Calculadora Distribución Weibull (Fiabilidad, PDF, CDF)

Calculadora distribución Weibull(k, lambda): PDF, CDF, supervivencia, hazard rate, quantiles, momentos. Fiabilidad curva bañera, MTTF, vida componentes.

Parámetros de cálculo
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Distribución Weibull: definición

Distribución continua dos parámetros (Weibull 1939) para reliability y supervivencia. Generaliza exponencial.

PDF: f(x) = (k/lambda)(x/lambda)^(k-1) exp(-(x/lambda)^k).

CDF: F(x) = 1 - exp(-(x/lambda)^k).

Supervivencia: S(x) = exp(-(x/lambda)^k).

Hazard: h(x) = (k/lambda)(x/lambda)^(k-1).

Ejemplo

k = 2, lambda = 1000 hr: P(falla 500 hr) = 22.1 %. Mediana 832.6 hr.

Parámetros

  • k < 1: hazard decreciente (DFR, infancia).
  • k = 1: exponencial.
  • k > 1: hazard creciente (IFR, desgaste).
  • k = 2: Rayleigh.
  • k = 3.5: casi normal.

Curva bañera

  1. Infancia DFR k < 1.
  2. Vida util k = 1.
  3. Desgaste IFR k > 1.

Momentos

  • Media: lambda Gamma(1 + 1/k).
  • Varianza: lambda^2 (Gamma(1 + 2/k) - Gamma(1 + 1/k)^2).
  • Mediana: lambda (ln 2)^(1/k).
  • Moda: k > 1 lambda ((k-1)/k)^(1/k), sino 0.

Estimación

MLE: ecuación implicita k (Newton-Raphson), luego lambda. O Weibull plot ln(-ln(1-F_i)) vs ln(x_i).

Casos especiales

  • Weibull(1) = Exp.
  • Weibull(2) = Rayleigh.
  • k = 3.6 casi normal.
  • 3 parámetros: añade umbral.

Aplicaciones

  • Fiabilidad componentes.
  • Supervivencia clinica.
  • Velocidad viento.
  • Hidrologia extremos.
  • Materiales fatiga.
  • Biologia floración.
  • Finanzas defaults.
  • Eolica turbinas.

Velocidad viento

V tipicamente Weibull k = 1.5-2.5. Potencia E[V^3] = lambda^3 Gamma(1+3/k). Critico para turbinas eolicas.

Weibull vs exponencial

  • Exp = Weibull(1): constante, memoryless.
  • Weibull k != 1: variable, no memoryless.
  • 1 vs 2 parámetros.
  • CV exp = 1, Weibull depende k.

Historia

Wallodi Weibull (1887-1979) sueco. 1939 materiales, 1951 amplia aplicabilidad. Fisher-Tippett-Gnedenko 1943 valor extremo.

Modos calculadora

Seis: PDF, CDF, supervivencia, quantil, hazard, momentos. Con interpretación DFR/IFR/constante.

La curva de la banera y la ingenieria de fiabilidad

La idea mas influyente que aporta la distribucion de Weibull es que la tasa de fallo de una poblacion no es constante sino que cambia a lo largo de la vida de los elementos, y el parametro de forma k captura exactamente en que regimen se esta. Cuando k es menor que uno la tasa de riesgo disminuye con la edad: es la mortalidad infantil, donde las unidades debiles fallan pronto y las supervivientes son cada vez mas robustas, la razon por la que los fabricantes aplican un periodo de rodaje antes de la entrega. Cuando k es igual a uno el riesgo es constante y los fallos ocurren al azar, independientes de la edad, el comportamiento sin memoria de la exponencial. Cuando k supera uno el riesgo crece con la edad, la firma del desgaste a medida que se erosionan los rodamientos, envejece el aislamiento y se acumula la fatiga.

Representar estas tres fases en secuencia produce la famosa curva de la banera, alta al inicio, plana durante la meseta de vida util y creciendo de nuevo al final. Los ingenieros de fiabilidad ajustan modelos de Weibull a los datos de fallo de campo precisamente para situar un producto en esta curva, porque el valor de k dicta la respuesta correcta: mejor cribado para la mortalidad infantil, redundancia para los fallos aleatorios y reemplazo preventivo para el desgaste. El mismo ajuste da cantidades como la vida caracteristica, el tiempo en que ha fallado cerca del 63 por ciento de las unidades, y alimenta directamente la planificacion de garantias y los programas de mantenimiento.

