L'equazione delle onde

Ogni onda periodica è caratterizzata da tre grandezze interconnesse: la velocità di propagazione v (m/s), la lunghezza d'onda λ (m, distanza fra due punti in fase consecutivi) e la frequenza f (Hz, numero di oscillazioni al secondo). La relazione fondamentale è v = λ · f, valida per qualsiasi tipo di onda: meccanica, acustica, elettromagnetica, sismica. Il periodo T = 1/f rappresenta il tempo di un'oscillazione completa. Note anche due di queste grandezze, il calcolatore ricava la terza e il periodo.

Velocità del suono nell'aria

La velocità del suono in aria dipende principalmente dalla temperatura. A 0 °C in aria secca a pressione standard vale v₀ ≈ 331,3 m/s. L'approssimazione v(T_C) ≈ 331,3 · √(1 + T_C/273,15) (con T_C in °C) fornisce valori in buon accordo con misure reali: a 20 °C v ≈ 343,2 m/s; a 25 °C ≈ 346,1; a 0 °C 331,3; a −40 °C ≈ 306,3 m/s. La dipendenza da umidità è secondaria (+1-2% ad alta umidità). La velocità del suono è molto inferiore a quella della luce, da cui la discrepanza fra tuono e lampo: 3 secondi di ritardo ≈ 1 km.

Onde su una corda tesa

Una corda tesa (es. corde di chitarra, pianoforte, violino, fili telefonici) trasporta onde trasversali a velocità v = √(T/μ), dove T è la tensione (N) e μ la densità lineare (kg/m). Corde più tese = onde più veloci; corde più pesanti = onde più lente. La frequenza di risonanza di una corda fissa alle estremità è f_n = (n · v)/(2L) (L lunghezza), con n = 1 modo fondamentale. Esempio: corda di chitarra a 100 N di tensione e 1 g/m di densità lineare: v = √(100/0,001) = 316 m/s. Su una lunghezza di 65 cm: f₁ = 316/1,3 ≈ 243 Hz (nota Si₃).

Luce e onde elettromagnetiche

Nel vuoto le onde elettromagnetiche viaggiano alla velocità della luce c = 299 792 458 m/s (esattamente per definizione, dalla revisione SI del 2019). In un mezzo con indice di rifrazione n, la velocità è v = c/n. Esempi: vuoto n = 1, v = c; aria ≈ 1,0003 (quasi c); acqua n = 1,33 → v ≈ 225 000 km/s; vetro n = 1,5 → v ≈ 200 000 km/s; diamante n = 2,42 → v ≈ 124 000 km/s. La frequenza di un'onda EM non cambia al passaggio fra mezzi; cambia invece la lunghezza d'onda: λ_mezzo = λ_vuoto / n. Lo spettro EM include, per λ crescente: raggi gamma (<10⁻¹² m), raggi X, UV, visibile (380-780 nm), IR, microonde, radio.

Onde sonore: esempi

Frequenze udibili dall'uomo: 20 Hz − 20 kHz (in pratica 50 Hz − 15 kHz negli adulti). Il La centrale di accordatura (A4) è a 440 Hz; una semitono superiore (A#4) a 466,16 Hz; un'ottava sopra (A5) a 880 Hz (rapporto esattamente 2:1). Lunghezza d'onda in aria a 20°C: 20 Hz → 17,16 m; 1 kHz → 34,3 cm; 20 kHz → 17 mm. Pipistrelli emettono ultrasuoni fino a 200 kHz (λ ~1,7 mm, utili per sonar di precisione). Infrasuoni (<20 Hz) sono prodotti da terremoti, tempeste, elefanti (comunicazione a lunga distanza).

Applicazioni

Musica e acustica: accordatura strumenti (calcolo tensione/lunghezza corde), progettazione sale concerti (tempo di riverbero, assorbimento), altoparlanti. Telecomunicazioni: antenne dimensionate a λ/2 o λ/4, bande radio, WiFi (2,4 GHz → λ ≈ 12,5 cm), 5G. Medicina: ecografia (1-20 MHz in tessuti biologici, v ≈ 1540 m/s), risonanza magnetica (frequenze radio). Sonar e radar: localizzazione oggetti in acqua (v ≈ 1500 m/s) o aria, radar meteorologici, rilevatori di velocità. Sismologia: onde P (longitudinali, v ≈ 5-8 km/s) e S (trasversali, v ≈ 3-5 km/s) per mappare l'interno terrestre. Ottica: spettroscopia, fibre ottiche (λ 1310/1550 nm in silice).

Relazioni energetiche

Per un'onda meccanica, l'intensità (potenza per area) è I = ½·ρ·v·(ω·A)² con ρ densità, ω = 2πf pulsazione, A ampiezza. Per EM: I = E²/(2·Z), con Z = √(μ₀/ε₀) ≈ 377 Ω impedenza del vuoto. L'energia di un fotone è E = h·f = hc/λ, con h = 6,626·10⁻³⁴ J·s costante di Planck. Un fotone verde (λ = 550 nm) ha E ≈ 2,25 eV ≈ 3,6·10⁻¹⁹ J. Ragione per cui UV (λ ~200 nm) ionizza mentre visibile e IR no.

Come usare il calcolatore

Quattro modalità: equazione base (inserisci due fra v, λ, f, T → calcola gli altri); onda su corda (tensione T, densità lineare μ → v); velocità del suono in aria (temperatura °C → v); luce in un mezzo (indice n → v, λ se dato λ_vuoto). Unità SI. Per onde EM inserire frequenza in Hz (es. 5 GHz = 5e9). Il calcolatore converte automaticamente fra m, cm, mm, km.

Dall'equazione di d'Alembert alla musica

L'equazione delle onde fu ricavata da Jean le Rond d'Alembert nel 1747 proprio studiando la corda vibrante, ed è la prima equazione alle derivate parziali della storia della fisica. La relazione v = λ·f che il calcolatore implementa ne è la conseguenza cinematica per onde armoniche. Sulla stessa matematica si fondano l'acustica delle sale da concerto, il progetto degli strumenti musicali e l'analisi delle vibrazioni meccaniche studiata nei corsi di ingegneria dei Politecnici italiani.

Aggiornato a luglio 2026