Metodo della secante

Il metodo della secante e un algoritmo iterativo per trovare radici di equazioni f(x) = 0. A differenza di Newton, non richiede la derivata: approssima f'(x_n) usando la pendenza della secante tra (x_{n-1}, f(x_{n-1})) e (x_n, f(x_n)). Formula: x_{n+1} = x_n - f(x_n) (x_n - x_{n-1}) / (f(x_n) - f(x_{n-1})).

Idea geometrica

Dati due punti iniziali x_0, x_1, si traccia la retta secante che passa per (x_0, f(x_0)) e (x_1, f(x_1)). L intersezione con l asse x e il prossimo iterato x_2. Si ripete con x_1, x_2 per ottenere x_3, e così via. La secante converge alla radice avvicinandosi sempre più alla tangente.

Convergenza superlineare

Il metodo ha ordine di convergenza phi = (1 + sqrt(5))/2 ~ 1.618 (rapporto aureo). Errore: |e_{n+1}| ~ C |e_n|^phi. Convergenza più lenta di Newton (ordine 2) ma più veloce di bisezione (ordine 1). La sequenza degli errori segue Fibonacci: ogni errore e prodotto del precedente per il logaritmo del precedente.

Formula iterativa

x_{n+1} = x_n - f(x_n) * (x_n - x_{n-1}) / (f(x_n) - f(x_{n-1})). Si può riscrivere come: x_{n+1} = (x_{n-1} f(x_n) - x_n f(x_{n-1})) / (f(x_n) - f(x_{n-1})), forma più numericamente stabile per evitare cancellazione.

Vantaggi rispetto a Newton

• Non richiede f'(x): utile quando la derivata e costosa o non analitica.
• Costo per iterazione: 1 valutazione di f (Newton ne richiede 2: f e f').
• Efficienza pratica: phi ~ 1.618 per iterazione, ma 2 iterazioni di secante = 1 di Newton in costo. Efficienza per costo: phi^2 ~ 2.618 vs 2.0 di Newton -> SECANTE Più EFFICIENTE quando f' e costosa.
• Implementazione più semplice (non serve calcolare derivata).

Svantaggi

• Convergenza non garantita: se gli iterati saltano lontano, divergenza.
• Cancellazione numerica: f(x_n) - f(x_{n-1}) può essere piccolo vicino a radice.
• Richiede DUE punti iniziali (non uno come Newton).
• Non converge sempre se i due punti iniziali sono dello stesso lato della radice (può divergere o saltare a un altra radice).

Confronto numerico Newton vs secante

Per f(x) = x^2 - 2 (sqrt(2) ~ 1.41421356) con x0=1, x1=2:

• Iter 2: x_2 = 1.4 (errore 1.4e-2)
• Iter 3: x_3 = 1.41429... (errore 7.7e-5)
• Iter 4: x_4 = 1.41421... (errore 4.3e-7)
• Iter 5: x_5 = 1.4142135623... (errore 1.5e-11)
• Iter 6: x_6 ~ machine epsilon (16 cifre)

Newton dalla stessa partenza converge in 4 iterazioni con doppia velocità ma costo doppio per iter (richiede derivata).

Quando usare la secante

• Derivata analitica non disponibile o costosa.
• Funzioni black-box (f restituita da chiamate API o simulazioni).
• Implementazioni hardware con costo derivata elevato.
• Compromesso semplice tra robustezza e velocità.
• Combinato con bisezione (Brent) per garantire convergenza.

Storia

Il metodo della secante e antico: già presente in tavole babilonesi per estrazione di radici. Fibonacci (1202) lo utilizza in Liber Abaci per radici approssimate. Newton-Raphson (1690) lo affianca con f'(x). Vincent (1818) e Cauchy (1829) studiano la convergenza. Si dimostra in modo rigoroso che ordine = phi nel XX secolo (Ostrowski 1973).

Variante: regula falsi

Se i due punti iniziali sono di segno opposto, la regula falsi (false position) garantisce un cambio di segno mantenuto: x_{n+1} = (x_n f(x_{n-1}) - x_{n-1} f(x_n)) / (f(x_{n-1}) - f(x_n)). Convergenza solo lineare ma robusta. Variante Illinois e Anderson-Bjorck migliorano l ordine a circa 1.618 mantenendo robustezza.

Modalita del calcolatore

Sei funzioni di test: cubica, quadratica (sqrt(2)), trigonometrica, esponenziale, logaritmica, e quintica senza formula chiusa. Inserisci x0, x1, tolleranza e iter massime. Output: radice, iterazioni, storia di convergenza, stima empirica dell ordine (atteso phi ~ 1.618), confronto con Newton.

Perche l'ordine di convergenza e la sezione aurea

La caratteristica piu elegante del metodo della secante e che il suo ordine di convergenza vale esattamente il rapporto aureo phi = (1+radice5)/2 ~ 1,618. La dimostrazione parte dalla relazione dell'errore: vicino a una radice semplice, l'errore al passo successivo e proporzionale al prodotto dei due errori precedenti, e_{n+1} ~ (f''/2f') e_n e_{n-1}. Cercando una legge del tipo e_{n+1} ~ C e_n^p, sostituendo si ottiene l'equazione p^2 = p + 1, la cui radice positiva e proprio phi.

Questo colloca la secante fra la bisezione (ordine 1, lineare) e Newton (ordine 2, quadratico): ogni iterazione moltiplica il numero di cifre corrette per circa 1,618. Poiche la secante usa una sola valutazione di funzione per passo mentre Newton ne richiede due (funzione e derivata), la sua efficienza per costo computazionale, misurata come ordine elevato a 1/numero-valutazioni, e phi ~ 1,618 contro radice2 ~ 1,414 di Newton: la secante e spesso piu efficiente quando la derivata e costosa da calcolare.

Regula falsi migliorata: Illinois, Pegasus e Brent

La regula falsi classica mantiene sempre la radice racchiusa fra due punti di segno opposto, garantendo la convergenza, ma soffre di un difetto: spesso uno dei due estremi resta bloccato, rallentando la convergenza a lineare. Le varianti Illinois, Pegasus e Anderson-Bjorck correggono questo comportamento dimezzando o riscalando il valore della funzione all'estremo stagnante, ripristinando la rapidita superlineare senza perdere la garanzia di racchiudere la radice.

Il culmine di questa famiglia e il metodo di Brent, considerato lo standard aureo per la ricerca di radici in una dimensione: combina la sicurezza della bisezione con la velocita dell'interpolazione secante e quadratica inversa, scegliendo a ogni passo il metodo piu promettente in modo sicuro. E l'algoritmo alla base delle funzioni di root-finding di gran parte delle librerie scientifiche, perche unisce la robustezza globale garantita con la convergenza rapida tipica dei metodi aperti.

Aggiornato a luglio 2026