Comment calculer l'émission de champ avec la formule de Fowler-Nordheim permet d'estimer la densité de courant J d'électrons extraits d'une surface métallique par effet tunnel sous un fort champ électrique (plus de 10⁹ V/m). Dérivée en 1928 par Ralph Fowler (Cambridge) et Lothar Nordheim (Göttingen-Princeton, Proc. Roy. Soc. A 119:173), la formule est J = (a · E² / φ) · exp(-b · φ^(3/2) / E) avec a ≈ 1,54×10⁻⁶ A·eV/V² et b ≈ 6,83×10⁹ V/(eV^(3/2)·m). C'est la base de la conception des canons à électrons à émission de champ (FEG) utilisés dans les microscopes JEOL, Hitachi, FEI/Thermo Fisher, et des cathodes froides à nanotubes de carbone développées au CEA-Leti Grenoble, IEMN Lille et CNRS LPENS Paris.

1. La formule de Fowler-Nordheim et le travail de sortie

La densité de courant d'émission de champ en forme élémentaire est J = (1,54×10⁻⁶ · E²/φ) · exp(-6,83×10⁹ · φ^(3/2)/E), avec J en A/m², E en V/m et φ en eV. Le travail de sortie φ est le paramètre fondamental : tungstène W (4,5 eV), molybdène Mo (4,6 eV), LaB₆ (2,7 eV), CeB₆ (2,4 eV), graphène (4,5-4,9 eV), nanotubes de carbone CNT (4,5-5,0 eV avec courbure). Les corrections de charge image Burgess-Kroemer-Houston (1953) et Murphy-Good (1956) introduisent les fonctions elliptiques t²(y) et v(y). Pour émetteurs courbés avec rayon r ≈ 5-50 nm, le facteur d'amplification β = E_local/E_macro atteint 1000-3000.

2. Matériaux émetteurs typiques

• Tungstène W cristallin (110), (111), (310) — φ = 4,5 eV. Référence historique en FEG microscopique (FEI/Thermo Fisher, JEOL, Hitachi).
• LaB₆ (hexaborure de lanthane) — φ = 2,7 eV. Microscopie TEM haute brillance, utilisé au CEA Saclay et CNRS-IPCMS.
• CeB₆ (hexaborure de cérium) — φ = 2,4 eV. Meilleure variante pour émission froide.
• Nanotubes de carbone (CNT) — φ = 4,5-5,0 eV avec facteur β jusqu'à 5000. Développés au CEA-Leti Grenoble, IEMN Lille et IBS Grenoble.
• Pointes graphène — φ = 4,5-4,9 eV ; émission stable plus de 10⁵ heures.
• Cathodes Spindt (pointe Mo sur SiO₂) — réseau de micro-pointes avec E_local > 10¹⁰ V/m, développées par SRI International depuis les années 60.

3. Domaine de validité et corrections

La formule classique vaut pour le régime d'émission froide : T 1 V/nm. Au-dessus de T ≈ 1000 K l'émission glisse vers le régime Schottky-thermal-field (Murphy-Good 1956). En-dessous de E ≈ 0,5 V/nm, Richardson-Dushman pure domine. La correction de charge image abaisse effectivement φ → φ - Δφ_image avec Δφ_image = √(eE/4πε₀) ≈ 0,38 eV à E = 5 V/nm. Pour émetteurs en pointe, le facteur d'amplification local β est crucial : r = 10 nm sur gap 1 mm donne β ≈ 100 ; r = 1 nm donne β ≈ 1000. La limite de charge d'espace Child-Langmuir intervient quand J dépasse ~10⁹ A/m².

4. Exemples numériques

Exemple 1 — Pointe de tungstène W(310) FEG TEM, E = 5 V/nm, φ = 4,3 eV. J = 1,54×10⁻⁶ × (5×10⁹)²/4,3 × exp(-6,83×10⁹ × 4,3^1,5 / 5×10⁹) = 8,9×10¹² × 4,9×10⁻⁶ = 4,4×10⁷ A/m² = 4400 A/cm². Sur 100 nm² apicaux (rayon ~5,6 nm), 0,44 µA — cohérent avec FEG opérationnels (10-100 nA par émetteur).

Exemple 2 — Pointe CNT à 3 V/nm, φ = 4,7 eV (CEA-Leti). J = 6,2×10¹¹ × 8,3×10⁻¹¹ = 5,1×10¹ A/m² = 5,1 mA/cm². Une matrice de 10⁶ CNT sur 1 mm² donne 5 mA — suffisant pour displays FED en couleurs.

Exemple 3 — Cathode Spindt Mo, E_local = 10 V/nm via β = 1000. Pour φ = 4,6 eV : J = 3,3×10¹³ × 1,17×10⁻³ = 3,9×10¹⁰ A/m². Réseau de 10⁶ pointes sur 1 cm² délivre ~40 mA en mode pulsé.

5. Applications pratiques

• Microscopie électronique FEG: FEI Tecnai G2, JEOL JEM-2100F, Hitachi HF5000 avec brillance 10¹³ A·m⁻²·sr⁻¹·V⁻¹. CEA Saclay (LPS, IRAMIS), Synchrotron SOLEIL Saint-Aubin, IPCMS Strasbourg, IEMN Lille opèrent des installations FEG
• STM (Scanning Tunneling Microscope): inventé à IBM Zurich par Binnig et Rohrer (Nobel 1986). LPS Orsay, IPCMS Strasbourg, IBS Grenoble disposent de STM basse température
• Vacuum breakdown: Fowler-Nordheim prédit la rupture à 100-300 MV/m — critique pour la conception RF de l'ESS-France et FCC-CERN
• Displays cold cathode: développés par Thomson et Sony dans les années 2000 avec CNT
• Sources X-ray miniaturisées: pour radiographie dentaire et industrielle portable, développées au CEA-Leti Grenoble et Thales Research

6. Cas particuliers et matériaux avancés

Les nanotubes de carbone CNT (Iijima 1991) ont β = 100-5000. Graphène (Prix Nobel Geim-Novoselov 2010) avec φ ≈ 4,5 eV supporte des densités jusqu'à 10⁹ A/cm² en pointes sub-nm. Les nanowires ZnO, Si, GaN offrent émission intégrée sur plateforme CMOS. Le carbone diamant dopé à l'azote (UNCD) a φ réduit à 1,8 eV — record d'émission à champ bas, développé à ANL Argonne et au LIST Saclay. Pour les fibres de carbone et pointes Spindt-Itoh, les facteurs β atteignent 5000-10000.

Mis à jour en juillet 2026