Weibull, valores extremos y energia eolica

La distribucion de Weibull no es solo una curva empirica que casualmente ajusta; tiene una base teorica profunda en la teoria de valores extremos. El teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko muestra que el minimo de un gran numero de variables independientes, adecuadamente reescalado, converge a solo tres formas limite, y la Weibull es la que surge cuando la cantidad subyacente esta acotada por debajo, como la resistencia o la vida util lo estan por cero. Por eso describe tan bien la resistencia a la rotura de los materiales: una probeta falla por su eslabon mas debil, y el mas debil de muchos eslabones sigue una ley de Weibull. Wallodi Weibull la uso por primera vez para este mismo problema en 1939.

Una segunda gran aplicacion es la meteorologia y la energia eolica. La distribucion de las velocidades del viento en un emplazamiento se aproxima muy bien por una Weibull con un parametro de forma tipicamente cercano a dos, proximo al caso especial de Rayleigh. Como la potencia de una turbina depende del cubo de la velocidad del viento, una distribucion precisa de velocidades es esencial para estimar la produccion anual de energia, y las evaluaciones del recurso eolico reportan de forma rutinaria el k y la escala de Weibull ajustados. Los parametros se estiman a partir de datos por maxima verosimilitud o por regresion en papel probabilistico de Weibull, donde la transformacion doblemente logaritmica de la funcion de supervivencia convierte el modelo en una recta cuya pendiente es k.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que es la distribucion de Weibull?

Es una distribucion continua de dos parametros, forma k y escala lambda, definida para x >= 0. Su densidad es f(x) = (k/lambda)(x/lambda)^(k-1) exp(-(x/lambda)^k). Introducida por Wallodi Weibull en 1939, es la herramienta estandar en fiabilidad, analisis de supervivencia y meteorologia porque modela tasas de fallo crecientes, constantes o decrecientes.

Que representan los parametros k y lambda?

k es el parametro de forma: fija la tendencia de la tasa de fallo (k1 creciente). lambda es el parametro de escala, tambien llamado vida caracteristica, el valor en que la CDF alcanza cerca del 63,2%. Cambiar lambda estira o comprime la distribucion sin cambiar su forma.

Cual es la relacion con la distribucion exponencial?

La exponencial es el caso especial de Weibull con k = 1: tasa de fallo constante y propiedad sin memoria. Para k distinto de 1 la tasa varia con el tiempo y se pierde la ausencia de memoria. La Weibull generaliza asi la exponencial anadiendo la capacidad de describir envejecimiento o rodaje.

Que es la funcion de riesgo (hazard)?

Es la tasa instantanea de fallo condicionada a la supervivencia hasta x: h(x) = (k/lambda)(x/lambda)^(k-1). Para la Weibull depende solo de k: decreciente para k1 (desgaste). Es el nucleo del analisis de fiabilidad.

Que es la curva de la banera?

Es el perfil de la tasa de fallo a lo largo de la vida de un producto: alta al inicio (fallos infantiles, k1). La Weibull modela cada fase con un k distinto y se usa para planificar rodaje, redundancia y mantenimiento.

Como se calculan la media y la varianza?

Media = lambda * Gamma(1 + 1/k) y varianza = lambda^2 [Gamma(1 + 2/k) - Gamma(1 + 1/k)^2], donde Gamma es la funcion gamma. La mediana vale lambda (ln 2)^(1/k) y la moda, para k>1, vale lambda ((k-1)/k)^(1/k). La calculadora devuelve todos estos momentos junto al resultado.

Por que la Weibull describe la resistencia de los materiales?

Porque surge de la teoria de valores extremos: una probeta se rompe en su punto mas debil, y el minimo de muchas resistencias independientes converge a una Weibull (teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko). Weibull la introdujo precisamente para la resistencia de materiales en 1939, y sigue siendo el modelo de referencia para la fractura fragil.

Donde se usa en la energia eolica?

La distribucion de las velocidades del viento en un emplazamiento se aproxima bien por una Weibull con forma cercana a 2 (caso de Rayleigh). Como la potencia de una turbina depende del cubo de la velocidad, estimar bien k y lambda es esencial para predecir la produccion anual de energia. Las evaluaciones del recurso eolico siempre reportan los parametros de Weibull.

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