S_n, la somme infinie et la raison d'une suite géométrique. Quatre modes avec test de convergence.

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Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dans laquelle le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport est la raison, notée q. Formellement {a_n} est géométrique si a_{n+1} / a_n = q avec a_n ≠ 0. Exemples : 2, 6, 18, 54, ... (q = 3) ; 1, ½, ¼, ⅛, ... (q = ½) ; 100, −50, 25, ... (q = −0,5). On la rencontre en croissance bactérienne, intérêts composés, décroissance radioactive, rebonds élastiques.

Terme général

La formule explicite est a_n = a_1 · q^(n − 1). S'obtient par récurrence de a_{n+1} = a_n · q. Exemple : a_1 = 3, q = 2 → a_{10} = 1536. q > 1 croissance exponentielle ; 0 < q < 1 décroissance ; q < 0 signes alternés.

Somme partielle S_n

Si q ≠ 1 : S_n = a_1 · (1 − q^n) / (1 − q). Si q = 1 : S_n = n · a_1. Exemple : 1 + 2 + 4 + ... + 2^(n−1) = 2^n − 1 (paradoxe de l'échiquier).

Somme infinie

Si |q| < 1, converge : S_∞ = a_1 / (1 − q). Exemple : 1 + ½ + ¼ + ... = 2 (paradoxe de Zénon). Si |q| ≥ 1 diverge. Essentiel en analyse, probabilités (loi géométrique), finance (rente perpétuelle).

Raison depuis deux termes

Avec a_m, a_k de même signe : q = (a_k / a_m)^(1/(k − m)). Puis a_1 = a_m / q^(m − 1). Ex. a_3 = 12, a_6 = 96 → q = 2, a_1 = 3.

Trouver l'indice n

n = log(T / a_1) / log(q) + 1. Si n n'est pas un entier positif, T n'est pas dans la suite.

Propriétés

  • Moyenne géométrique : a_n = √(a_{n−1} · a_{n+1}).
  • Croissance exponentielle (droite en échelle log).
  • Produit : ∏ a_i = a_1^n · q^(n(n−1)/2).

Applications

Intérêts composés, décroissance radioactive, croissance démographique, amortissement, fractales (Sierpinski), gamme tempérée 2^(1/12).

Utilisation

Modes : terme n, somme partielle/infinie, raison depuis deux termes, trouver indice. Alerte si la somme infinie ne converge pas.

Vs suite arithmétique

Arithmétique : différence constante. Géométrique : rapport constant. Ex. 2, 4, 6, 8 vs 2, 4, 8, 16. Croissance exponentielle bien plus rapide.

Séries convergentes, le paradoxe de Zénon et la légende de l'échiquier

Une suite géométrique de raison |q| < 1 engendre une série infinie convergente : en additionnant une infinité de termes on obtient un résultat fini, S∞ = a₁/(1 − q). C'est la clé du paradoxe de Zénon : pour parcourir une distance il faut d'abord couvrir la moitié, puis la moitié du reste, et ainsi de suite — la somme 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge exactement vers 1, donc le mouvement est possible. À l'extrême opposé, avec q > 1 la suite explose : la célèbre légende de l'échiquier, en doublant les grains de blé sur chaque case (1, 2, 4, 8, ...), atteint 2⁶³ grains sur la 64ᵉ case et un total de 2⁶⁴ − 1 ≈ 1,8×10¹⁹ grains. Fibonacci les étudia dans le Liber Abaci de 1202.

Croissance exponentielle : intérêts composés et désintégration

La différence entre suite géométrique et arithmétique est celle entre croissance exponentielle et linéaire : l'arithmétique ajoute une constante, la géométrique multiplie par une raison fixe. Les intérêts composés en sont l'exemple financier par excellence : un capital croissant de 5% par an suit aₙ = a₁·1,05ⁿ, et la règle de 72 estime le temps de doublement. En physique, la désintégration radioactive est une suite géométrique de raison 1/2 par demi-vie : après n demi-vies il reste a₁·(1/2)ⁿ du matériau initial, principe de la datation au carbone 14, et les fractales comme le flocon de Koch voient leur périmètre croître en (4/3)ⁿ.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

C'est une suite où chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre fixe q, appelé raison. Le terme de rang n est aₙ = a₁·q^(n−1). Exemple : 3, 6, 12, 24, ... a a₁ = 3 et q = 2. Elle se distingue de la suite arithmétique, où l'on ajoute une constante.

Comment calculer la somme des n premiers termes ?

La somme est Sₙ = a₁·(1 − qⁿ)/(1 − q) quand q ≠ 1, et Sₙ = n·a₁ quand q = 1. Par exemple avec a₁ = 2, q = 3 et n = 4 : S₄ = 2·(1 − 81)/(1 − 3) = 2·(−80)/(−2) = 80. La formule vient de la différence entre Sₙ et q·Sₙ.

Quand une série géométrique infinie converge-t-elle ?

Elle converge si et seulement si |q| < 1, c'est-à-dire que la raison est strictement entre −1 et 1. Dans ce cas la somme infinie vaut S∞ = a₁/(1 − q). Si |q| ≥ 1 la série diverge. Exemple : 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... avec q = 1/2 converge vers 1.

Comment trouver la raison à partir de deux termes ?

Si vous connaissez le terme de rang m et celui de rang k, la raison est q = (aₖ/aₘ)^(1/(k−m)). On en déduit a₁ = aₘ/q^(m−1). Attention : si le rapport aₖ/aₘ est négatif et la différence k−m paire, aucune raison réelle n'existe.

Quelle différence avec la suite arithmétique ?

Dans la suite arithmétique chaque terme s'obtient en ajoutant une constante (croissance linéaire) ; dans la géométrique en multipliant par une raison (croissance exponentielle). À long terme la géométrique avec q > 1 dépasse largement toute suite arithmétique, comme le montre la légende de l'échiquier.

À quoi sert-elle dans la vie réelle ?

Les suites géométriques modélisent les intérêts composés (capital × (1+taux)ⁿ), la désintégration radioactive (moitié à chaque demi-vie), la dépréciation des biens, la croissance des populations et des virus, et les fractales. C'est l'outil de tout phénomène de croissance ou décroissance proportionnelle.

Comment trouver la position d'une valeur dans la suite ?

On inverse aₙ = a₁·q^(n−1) avec les logarithmes : n = log(target/a₁)/log(q) + 1. Si le résultat n'est pas entier, la valeur n'appartient pas à la suite. Le calcul exige q > 0 et que target et a₁ aient le même signe, sinon le logarithme n'est pas défini.

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