Calculadora Teorema de Bayes: P(A|B), PPV, likelihood ratio

Calcula probabilidad posterior P(A|B), PPV y NPV de prueba diagnóstica, razón de verosimilitud. Cuatro modos del teorema de Bayes con ejemplos prácticos.

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Teorema de Bayes: fórmula fundamental

El teorema de Bayes, publicado póstumamente en 1763 por Thomas Bayes y formalizado por Pierre-Simon Laplace, es la fórmula central para actualizar una probabilidad a la luz de nueva evidencia: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B). P(A) es la probabilidad a priori, P(B|A) la verosimilitud de B dado A, P(B) la probabilidad marginal, P(A|B) la probabilidad posterior. Es la base de la inferencia bayesiana, la medicina basada en evidencia, los filtros antispam y muchos algoritmos de machine learning.

Fórmula con probabilidad total

Cuando P(B) no se conoce directamente se usa la ley de probabilidad total: P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A). Sustituyendo: P(A|B) = [P(B|A)·P(A)] / [P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·(1−P(A))]. Forma operativa más usada.

Prueba diagnóstica: PPV y NPV

En diagnóstico médico: PPV = Sens·Prev / [Sens·Prev + (1−Esp)·(1−Prev)], donde PPV es probabilidad de enfermedad dado test positivo. Análogamente NPV = Esp·(1−Prev) / [Esp·(1−Prev) + (1−Sens)·Prev]. La tasa de error (1−PPV) crece rápidamente para enfermedades raras.

Ejemplo: falacia de la tasa base

Test Sens=99%, Esp=99% para enfermedad con prevalencia 0,1%. PPV = 0,99·0,001/[0,99·0,001 + 0,01·0,999] ≈ 9%. Solo 9% de positivos son verdaderos, 91% falsos. Este es el base rate fallacy: ignorar la prevalencia sobreestima el riesgo post-test. Kahneman-Tversky y Gigerenzer mostraron que 70-80% de médicos yerran sin entrenar en frecuencias naturales.

Forma odds: factor de Bayes

odds(A|B) = odds(A) · LR, donde LR = P(B|A)/P(B|¬A). Para tests: LR+ = Sens/(1−Esp), LR− = (1−Sens)/Esp. LR+ > 10 o LR− < 0,1 test muy informativo.

Actualización secuencial

Evidencias independientes se combinan multiplicando: odds_final = odds_inicial · LR₁ · LR₂ · ... · LRₙ. Útil en diagnósticos complejos, ADN forense, combinación de síntomas.

Aplicaciones modernas

Naïve Bayes en filtros antispam y clasificación de texto; redes bayesianas en diagnóstico (IBM, Microsoft); genética (parentesco); forense ADN; machine learning; econometría; astronomía (exoplanetas en tránsito). Amazon, Netflix y scoring crediticio usan Bayes con miles de features.

Cómo usar

Modo: Básico (P(A), P(B|A), P(B) → P(A|B)), Total (con P(B|¬A)), Diagnóstico (Sens, Esp, Prev → PPV, NPV), Odds (prior, LR → posterior). Decimales (0,05 = 5%).

La falacia de la tasa base, en números

Ejemplo completo: una enfermedad afecta al 1% de la población; el test tiene sensibilidad del 99% y especificidad del 95%. Entre 10 000 personas hay 100 enfermas, de las que 99 dan positivo, y 9 900 sanas, de las que 495 dan un falso positivo. Quien recibe un resultado positivo tiene por tanto solo 99/(99+495) ≈ 17% de probabilidad de estar realmente enfermo, no el 99% que sugiere la intuición. Por eso los cribados masivos incluyen siempre un test de confirmación. Thomas Bayes era un ministro presbiteriano inglés; su ensayo se publicó póstumamente en 1763, y fue Laplace quien dio al teorema su forma moderna y su primer uso sistemático en astronomía.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Qué dice el teorema de Bayes?

P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B): la probabilidad de A dado B se obtiene "invirtiendo" la probabilidad condicional con la probabilidad a priori P(A). Publicado póstumamente en 1763 por el reverendo Thomas Bayes, es la regla matemática para actualizar las creencias a la luz de nuevas evidencias.

¿Por qué un test preciso puede dar muchos falsos positivos?

Si la condición es rara, los pocos verdaderos positivos se ahogan entre los falsos. Con prevalencia del 1%, sensibilidad del 99% y especificidad del 95%: de 10 000 personas hay 99 verdaderos positivos frente a unos 495 falsos, así que PPV ≈ 17%. Es la falacia de la tasa base, el error más común al interpretar tests.

¿Qué son el VPP y el VPN?

El valor predictivo positivo (VPP) es la probabilidad de tener realmente la condición dado un test positivo; el negativo (VPN), de no tenerla dado un test negativo. A diferencia de sensibilidad y especificidad, dependen de la prevalencia: el mismo test tiene VPP muy distintos en cribado masivo y en planta hospitalaria.

¿Qué es el cociente de verosimilitud (likelihood ratio)?

LR+ = sensibilidad/(1−especificidad) indica cuántas veces es más probable un resultado positivo en los enfermos que en los sanos. Las odds post-test se obtienen multiplicando las odds pre-test por el LR. Un LR ≥ 10 desplaza mucho el diagnóstico; entre 0,5 y 2 el test es casi inútil. La calculadora da LR+ y LR−.

¿Qué diferencia hay entre probabilidad y odds?

Las odds son p/(1−p): una probabilidad del 75% equivale a odds de 3:1. La forma en odds del teorema de Bayes es la más cómoda para cálculos rápidos: se multiplican las odds a priori por el cociente de verosimilitud y se reconvierte con p = odds/(1+odds), tal como hace el modo odds de la calculadora.

¿Cómo elijo la probabilidad a priori?

En medicina, el prior es la prevalencia de la condición en la población del paciente, obtenida de datos epidemiológicos o registros. En contextos generales se usan frecuencias históricas o estimaciones que se van actualizando. El posterior de hoy se convierte en el prior de mañana según llegan nuevas evidencias.

¿Dónde se usa Bayes más allá de la medicina?

En los filtros antispam, en la búsqueda de restos en el mar (la recuperación del vuelo Air France 447 en 2011 siguió un mapa de probabilidad bayesiano), en los sistemas de recomendación, en el aprendizaje automático con el clasificador naive Bayes y en los tribunales para ponderar evidencias forenses como el ADN.

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