Metodo di Newton-Raphson

Il metodo di Newton (o Newton-Raphson) e un algoritmo iterativo per trovare radici reali di equazioni f(x) = 0. La formula di iterazione e x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n). E uno degli algoritmi più importanti dell analisi numerica.

Idea geometrica

Data una stima iniziale x_n, si traccia la tangente al grafico di f nel punto (x_n, f(x_n)). L intersezione di questa tangente con l asse x da il prossimo iterato x_{n+1}. Se f e lineare, una iterazione basta. Se f e quadratica vicino alla radice, l errore quadrupla a ogni passo (convergenza quadratica).

Formula di iterazione

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n). Richiede: (1) la derivata f'(x), (2) f'(x*) != 0 alla radice (radice semplice). Se f'(x*) = 0 (radice multipla), la convergenza e solo lineare.

Convergenza quadratica

Se x* e radice semplice di f e f'' continua, esiste un intorno di x* dove Newton converge quadraticamente: |x_{n+1} - x*| 8 -> 16 -> ...

Esempio: calcolo di sqrt(a)

Per f(x) = x^2 - a si ottiene x_{n+1} = (x_n + a/x_n) / 2 (formula di Erone, 100 d.C.). Calcolo di sqrt(2) partendo da x0 = 1.5: 1.5 -> 1.41666... -> 1.41421568... -> 1.41421356237468... (4 iterazioni, 16 cifre esatte).

Casi di fallimento

• Derivata nulla: se f'(x_n) = 0, la formula esplode. Newton si blocca o diverge.
• Punto iniziale lontano: per f con più radici, Newton può saltare a una radice diversa o divergere.
• Funzioni con cuspidi o discontinuita: convergenza non garantita.
• Cicli: x0 può cadere in un ciclo (es. x_{n+1} = -x_n).
• Bacino caotico: per polinomi complessi (frattali di Newton).

Confronto con altri metodi

• Bisezione: convergenza lineare, ma sempre garantita se f cambia segno.
• Secante: ordine convergenza phi ~ 1.618 (Fibonacci), non richiede derivata.
• Regula falsi: convergenza ibrida, robusta come bisezione.
• Halley: ordine 3 (cubica), richiede anche f''(x).
• Brent: combinazione adattiva di bisezione + interpolazione.

Newton in dimensioni superiori

Per sistemi non lineari F(x) = 0 con F: R^n -> R^n: x_{n+1} = x_n - J(x_n)^(-1) F(x_n) dove J e la matrice Jacobiana. Convergenza quadratica se Jacobiana invertibile alla soluzione. Usato in ottimizzazione (gradiente discendente con Hessiana = Newton-Raphson sull equazione gradiente = 0).

Frattali di Newton

Per polinomi complessi p(z) = 0, il bacino di attrazione di ciascuna radice nel piano complesso forma un frattale. Esempio classico: z^3 - 1 = 0 ha tre radici cubiche dell unita; il bacino e un frattale di Newton con simmetria triplica. Bordi di bacino sono insiemi di Julia.

Storia

Isaac Newton sviluppa il metodo nel 1669 (De analysi per aequationes numero terminorum infinitas) per polinomi. Joseph Raphson lo ridefinisce in forma generale nel 1690 (Analysis aequationum universalis). Thomas Simpson generalizza a sistemi non lineari nel 1740. Vincent (1818) e Cauchy (1829) ne studiano la convergenza in modo rigoroso.

Modalita del calcolatore

Sei funzioni di test predefinite: cubica x^3-x-2, quadratica x^2-2 (sqrt(2)), trigonometrica cos(x)-x, esponenziale e^x-3, logaritmica x ln(x)-1, e radice quadrata generica x^2-a. Inserisci x0, tolleranza e iter massime; il calcolatore mostra storia di convergenza, ordine effettivo e f'(radice) per diagnosticare convergenza lineare vs quadratica.

Il bacino di convergenza e la scelta di x0

La convergenza quadratica del metodo di Newton e una proprieta locale: vale solo se il punto iniziale x0 e abbastanza vicino a una radice semplice. L'insieme dei punti di partenza che convergono a una data radice si chiama bacino di attrazione, e per funzioni con piu radici questi bacini possono avere confini estremamente complessi, i celebri frattali di Newton. Una scelta infelice di x0 puo portare a convergere verso una radice diversa da quella desiderata, oppure a divergere o entrare in un ciclo.

Il teorema di Newton-Kantorovich fornisce condizioni sufficienti rigorose per garantire la convergenza: se in un intorno di x0 la funzione ha derivata seconda limitata, la derivata prima non si annulla e il primo passo e sufficientemente piccolo, allora l'iterazione converge a una radice e l'errore decresce quadraticamente. In pratica si combina spesso una fase iniziale robusta (per esempio la bisezione) per avvicinarsi alla radice, seguita da Newton per rifinire rapidamente il risultato.

Varianti robuste: Newton smorzato, ibrido e Halley

Per superare i limiti del metodo puro esistono numerose varianti. Il Newton smorzato introduce un fattore di passo lambda in (0,1], x_{n+1} = x_n - lambda f/f', ridotto finche il valore assoluto della funzione diminuisce: questo globalizza il metodo evitando divergenze quando x0 e lontano dalla radice. I metodi ibridi, come l'algoritmo di Brent, alternano Newton o la secante con la bisezione, garantendo sia la robustezza globale sia la rapidita locale.

Quando serve convergenza ancora piu rapida, il metodo di Halley usa anche la derivata seconda, x_{n+1} = x_n - 2 f f' / (2 f'^2 - f f''), raggiungendo convergenza cubica (l'errore va come il cubo del precedente). In dimensioni superiori Newton diventa il metodo di Newton-Raphson vettoriale, dove al posto della divisione per la derivata si risolve un sistema lineare con la matrice Jacobiana, alla base di gran parte dell'ottimizzazione numerica moderna.

Aggiornato a luglio 2026