Il pendolo semplice: T = 2π·√(L/g)

Il pendolo semplice è uno dei sistemi fisici più studiati della meccanica classica: una massa puntiforme sospesa a un filo inestensibile di lunghezza L, oscillante sotto gravità g attorno alla posizione di equilibrio. Per piccole oscillazioni, il periodo T (il tempo per una oscillazione completa) è dato dalla celebre formula di Huygens: T = 2π·√(L/g). Questo calcolatore risolve T da L e g, ricava L da T e g, oppure determina g dal periodo misurato (un metodo classico di misura di g in laboratorio).

Le formule fondamentali

• T = 2π·√(L/g) — periodo da lunghezza e gravità
• L = g·(T/(2π))² — lunghezza da periodo e gravità
• g = L·(2π/T)² — gravità da periodo e lunghezza
• f = 1/T — frequenza (Hz)
• ω = 2π/T = √(g/L) — pulsazione (rad/s)

Osserva: il periodo NON dipende dalla massa del pendolo né dall'ampiezza di oscillazione (per piccoli angoli). Questo è l'isocronismo scoperto da Galileo osservando il lampadario del Duomo di Pisa (c. 1583).

Derivazione fisica

Per una massa m sospesa a un filo di lunghezza L, la componente tangenziale della forza gravitazionale è F = -m·g·sin(θ), con θ l'angolo dalla verticale. Per piccoli angoli sin(θ) ≈ θ (in radianti), quindi:

m·L·d²θ/dt² = -m·g·θ → d²θ/dt² = -(g/L)·θ

Equazione del moto armonico semplice con pulsazione ω² = g/L. Il periodo è T = 2π/ω = 2π·√(L/g).

Il pendolo secondario (orologio a pendolo)

Un pendolo con periodo T = 2 s (ossia 1 s per oscillazione semplice) è detto pendolo secondario e fu storicamente usato negli orologi a pendolo. Risolvendo L:

L = g·(2/(2π))² = g/π² ≈ 0,9939 m (a Parigi, g=9,81 m/s²)

La leggera variazione di g con la latitudine (9,78 all'equatore, 9,83 ai poli) rende questa misura un metodo classico per determinare la gravità locale. Gli orologi a pendolo venivano tarati spostandoli: un orologio Parigi → Madrid rallenta perché g diminuisce verso sud.

Esempi pratici numerici

Esempio 1: altalena da bambini

Un'altalena lunga 3 m, a Terra:

• T = 2π·√(3/9,81) = 2π·√0,3058 = 2π·0,5530 = 3,48 s
• Frequenza f = 1/3,48 ≈ 0,287 Hz

Esempio 2: pendolo da 1 metro

• T = 2π·√(1/9,81) = 2,006 s
• Quasi pendolo secondario, ma non esattamente 2 s

Esempio 3: pendolo di Foucault (Panthéon, Parigi)

Lunghezza 67 m, massa 28 kg:

• T = 2π·√(67/9,81) = 2π·2,613 = 16,42 s
• Praticamente 1 oscillazione ogni 16 s, con deflessione osservabile per la rotazione terrestre

Esempio 4: misura di g in laboratorio

Pendolo L = 1 m, misuri T = 2,006 s (media su 100 oscillazioni):

• g = L·(2π/T)² = 1·(2π/2,006)² = 9,808 m/s²
• Precisione tipica ±0,5% con buona misura del tempo
• Metodo usato in geodetica: misure di g variano con la latitudine e altitudine

Correzione per grandi ampiezze

La formula T = 2π·√(L/g) vale solo per piccole oscillazioni (ampiezza θ₀ < 15°). Per ampiezze più grandi, il periodo vero è:

T = T₀·[1 + (1/4)·sin²(θ₀/2) + (9/64)·sin⁴(θ₀/2) + ...]

Per ampiezze oltre 30° l'errore del modello isocrono è osservabile. Il pendolo è meno "isocrono" di quanto Galileo pensasse.

Il pendolo fisico (reale)

Un pendolo reale (una sbarra, un disco, un oggetto rigido) non è un pendolo semplice. La formula diventa:

T = 2π·√(I/(m·g·d))

Dove I è il momento d'inerzia attorno al punto di sospensione e d la distanza dal pivot al centro di massa. Questa forma generalizza il pendolo semplice (dove I = m·L² e d = L, ritrovando T = 2π·√(L/g)).

Esempio: sbarra uniforme

Sbarra di lunghezza L, sospesa a un estremo:

• I = (1/3)·m·L² (momento d'inerzia)
• d = L/2 (centro di massa al centro)
• T = 2π·√((1/3)·m·L² / (m·g·L/2)) = 2π·√(2L/(3g))
• Stessa formula di un pendolo semplice di lunghezza L' = 2L/3

Il pendolo di Foucault

Nel 1851, il fisico francese Léon Foucault sospese un pendolo di 67 m nel Panthéon di Parigi (massa 28 kg di ottone) per dimostrare la rotazione della Terra. Il piano di oscillazione del pendolo ruota lentamente (in senso orario nell'emisfero nord) perché la Terra ruota sotto di esso.

La velocità angolare di rotazione del piano di oscillazione è:

ω_Foucault = ω_Terra·sin(φ)

con φ la latitudine. A Parigi (φ ≈ 48,86°N), il piano compie una rotazione completa in circa 31 ore e 50 minuti. Al polo Nord sarebbe 24 ore esatte; all'equatore il pendolo non ruota.

