Comment résoudre un système linéaire avec la règle de Cramer

Résolvez systèmes linéaires 2x2 et 3x3 avec la règle de Cramer: x=Dx/D, y=Dy/D, z=Dz/D. Déterminants, conditions, systèmes singuliers. Cramer 1750, Sarrus.

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Comment résoudre un système linéaire avec la règle de Cramer: pour A·x = b la solution est x_i = det(A_i)/det(A), où A_i remplace la colonne i par b. 2×2: x = (e·d − b·f)/(a·d − b·c), y = (a·f − e·c)/(a·d − b·c). Valable seulement si det(A) ≠ 0.

Formule et principe

Cramer donne une solution fermée pour systèmes n×n avec déterminant non nul. 2×2: D = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁. Solution x = D_x/D, y = D_y/D. 3×3 analogue avec 4 déterminants. O(n!) impraticable pour n grand; Gauss O(n³) préféré.

Histoire

Gabriel Cramer publia la règle en 1750. Leibniz introduisit les déterminants en 1693. Sarrus (1833) règle visuelle 3×3. Gauss développa l'élimination. Aujourd'hui Cramer en didactique.

Situations

  • D ≠ 0: solution unique
  • D = 0, D_i = 0: infinies solutions
  • D = 0, D_i ≠ 0: incompatible
  • Complexité: O(n!) vs Gauss O(n³)

Exemples chiffrés

Exemple 1 — 2×2. 2x+y=5; x+3y=10. D=5. x=1, y=3.

Exemple 2 — 3×3. x=1, y=2, z=3.

Exemple 3 — singulier. D=0. Infinies solutions.

Exemple 4 — incompatible. Pas de solution.

Exemple 5 — physique. T_1=73,2 N, T_2=60,1 N.

Limites

  1. Systèmes carrés uniquement.
  2. O(n!) impraticable.
  3. Instabilité numérique.
  4. Erreurs d'arrondi.
  5. D ≠ 0 requis.
  6. Inefficace pour matrices creuses.
  7. Obsolète pour grands systèmes.
  8. Seulement linéaire.

Erreurs courantes

  1. Signes du développement.
  2. Sarrus 3×3 incorrect.
  3. Cramer en singulier.
  4. D_x vs D_y.
  5. Grands systèmes.
  6. Mauvais conditionnement.
  7. Ne pas vérifier.
  8. Systèmes non carrés.

Applications pratiques

  1. Statique et mécanique (Eurocode).
  2. Circuits Kirchhoff.
  3. Chimie stœchiométrie.
  4. Économie Leontief (INSEE).
  5. Géométrie analytique.
  6. Programmation linéaire.
  7. Graphiques 3D.
  8. Robotique.
  9. Régression multiple.
  10. Cryptographie Hill.

Support

Questions: info@calcoi.com. Outil pédagogique.

Pourquoi la regle de Cramer est elegante mais impraticable pour les grands systemes

La regle de Cramer a un attrait indeniable : elle donne une formule explicite et fermee pour chaque inconnue, exprimee comme un quotient de determinants. Cette transparence la rend ideale pour les petits systemes de deux ou trois equations, pour le travail symbolique et pour l'enseignement, car elle montre d'un coup d'oeil comment la solution depend des donnees. Pourtant, cette meme elegance cache un piege computationnel quand le nombre d'equations augmente.

Le probleme est le cout du calcul des determinants. Le faire par developpement en cofacteurs, la definition classique, a une complexite de l'ordre de la factorielle de la taille, ce qui devient astronomique meme pour des matrices moderees. Pour un systeme de dix par dix, ce serait deja completement irrealisable. C'est pourquoi, en pratique, les grands systemes se resolvent par l'elimination de Gauss, dont la complexite est cubique en le nombre d'equations, bien plus rapide. La regle de Cramer reste un joyau theorique, mais cede la place aux methodes numeriques quand l'efficacite compte.

