La distribuzione t di Student

La distribuzione t di Student, introdotta da William Sealy Gosset nel 1908 sotto lo pseudonimo 'Student' (Gosset lavorava alla birreria Guinness e non poteva pubblicare sotto il proprio nome per ragioni contrattuali), e' una delle distribuzioni più' usate in statistica inferenziale. Appare quando si stima la media di una popolazione gaussiana con varianza sconosciuta, usando la varianza campionaria al posto di quella vera.

Definizione formale

Se Z ~ N(0, 1) e' una variabile gaussiana standard e V ~ chi^2(k) e' chi-quadrato con k gradi di libertà', indipendente da Z, allora:

T = Z / sqrt(V/k) ~ t(k)

La densità' e':

f(t) = Gamma((k+1)/2) / (sqrt(k*pi) * Gamma(k/2)) * (1 + t^2/k)^(-(k+1)/2)

Simmetrica attorno a 0, con code più' pesanti della gaussiana (maggiore probabilità' di valori estremi per k piccolo).

Proprietà' fondamentali

• Media = 0 (per k > 1), non definita per k = 1 (Cauchy).
• Varianza = k/(k-2) per k > 2, infinita per 1 < k <= 2.
• Asimmetria = 0 (distribuzione simmetrica).
• Curtosi in eccesso = 6/(k-4) per k > 4.
• Mediana e moda = 0.
• Convergenza: t(k) -> N(0, 1) per k -> infinito.

Valori critici notevoli

I valori t_alpha(k) tali che P(T > t_alpha) = alpha:

• t_0.975(1) = 12.706 (code estremamente pesanti)
• t_0.975(5) = 2.571
• t_0.975(10) = 2.228
• t_0.975(20) = 2.086
• t_0.975(30) = 2.042
• t_0.975(100) = 1.984
• t_0.975(inf) = 1.960 (= quantile normale)

Già' a k=30 la differenza dalla normale e' piccola (circa 4%). A k=100 la convergenza e' quasi completa.

Il t-test di Student

Il test più' famoso che usa questa distribuzione. Dato un campione X_1, ..., X_n da N(mu, sigma^2) con sigma ignoto, per testare H_0: mu = mu_0 vs H_1: mu != mu_0:

t = (x_bar - mu_0) / (s / sqrt(n))

dove x_bar e' media campionaria, s^2 e' varianza campionaria corretta (divisore n-1). Sotto H_0, t ~ t(n-1). Si rifiuta H_0 se |t| > t_{1-alpha/2}(n-1). p-value = 2 * (1 - CDF(|t|, n-1)) per test a due code.

Intervallo di confidenza per la media

Usando la stessa statistica t, l'intervallo al (1-alpha)100% per mu e':

x_bar +/- t_{1-alpha/2}(n-1) * s/sqrt(n)

Esempio: n=20, x_bar=10.5, s=2.0, alpha=0.05. t_0.975(19) = 2.093. Margine = 2.093 * 2.0/sqrt(20) = 0.936. IC 95%: [9.564, 11.436]. Quantile t, non normale, tiene conto dell'incertezza nella stima di sigma.

Le cinque modalita'

1. Densità' PDF f(t): calcolo per t e df dati.
2. CDF P(T <= t): funzione di distribuzione cumulativa.
3. Valore critico: t_alpha per confidenza assegnata (una/due code).
4. t-test: test una o due code con statistica e p-value.
5. Intervallo di confidenza: IC per media campionaria.

Perché' 'Student'?

William Sealy Gosset (1876-1937) lavorava come statistico alla birreria Guinness di Dublino, studiando controlli di qualità' di orzo e birra. La Guinness vietava ai dipendenti di pubblicare articoli scientifici per proteggere segreti industriali. Gosset pubblico' il suo lavoro del 1908 sulla rivista Biometrika sotto pseudonimo 'Student'. Ironia: Gosset non era uno studente, ma un maturo ricercatore di 32 anni con PhD in chimica. La distribuzione porta ancora oggi il pseudonimo.

Applicazioni

• t-test di ipotesi: confronto medie di uno/due campioni (test più' comune in statistica applicata).
• Regressione lineare: test di significativita' dei coefficienti tramite t = beta_hat / SE(beta_hat).
• Intervalli di confidenza: per medie, differenze di medie, pendenze di regressione.
• Analisi della varianza (ANOVA): T^2 = F con 1 gradodi libertà' al numeratore.
• Controllo di qualità': carte di controllo CUSUM e Shewhart con regole basate su t.
• Meta-analisi: combinazione di risultati di studi con diversi n usando t-statistiche.

William Gosset e la statistica dei piccoli campioni

La distribuzione t nacque da un problema pratico di controllo qualità. William Sealy Gosset lavorava come chimico e statistico nel birrificio Guinness di Dublino all'inizio del Novecento, dove doveva trarre conclusioni affidabili da piccoli campioni di malto, luppolo e lievito. La statistica dell'epoca funzionava solo con grandi campioni, usando la distribuzione normale; Gosset dovette svilupparne una nuova, valida quando la deviazione standard della popolazione è ignota e stimata da pochi dati. La Guinness proibiva ai dipendenti di pubblicare per timore di rivelare segreti industriali, così Gosset pubblicò il suo lavoro nel 1908 sotto lo pseudonimo "Student". La sua distribuzione rivoluzionò la statistica applicata, rendendo possibile l'inferenza rigorosa da campioni ridotti, fondamentale in agricoltura, medicina e in ogni esperimento scientifico con dati limitati.

La distribuzione t e la distribuzione normale

La distribuzione t di Student è strettamente imparentata con la distribuzione normale, ma se ne discosta in un modo cruciale. Ha la stessa forma a campana simmetrica centrata in zero, ma code più spesse: valori estremi sono più probabili. Questo riflette l'incertezza aggiuntiva che deriva dallo stimare la deviazione standard da un campione anziché conoscerla esattamente. Al crescere dei gradi di libertà, cioè della dimensione del campione, la distribuzione t si avvicina sempre più alla normale, fino a coincidere praticamente con essa per campioni grandi (oltre 30 osservazioni). In pratica, si usa la distribuzione t quando la varianza della popolazione è ignota e il campione è piccolo, e la normale quando la varianza è nota o il campione molto grande. Questa distinzione è alla base della scelta fra il test t e il test z nell'inferenza statistica.

Aggiornato a luglio 2026