Applicazioni pratiche

Orologi meccanici

• Orologi a pendolo (Huygens 1656): precisione primi 10 s/giorno
• Orologi moderni a quarzo usano oscillatori al posto dei pendoli
• Orologi atomici (Cs): 1 oscillazione = 9.192.631.770 periodi dell'atomo di cesio

Misura della gravità

• Gravimetri a pendolo: storicamente usati in geodesia
• Variazioni di g rivelano depositi sotterranei (minerali, petrolio)
• Oggi sostituiti da gravimetri a molla o a caduta libera (più precisi)

Strumenti musicali

• Metronomi a pendolo: marcano il tempo
• Lunghezza del pendolo regola BPM: BPM = 60·√(g/L)/π

Fisica dell'insegnamento

• Esperimento classico di laboratorio scolastico
• Introduce moto armonico, piccole oscillazioni, approssimazioni
• Metodo per misurare g indipendente dalla massa

Ingegneria civile

• Smorzatori a pendolo nei grattacieli (es. Taipei 101: pendolo 660 tonnellate contro il vento)
• Antisismico: pendoli invertiti per ridurre vibrazioni

Gravità su altri pianeti

Il periodo di un pendolo di 1 m cambia drasticamente nel Sistema Solare:

Un pendolo sulla Luna batte molto più lentamente: lo videro gli astronauti delle missioni Apollo nei loro esperimenti di caduta (cappotto e piuma: cadono uguale in assenza d'aria).

Energia del pendolo

Durante l'oscillazione, l'energia meccanica si trasforma da potenziale a cinetica e viceversa:

• Al punto di massima ampiezza (alto): tutto PE, niente KE. PE = m·g·h = m·g·L·(1-cos(θ₀))
• Nel punto più basso: tutta KE, niente PE. KE = ½·m·v²_max
• Per piccoli angoli: v_max ≈ L·ω·θ₀ = θ₀·√(g·L)

Senza attrito, il pendolo oscilla per sempre con energia totale costante. In pratica, resistenza dell'aria e attriti al perno dissipano energia: l'ampiezza decresce esponenzialmente fino a fermarsi.

Fattori che influenzano il periodo reale

• Ampiezza (correzione non-isocrona per θ > 15°)
• Temperatura: dilatazione termica del filo cambia L
• Pressione atmosferica: effetto di galleggiamento e di resistenza dell'aria
• Latitudine: g varia fra 9,78 (equatore) e 9,83 (poli)
• Altitudine: g diminuisce di ~3 μm/s² per metro
• Massa del filo: se non trascurabile, considera pendolo fisico
• Perno: attrito introduce smorzamento e lieve ritardo

Storia del pendolo

Galileo Galilei (1583, Pisa): osserva il lampadario del Duomo e scopre l'isocronismo per piccole ampiezze.

Christian Huygens (1656, Olanda): costruisce il primo orologio a pendolo; formula T = 2π·√(L/g). Pubblica Horologium Oscillatorium (1673).

Isaac Newton (1687, Principia): usa il pendolo per verificare l'uguaglianza di massa inerziale e gravitazionale.

Léon Foucault (1851, Parigi): dimostra la rotazione terrestre con il pendolo di Foucault. Installa anche il primo giroscopio.

Gravimetri a pendolo (XIX-XX sec.): misure geodetiche di precisione; oggi sostituiti da altri metodi.

FAQ

Qual è la formula del periodo del pendolo?

T = 2π·√(L/g), dove L è la lunghezza del filo (m) e g l'accelerazione di gravità (m/s²). Il risultato è in secondi. Valida solo per piccole oscillazioni (ampiezza < 15°).

Il periodo dipende dalla massa del pendolo?

No. È l'isocronismo di Galileo: il periodo dipende solo da L e g, non dalla massa. Questo è vero per pendoli semplici (massa puntiforme, filo senza massa) e per piccole oscillazioni.

Perché la formula richiede piccole oscillazioni?

Perché si usa l'approssimazione sin(θ) ≈ θ nell'equazione del moto. Per θ > 15° l'approssimazione fallisce e il periodo dipende dall'ampiezza (non-isocronismo).

Quanto è lungo un pendolo con periodo 1 secondo?

Per T = 1 s e g = 9,81: L = g·(T/(2π))² = 9,81·(1/(2π))² = 9,81/39,478 = 0,248 m. Per T = 2 s (pendolo secondario): L = 0,994 m.

Come si misura g con un pendolo?

Misuri il periodo T di un pendolo di lunghezza nota L (meglio mediare su N oscillazioni per ridurre errori). Poi g = L·(2π/T)². Precisione ±0,5% con misura accurata del tempo. Metodo classico in laboratorio scolastico.

Qual è la differenza tra pendolo semplice e fisico?

Il pendolo semplice ha massa puntiforme e filo senza massa: T = 2π·√(L/g). Il pendolo fisico è un oggetto rigido con massa distribuita: T = 2π·√(I/(m·g·d)), dove I è il momento d'inerzia e d la distanza dal pivot al centro di massa.

Perché il pendolo di Foucault ruota?

Non è il pendolo a ruotare: è la Terra che ruota sotto di esso. Il piano di oscillazione è fisso rispetto alle stelle (approssimativamente), mentre la Terra ruota. A latitudine φ il piano sembra ruotare con velocità ω_Terra·sin(φ): a Parigi, una rotazione completa in ~32 ore.

Aggiornato a luglio 2026