Le determinant comme mesure geometrique

Derriere la regle de Cramer se cache une signification geometrique profonde du determinant. En deux dimensions, le determinant d'une matrice est l'aire signee du parallelogramme forme par ses vecteurs colonnes ; en trois dimensions, c'est le volume signe du parallelepipede qu'ils engendrent. Le signe indique l'orientation, et la valeur absolue, l'etendue d'espace couverte par ces vecteurs.

Cette interpretation explique immediatement pourquoi le systeme n'a une solution unique que si le determinant n'est pas nul. Un determinant nul signifie que les vecteurs colonnes sont lineairement dependants : ils s'effondrent vers une dimension inferieure, le parallelogramme s'aplatit en un segment ou le parallelepipede en un plan, et leur aire ou volume s'annule. Dans ce cas la matrice n'est pas inversible et le systeme n'a pas une solution unique, mais aucune ou une infinite. Ainsi, le determinant que Cramer place au denominateur est exactement la quantite qui mesure si le probleme est bien pose.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la regle de Cramer ?

C'est une methode pour resoudre un systeme lineaire A x = b en exprimant chaque inconnue comme un quotient de determinants : x_i = det(A_i)/det(A), ou A_i est la matrice des coefficients avec la colonne i remplacee par le vecteur des termes constants b. Elle ne vaut que si le determinant de A est non nul. Elle fut publiee par Gabriel Cramer en 1750.

Comment resoudre un systeme 2x2 ?

Pour le systeme a11 x + a12 y = b1, a21 x + a22 y = b2 on calcule le determinant principal D = a11 a22 - a12 a21. Puis x = (b1 a22 - a12 b2)/D et y = (a11 b2 - b1 a21)/D. Si D est non nul la solution est unique ; la calculatrice verifie aussi la substitution dans les equations originales.

Comment resoudre un systeme 3x3 ?

Avec le meme principe mais quatre determinants 3x3 : D du systeme, et Dx, Dy, Dz obtenus en remplacant respectivement la premiere, deuxieme et troisieme colonne par les termes constants. Les solutions sont x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D. Chaque determinant 3x3 se calcule par le developpement de Laplace.

Quand la regle de Cramer ne s'applique-t-elle pas ?

Quand le determinant de la matrice des coefficients est nul. Dans ce cas le systeme n'a pas de solution unique : il peut etre incompatible (aucune solution) ou indetermine (une infinite). Geometriquement les droites ou les plans sont paralleles ou confondus. Les systemes non carres ne peuvent pas non plus se resoudre par Cramer.

Pourquoi n'utilise-t-on pas Cramer pour les grands systemes ?

Parce que calculer les determinants par developpement en cofacteurs a une complexite de l'ordre de la factorielle, qui devient prohibitive deja pour des matrices de taille moderee. Pour les grands systemes on utilise l'elimination de Gauss, a complexite cubique, bien plus efficace. Cramer reste ideal pour les systemes 2x2 et 3x3 et pour le calcul symbolique.

Que signifie le determinant geometriquement ?

C'est l'aire signee du parallelogramme (en 2D) ou le volume signe du parallelepipede (en 3D) forme par les vecteurs colonnes de la matrice. Un determinant nul signifie que les vecteurs sont lineairement dependants et s'effondrent vers une dimension inferieure, c'est pourquoi le systeme n'a pas de solution unique.

Qui a invente la regle ?

Elle fut publiee par Gabriel Cramer en 1750 dans son ouvrage sur les courbes algebriques, bien que des idees similaires fussent deja connues. Le concept de determinant avait ete introduit par Leibniz puis developpe par Vandermonde, Laplace et Cauchy. La regle porte le nom de Cramer pour sa formulation systematique.

Ou utilise-t-on la regle de Cramer ?

En statique et mecanique pour les equilibres de forces, dans l'analyse de circuits electriques avec les lois de Kirchhoff, en stoechiometrie chimique, dans le modele economique de Leontief, en geometrie analytique, en graphisme 3D et en robotique. Elle est utile partout ou l'on a besoin de solutions exactes de petits systemes lineaires.

Formule

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \quad A_i \text{ = matrice A con colonna } i \text{ sostituita da } \vec{b}

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