Il teorema del coseno

Il teorema del coseno (o legge dei coseni) è la generalizzazione del teorema di Pitagora a triangoli qualsiasi, non solo rettangoli. In un triangolo con lati a, b, c e angoli A, B, C opposti ai rispettivi lati, vale l'identità:

c² = a² + b² − 2·a·b·cos(C)

e analogamente per gli altri due lati: a² = b² + c² − 2bc·cos(A), b² = a² + c² − 2ac·cos(B). Quando C = 90°, cos(C) = 0 e la formula si riduce al famoso teorema di Pitagora. Era già noto agli antichi greci (Euclide, Elementi II.12-13 e I.47) ma in forma geometrica; la forma algebrica moderna fu formalizzata da François Viète nel XVI secolo.

Le quattro modalità del calcolatore

1. SSS → angoli: dati i tre lati, ricava i tre angoli con cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) e analoghe per B, C. Verifica la disuguaglianza triangolare prima di calcolare.
2. SAS → terzo lato: dati due lati e l'angolo compreso, calcola il lato opposto. Applicazione pratica tipica: resta un terzo lato da conoscere e abbiamo angolo e adiacenti.
3. Classificazione: determina se il triangolo è acutangolo, rettangolo o ottusangolo confrontando il quadrato del lato maggiore con la somma dei quadrati degli altri due. È il criterio di Pitagora generalizzato.
4. Verifica Pitagora: specifico test sull'identità c² = a² + b². Utile per decidere numericamente se un triangolo dato è rettangolo o no.

Perché è la generalizzazione di Pitagora

Il teorema del coseno rivela che Pitagora è un caso particolare della trigonometria triangolare:

• Se C = 90° (triangolo rettangolo): cos(90°) = 0, quindi c² = a² + b². Questo è Pitagora classico: il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti.
• Se C < 90° (acutangolo): cos(C) > 0, quindi 2ab·cos(C) > 0 e c² < a² + b². Il lato opposto a un angolo acuto è più corto di quanto predirrebbe Pitagora.
• Se C > 90° (ottusangolo): cos(C) 0 e c² > a² + b². Il lato opposto a un angolo ottuso è più lungo.

Il termine correttivo −2ab·cos(C) quantifica esattamente lo scostamento da Pitagora, con segno che dipende dall'ampiezza dell'angolo.

Dimostrazione

La dimostrazione più elegante usa il prodotto scalare di vettori. Consideriamo il triangolo con vertici in O (origine), A e B, con OA di lunghezza a e OB di lunghezza b, e angolo AOB = γ. Il vettore AB ha lunghezza c data da:

c² = |OB − OA|² = |OB|² + |OA|² − 2·OA·OB = b² + a² − 2·a·b·cos(γ)

perché il prodotto scalare OA·OB = |OA|·|OB|·cos(γ) = a·b·cos(γ). Il teorema del coseno è quindi semplicemente l'espansione della norma quadra di una differenza di vettori.

Strategie risolutive: SSS vs SAS vs ASA vs SSA

Il teorema del coseno è complementare al teorema dei seni. Per risolvere un triangolo si sceglie lo strumento migliore secondo i dati disponibili:

• SSS (3 lati): teorema del coseno per ricavare un angolo, poi seni (o coseno di nuovo) per gli altri.
• SAS (2 lati + angolo compreso): teorema del coseno per il terzo lato, poi seni per gli altri angoli.
• ASA (angolo-lato-angolo): teorema dei seni (il terzo angolo è 180° − A − B).
• AAS (angolo-angolo-lato): teorema dei seni.
• SSA (lato-lato-angolo non compreso): teorema dei seni con attenzione al caso ambiguo (0, 1 o 2 soluzioni).

Il teorema del coseno è l'unico strumento quando abbiamo solo lati (SSS o SAS), perché il teorema dei seni richiede almeno un angolo noto insieme a un lato.

Applicazioni

• Ingegneria strutturale: calcolo di forze risultanti da due vettori a un angolo noto (parallelogramma delle forze). La forza risultante di due vettori di modulo a e b con angolo α tra loro è F = √(a² + b² + 2ab·cos α).
• Navigazione: calcolo della distanza tra due punti conoscendo una distanza iniziale, un angolo di virata e una distanza finale — usato in calcolo del percorso di navi e aerei.
• Robotica: cinematica inversa di bracci meccanici articolati a due o tre gradi di libertà, dove si vuole trovare l'angolo di snodo data la posizione del end-effector.
• Geodesia: triangolazione dei terreni con lati misurati e calcolo degli angoli per chiusura di poligonali topografiche.
• Fisica: composizione di velocità in moti relativi — la velocità relativa di due oggetti con moduli v₁, v₂ e angolo β tra loro è v_rel = √(v₁² + v₂² − 2v₁v₂·cos β).
• Balistica: calcolo dell'angolo di tiro e della distanza di un proiettile data la posizione del bersaglio rispetto al cannone.

Storia: da Euclide ad al-Kashi

Il teorema del coseno ha radici antichissime. Gia Euclide, negli Elementi (proposizioni II.12 e II.13 del III secolo a.C.), enunciava in forma puramente geometrica il risultato: il quadrato del lato opposto a un angolo ottuso e maggiore della somma dei quadrati degli altri due lati di una quantita legata alla proiezione, e minore nel caso di angolo acuto. Era il teorema del coseno mascherato nel linguaggio delle aree, prima ancora che esistesse la trigonometria.

La formulazione moderna, con la funzione coseno, si sviluppo nel mondo islamico medievale. Il matematico persiano Jamshid al-Kashi, intorno al 1427, ne diede una versione esplicita adatta ai calcoli trigonometrici, ed e per questo che in Francia il teorema e ancora chiamato "teorema di al-Kashi". Con l'affermarsi della notazione trigonometrica in Europa, la formula c² = a² + b² − 2ab·cos C assunse la forma compatta che usiamo oggi, unificando in un solo enunciato secoli di risultati geometrici.

Applicazioni pratiche: dalla navigazione alla chimica

Il teorema del coseno risolve il problema fondamentale di trovare il terzo lato di un triangolo quando si conoscono due lati e l'angolo compreso, una situazione onnipresente nelle applicazioni. In navigazione e topografia permette di calcolare la distanza fra due punti conoscendo le distanze da un terzo punto e l'angolo sotto cui si vedono, senza percorrere il tragitto diretto. E il complemento naturale del teorema dei seni nel risolvere triangoli.

Le applicazioni tecniche sono vastissime. In robotica la cinematica di un braccio articolato usa il teorema del coseno per calcolare la posizione dell'estremita a partire dagli angoli dei giunti. In chimica la geometria molecolare determina le distanze fra atomi a partire dalle lunghezze dei legami e dagli angoli di legame, proprio con questa formula. Comparire nel calcolo di forze risultanti in fisica, nella grafica computerizzata per illuminazione e collisioni, e nella cristallografia per le celle unitarie. Ovunque un triangolo abbia due lati e un angolo noti, il teorema del coseno fornisce il lato mancante.

Aggiornato a luglio 2026