Cómo calcular la regresión lineal con mínimos cuadrados

Calcula la regresión lineal y = mx+b con mínimos cuadrados. Pendiente, intercepto, R², error estándar residuos, predicción. Pearson r. Gauss 1809, Legendre 1805.

Parámetros de cálculo
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Cómo calcular la regresión lineal con mínimos cuadrados: dada una serie de puntos (x_i, y_i), encuentra pendiente m e intercepto b de y = m·x + b minimizando Σ(y_i − m·x_i − b)². Forma cerrada: m = [n·Σxy − Σx·Σy] / [n·Σx² − (Σx)²], b = (Σy − m·Σx)/n. Calidad R² = 1 − SS_res/SS_tot.

Fórmula y parámetros

Mínimos cuadrados es la técnica estadística fundamental. SSR minimizado por derivadas parciales. R² mide la varianza explicada (0-1). SE(m) usado para intervalos de confianza y test t.

Historia

Legendre (1805) publicó. Gauss (1809) reformuló. Galton (1886) acuñó "regresión". Pearson (1896) coeficiente r. Fisher (1925) ANOVA y test t. El INE en España usa regresión en estadísticas oficiales.

Tabla R²

  • R² = 1.0: ajuste perfecto
  • R² > 0.95: excelente, calibración
  • R² 0.80-0.95: bueno, físicas/ingeniería
  • R² 0.50-0.80: moderado, biológicas
  • R² 0.25-0.50: débil, sociales
  • R² < 0.25: insuficiente, modelos no lineales

Ejemplos numéricos

Ejemplo 1 — perfecto y=2x. m=2, b=0, R²=1.

Ejemplo 2 — datos ruidosos. m≈1.99, R²≈0.998.

Ejemplo 3 — calibración espectrofotómetro. m=2.0 M⁻¹, R²=0.9998. Beer-Lambert.

Ejemplo 4 — ventas vs marketing. m=9.1€/€, R²=0.998. ROI 8.1×.

Ejemplo 5 — no lineal. y=x² regresión lineal R²=0.93 pero erróneo. Inspeccionar residuos!

Limitaciones

  1. Linealidad.
  2. Independencia (Durbin-Watson).
  3. Homocedasticidad.
  4. Normalidad residuos (Shapiro-Wilk).
  5. Sin outliers (Cook).
  6. Sin multicolinealidad (VIF).
  7. n ≥ 10·predictores.
  8. Asociación ≠ causalidad.

Errores comunes

  1. R² alto = causalidad.
  2. Extrapolar.
  3. No revisar residuos.
  4. R² vs r.
  5. Lineal en no lineales.
  6. Ignorar outliers.
  7. SE(m) vs σ_y.
  8. Sin disclaimer fuera de rango.

Aplicaciones prácticas

  1. Calibración instrumentos.
  2. Economía CAPM.
  3. Epidemiología dosis-respuesta.
  4. Ingeniería materiales.
  5. Climatología (IPCC).
  6. Psicometría.
  7. Marketing ROI.
  8. Genómica GWAS.
  9. Astrofísica Hubble.
  10. Machine learning Lasso/Ridge.

Soporte

Preguntas: info@calcoi.com. Herramienta educativa.

Los minimos cuadrados: el metodo que revoluciono la ciencia

La regresion lineal se basa en el metodo de los minimos cuadrados, una de las ideas mas fecundas de la historia de la estadistica. Consiste en elegir la recta que hace minima la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos y la propia recta. Publicado por Adrien-Marie Legendre en 1805 y fundamentado teoricamente por Carl Friedrich Gauss en 1809, el metodo nacio de un problema astronomico concreto: predecir la orbita del asteroide Ceres a partir de unas pocas observaciones dispersas.

Su exito no fue casual. El teorema de Gauss-Markov demuestra que, bajo hipotesis razonables, la recta de minimos cuadrados es el mejor estimador lineal insesgado, es decir el de menor varianza entre todos los estimadores lineales sin sesgo. La eleccion de elevar al cuadrado los errores, en lugar de tomar valores absolutos, no es arbitraria: hace el problema derivable y resoluble con formulas cerradas, y otorga un peso mayor a las desviaciones grandes, penalizando los ajustes que dejan puntos muy lejos de la recta.

