Distribución normal: la curva en campana

La distribución normal (gaussiana) es la distribución continua de probabilidad más importante. Fue introducida por Abraham de Moivre (1733) como límite de binomiales y sistematizada por Carl Friedrich Gauss (1809). Su función de densidad: f(x) = exp(−(x − μ)²/(2σ²)) / (σ·√(2π)), con μ media y σ desviación estándar. Simétrica respecto a μ, puntos de inflexión en μ ± σ; ∫ f dx = 1.

Teorema central del límite

La suma de muchas variables independientes con varianza finita tiende a la normal. Por eso errores de medición, altura, presión arterial, rendimientos, ruido térmico siguen aprox. N(μ, σ²). No universal: distribuciones de cola pesada (Cauchy, Lévy) o asimétricas (lognormal) requieren otros modelos.

PDF y CDF

PDF f(x) = densidad en x; P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f. CDF Φ(x) = P(X ≤ x) sin forma cerrada elemental. Abramowitz-Stegun 26.2.17: error < 7,5·10⁻⁸. z-score z = (x − μ)/σ estandariza a N(0, 1).

Regla 68-95-99,7

P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 68,27%; ≤ 2σ ≈ 95,45%; ≤ 3σ ≈ 99,73%. IC 95% = μ ± 1,96σ; 99% = μ ± 2,576σ. Six Sigma: 3,4 ppm defectos.

Cuantil: inversa

x_p = μ + σ·Φ⁻¹(p). Notables: Φ⁻¹(0,5)=0; Φ⁻¹(0,975)=1,96; Φ⁻¹(0,995)=2,576. Algoritmo de Acklam (2000).

Aplicaciones

Estadística inferencial (test z, IC, p-value); biometría; economía (Black-Scholes, GARCH); ingeniería (Six Sigma); psicometría (IQ μ=100, σ=15); meteorología; control de calidad (SPC); ML (ruido gaussiano, priors bayesianos, dropout); física (ruido térmico); comunicaciones (AWGN).

Límites

No todo es normal: rendimientos tienen colas pesadas; renta es lognormal. Tests: Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling.

Cómo usar

Modo: PDF, CDF, Intervalo, Cuantil. Defaults μ=0, σ=1.

Ejemplo numérico

QI ~ N(μ=100, σ=15). P(QI ≥ 130) = 1 − Φ((130−100)/15) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,0228 (2,28%). QI para el percentil 99: x = 100 + 15·Φ⁻¹(0,99) = 100 + 15·2,3263 = 134,9. Intervalo μ ± 2σ [70, 130] cubre 95,45% de la población.

De Gauss al teorema central del límite

La distribución normal lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, que la introdujo en 1809 estudiando los errores en las observaciones astronómicas, aunque Abraham de Moivre ya la había vislumbrado en 1733. Su ubicuidad nace del teorema central del límite, demostrado en forma general por Pierre-Simon Laplace: la suma o la media de muchas variables independientes, cualquiera que sea su distribución, converge a una normal. Por eso la campana gaussiana recurre en física, biología, economía y control de calidad, donde los límites de tolerancia suelen fijarse en tres sigma.

Consejos de uso de la calculadora

Introduce siempre la media μ y la desviación estándar σ (positiva). Elige el modo: densidad PDF, probabilidad acumulada CDF, probabilidad en un intervalo entre a y b, o cuantil a partir de una probabilidad p entre 0 y 1. El calculador devuelve también la puntuación z, que indica a cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra el valor introducido.

Actualizado a julio de 2026