Calculateur Conjecture de Collatz (Problème 3n+1)

Calculateur conjecture de Collatz 3n+1 : trajectoire complete, temps d arret total, valeur maximale, analyse sur intervalle [1, N] et version compressee T(n).

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La conjecture de Collatz

La conjecture de Collatz, aussi appelee problème 3n+1, conjecture de Syracuse ou d Ulam, est un des problèmes ouverts les plus celebres des mathématiques élémentaires. Formulee par Lothar Collatz en 1937, elle affirme que pour tout entier positif n, l application repetee de f(n) = n/2 si n est pair, 3n+1 si n est impair, conduit inevitablement au 1. Malgre l apparente simplicite, la preuve echappe aux mathematiciens depuis presque un siecle.

La fonction de Collatz

f(n) = n/2 si n pair, 3n+1 si n impair. La conjecture dit que pour tout n >= 1, la suite iteree atteint tot ou tard 1, entrant dans le cycle 1 -> 4 -> 2 -> 1. Exemple n=27 : pic a 9232, apres 111 pas atteint 1.

Temps d arret total

T(n) = nombre de pas pour atteindre 1. Exemples : T(27)=111, T(97)=118, T(871)=178. Comportement chaotique : T peut varier enormement entre consecutifs. Conjecturalement T(n) ~ 6.95 * ln(n) en moyenne.

Verification computationnelle

Verifiee pour tout n <= 2^68 ~ 2.95 * 10^20 (Barina 2021). Aucun contre-exemple. GPUs testent ~10^12 nombres/seconde. Fort soutien empirique mais pas de preuve.

Version compressee T(n)

T(n) = n/2 si pair, (3n+1)/2 si impair. Equivalente pour la conjecture, trajectoires ~ deux fois plus courtes.

Cinq modes

  1. Trajectoire complete.
  2. Temps d arret T(n).
  3. Pic maximal.
  4. Analyse intervalle [1, N].
  5. Compressee T(n).

Pourquoi si difficile ?

Erdos disait : "les mathématiques ne sont pas pretes pour ces problèmes". Les trajectoires oscillent chaotiquement. Tao (2019) : presque toutes les orbites decroissent, mais pas toutes. Conway (1972) : les generalisations sont Turing-completes, suggerant l indecidabilite.

Résultats partiels

  • Terras 1976 : densité d entiers a temps fini est 1.
  • Krasikov-Lagarias 2003 : au moins x^(0.84) entiers atteignent 1.
  • Tao 2019 : presque toutes les orbites tombent sous toute fonction croissante.
  • Conway 1972 : Fractran Turing-complet, indecidable.
  • Pas de cycles non triviaux pour n <= 10^20.

Applications

  • Théorie de la calculabilite : lien avec le problème d arret.
  • Dynamique discrete : système chaotique paradigmatique.
  • Théorie des nombres : dynamique 2-adique, formes modulaires.
  • Didactique : problème ouvert accessible.

Histoire de la conjecture de Collatz

La conjecture est attribuée au mathématicien allemand Lothar Collatz, qui la formula vers 1937. Au fil des décennies elle a accumulé un nombre remarquable de noms, signe du nombre de fois où elle a été redécouverte de façon indépendante : on la connaît comme le problème 3n+1, la conjecture d'Ulam, le problème de Kakutani, l'algorithme de Hasse et le problème de Syracuse. Sa célébrité naît du contraste entre l'extrême simplicité de son énoncé — prends un nombre, s'il est pair divise-le par deux, s'il est impair triple-le et ajoute un — et l'impossibilité de le démontrer. Le grand mathématicien Paul Erdős, célèbre pour ses problèmes, déclara que « les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes » et offrit une récompense symbolique de 500 dollars à qui le résoudrait. Près de quatre-vingt-dix ans après sa formulation, la conjecture reste ouverte.

Vérifications modernes et tentatives de démonstration

Avec les ordinateurs, la conjecture a été vérifiée pour tous les nombres jusqu'à des valeurs énormes, au-delà de 2⁶⁸ : aucun contre-exemple n'a jamais été trouvé, et toute trajectoire testée atteint toujours 1. Mais la vérification numérique, si étendue soit-elle, n'est pas une démonstration. Sur le front théorique, en 1976 Riho Terras démontra que presque tous les entiers (au sens de la densité) ont un temps d'arrêt fini. Le progrès le plus récent et célèbre est de Terence Tao, qui démontra en 2019 que presque toutes les orbites de Collatz atteignent des valeurs « presque bornées », le résultat partiel le plus fort à ce jour. Malgré ces avancées et l'énorme effort computationnel de projets de calcul distribué, une démonstration complète continue d'échapper aux mathématiciens.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la conjecture de Collatz ?