Leer R2, la correlacion y los limites de una recta

El coeficiente de determinacion R2 mide la fraccion de la variabilidad de los datos que la recta consigue explicar, en una escala de 0 a 1: un R2 de 0,9 significa que el modelo da cuenta del 90 por ciento de la varianza. No debe confundirse con el coeficiente de correlacion r, que es su raiz cuadrada con signo y mide la fuerza y direccion de la relacion lineal. Y ninguno de los dos prueba causalidad: una correlacion alta puede deberse a una tercera variable oculta o a pura coincidencia.

El ejemplo mas instructivo es el cuarteto de Anscombe: cuatro conjuntos de datos con identica media, varianza, recta de regresion y R2, pero con formas completamente distintas al dibujarlos, uno lineal, otro curvo, otro dominado por un solo valor atipico. La leccion es clara: nunca hay que fiarse solo de los numeros sin representar graficamente los datos. Igual de importante es no extrapolar la recta mas alla del rango observado, donde la relacion lineal podria dejar de cumplirse por completo.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que es la regresion lineal?

Es el metodo que halla la recta y = m x + b que mejor aproxima una serie de puntos (x, y), minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos y la recta. La pendiente m y el intercepto b se obtienen con formulas cerradas de minimos cuadrados. Es la herramienta basica para modelar relaciones lineales entre dos variables.

Como se calculan la pendiente y el intercepto?

La pendiente es m = (n Sigma xy - Sigma x Sigma y) / (n Sigma x^2 - (Sigma x)^2), donde n es el numero de puntos. El intercepto es b = (Sigma y - m Sigma x)/n, es decir b = media y - m por media x. Estas formulas minimizan la suma de los cuadrados de los residuos, las desviaciones verticales de la recta.

Que es el coeficiente R cuadrado?

Es el coeficiente de determinacion, que mide la fraccion de la variabilidad de los datos explicada por la recta, en una escala de 0 a 1. Vale R^2 = 1 - SS_res/SS_tot. Un valor cercano a 1 indica un excelente ajuste, uno cercano a 0 que la recta explica poco. Es la medida estandar de la bondad del ajuste.

Que diferencia hay entre R cuadrado y r?

R^2 es el coeficiente de determinacion (fraccion de varianza explicada), r es el coeficiente de correlacion de Pearson, que mide la fuerza y direccion de la relacion lineal entre -1 y +1. En la regresion simple r es la raiz cuadrada de R^2 con el signo de la pendiente. R^2 no tiene signo, r si.

La correlacion implica causalidad?

No. Una correlacion elevada entre dos variables no significa que una cause la otra: podria haber una tercera variable oculta que influye en ambas, o una pura coincidencia. La regresion describe una asociacion estadistica, no un vinculo causal, que debe establecerse con otros argumentos experimentales.

Que es el error estandar de la pendiente?

Es una medida de la incertidumbre en la estimacion de la pendiente, SE(m) = s_e / raiz(S_xx), donde s_e es el error estandar de los residuos. Sirve para construir intervalos de confianza y realizar contrastes de hipotesis sobre la pendiente, por ejemplo para verificar si es significativamente distinta de cero.

Por que hay que dibujar siempre los datos?

Porque estadisticas identicas pueden ocultar formas muy distintas. El celebre cuarteto de Anscombe muestra cuatro conjuntos de datos con la misma media, varianza, recta y R^2, pero con patrones completamente distintos: uno lineal, uno curvo, uno dominado por un valor atipico. Solo el grafico revela la verdadera estructura.

Se puede extrapolar mas alla de los datos?

Es arriesgado. La recta de regresion es fiable solo en el rango de los datos observados; fuera de el, la relacion lineal podria dejar de cumplirse por completo. Extrapolar significa suponer que el modelo sigue siendo valido donde no se verifico, una suposicion a menudo injustificada y fuente de errores graves.

Fórmula

m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}, \quad b = \bar{y} - m\bar{x}, \quad R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}

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