C'est une conjecture mathématique portant sur une règle itérative simple : à partir d'un entier positif, s'il est pair on le divise par deux, s'il est impair on le multiplie par trois et on ajoute un. La conjecture affirme que, quel que soit le nombre de départ, en répétant l'opération on atteint toujours 1. Malgré l'énoncé élémentaire, personne n'est encore parvenu à la démontrer ni à trouver un contre-exemple.

Qu'est-ce que le temps d'arrêt ?

Le temps d'arrêt total est le nombre d'étapes nécessaires pour que la suite de Collatz, partant d'un entier n, atteigne la valeur 1. Par exemple, en partant de 6 il faut 8 étapes. Certains nombres ont des temps d'arrêt étonnamment longs par rapport à leur taille : le célèbre 27 prend pas moins de 111 étapes et monte jusqu'à 9232 avant de descendre à 1. L'étude de ces temps est centrale dans l'analyse statistique de la conjecture.

Pourquoi est-elle si difficile à démontrer ?

La difficulté vient de ce que la suite mêle deux opérations de nature opposée : la division, qui réduit, et la multiplication par trois plus un, qui augmente. L'alternance est chaotique et imprévisible, et il n'existe pas de structure algébrique ni d'invariant évident permettant de contrôler le comportement à long terme. C'est un exemple de système dynamique discret simple à définir mais au comportement extrêmement complexe, qui défie les outils mathématiques actuels.

Qu'est-ce que la version compressée T(n) ?

C'est une variante qui fusionne deux étapes en une : quand le nombre est impair, au lieu de calculer 3n+1 (qui est toujours pair) puis de diviser, on calcule directement (3n+1)/2. Cette version compressée produit des trajectoires plus courtes mais équivalentes pour la conjecture : si l'une converge vers 1, l'autre aussi. Elle est souvent préférée dans l'analyse théorique car elle supprime les étapes paires redondantes et simplifie les estimations statistiques.

A-t-elle été vérifiée par ordinateur ?

Oui, massivement. La conjecture a été vérifiée pour tous les entiers jusqu'à des valeurs énormes, au-delà de 2⁶⁸, sans jamais trouver de contre-exemple : chaque trajectoire testée atteint 1. Des projets de calcul distribué continuent d'étendre cette limite. Toutefois, si convaincante soit-elle, la vérification numérique ne constitue pas une démonstration : il reste toujours possible, en principe, qu'un contre-exemple plus grand que ceux testés existe.

Quels résultats partiels existent ?

En 1976 Riho Terras démontra que presque tous les entiers, au sens de la densité, ont un temps d'arrêt fini. En 2019 Terence Tao obtint le résultat le plus fort à ce jour, prouvant que presque toutes les orbites de Collatz atteignent des valeurs presque bornées. Ces théorèmes ne démontrent pas la conjecture pour chaque nombre, mais montrent que d'éventuelles exceptions seraient extrêmement rares, renforçant la conviction que la conjecture est vraie.

Le nombre 27 a-t-il quelque chose de spécial ?

Oui, c'est l'exemple le plus célèbre de comportement surprenant pour un petit nombre. En partant de 27, la suite de Collatz ne descend pas immédiatement mais monte de façon spectaculaire jusqu'à atteindre le pic de 9232, environ 342 fois la valeur de départ, et prend 111 étapes avant d'atteindre 1. C'est l'illustration parfaite de la longueur et de l'imprévisibilité de la trajectoire même en partant de nombres modestes.

Qui a formulé la conjecture de Collatz ?

C'est le mathématicien allemand Lothar Collatz qui la proposa vers 1937. Au fil du temps elle a reçu de nombreux noms différents — problème 3n+1, conjecture d'Ulam, problème de Syracuse, algorithme de Hasse — car redécouverte indépendamment par divers chercheurs. Paul Erdős, face à sa résistance, dit que les mathématiques n'étaient pas encore prêtes pour de tels problèmes et offrit 500 dollars à qui la résoudrait : la récompense n'a jamais été réclamée.

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