La legge di Hooke: F = -k·x

La legge di Hooke (Robert Hooke, 1676) è la base della teoria dell'elasticità: la forza esercitata da una molla elastica è proporzionale e opposta all'allungamento (o compressione) dalla posizione di riposo. F = -k·x, dove F è la forza di richiamo (N), k la costante elastica della molla (N/m) e x lo spostamento dalla posizione di equilibrio (m). Il segno meno indica che la forza è sempre verso la posizione di riposo. Questo calcolatore risolve F, k, x, energia elastica U o periodo di oscillazione T di un sistema massa-molla.

Le formule fondamentali

• F = -k·x — forza di richiamo (modulo: F = k·|x|)
• k = F/x — costante elastica da forza e allungamento
• x = F/k — allungamento data forza e costante
• U = ½·k·x² — energia potenziale elastica (J)
• T = 2π·√(m/k) — periodo oscillatore massa-molla
• ω = √(k/m) — pulsazione (rad/s)
• f = ω/(2π) = (1/(2π))·√(k/m) — frequenza (Hz)

La costante elastica k

La costante elastica (o rigidezza, stiffness) misura la resistenza della molla alla deformazione. Unità: N/m (newton per metro di allungamento). Interpretazione:

• k alta → molla rigida (serve molta forza per poco spostamento)
• k bassa → molla morbida (poca forza per molto spostamento)
• Si misura sperimentalmente: applica forza F e misura x, poi k = F/x

Valori tipici di k

Zona elastica vs plastica

La legge di Hooke è valida solo in zona elastica, cioè per piccoli spostamenti. Superato il limite elastico:

• Il materiale entra in zona plastica: la deformazione diventa permanente
• Superato il limite di snervamento: il materiale cede
• Superato il limite di rottura: la molla si spezza

Per molle in acciaio di qualità, la zona elastica copre tipicamente fino al 10-20% della lunghezza a riposo. Oltre, la molla si deforma permanentemente ("si perde la molla").

Energia potenziale elastica

Quando si allunga o comprime una molla, si fa lavoro contro la forza di richiamo. Questo lavoro viene immagazzinato come energia potenziale elastica:

U = ½·k·x²

L'energia è sempre positiva (sia in estensione che compressione, perché x è al quadrato). Si misura in joule. L'energia è quadratica nello spostamento: raddoppiando x, U quadruplica.

Esempi energetici

Esempi pratici numerici

Esempio 1: peso su molla

Molla con k = 100 N/m. Appendo un oggetto di 1 kg (peso F = 9,81 N):

• x = F/k = 9,81/100 = 0,0981 m = 9,81 cm
• Energia immagazzinata U = ½·100·0,0981² = 0,481 J
• Verifica: pari a ½·m·v² = m·g·x/2 (conservazione energia durante oscillazione)

Esempio 2: dinamometro

Un dinamometro si allunga di 5 cm sotto 2 N:

• k = F/x = 2/0,05 = 40 N/m
• Per determinare una forza incognita, misuri l'allungamento e moltiplichi per k
• Strumento classico di laboratorio scolastico

Esempio 3: ammortizzatore auto

Auto da 1.000 kg, 4 molle con k = 25.000 N/m ciascuna:

• Peso per molla: (1.000/4)·9,81 = 2.452 N
• Compressione: x = 2.452/25.000 = 9,8 cm
• Energia per molla: U = ½·25.000·0,098² = 120 J (480 J totali)
• Quando l'auto colpisce un dosso, le molle assorbono l'urto

Esempio 4: oscillatore massa-molla

Massa di 2 kg su molla k = 200 N/m:

• ω = √(200/2) = 10 rad/s
• T = 2π/10 = 0,628 s
• f = 1/T = 1,59 Hz
• Il sistema oscilla 1,59 volte al secondo. L'ampiezza dipende dalla forzante iniziale, non dal periodo.

Esempio 5: balestra

Balestra con k = 3.000 N/m, tesatura 30 cm:

• F = 3.000 × 0,3 = 900 N (91,7 kg-peso, servono braccia forti!)
• U = ½·3.000·0,3² = 135 J
• Freccia 30 g: v = √(2U/m) = √(270/0,030) = 94,9 m/s (se conversione 100% — in realtà ~70% per efficienza)

L'oscillatore armonico massa-molla

Una massa m attaccata a una molla k, lontana dall'equilibrio, oscilla con moto armonico semplice (MAS):

x(t) = A·cos(ω·t + φ)

dove A è l'ampiezza, ω = √(k/m) la pulsazione, φ la fase iniziale. Caratteristiche:

• Periodo T = 2π·√(m/k): NON dipende dall'ampiezza (isocronismo)
• Periodo aumenta con m: massa maggiore → oscillazione più lenta
• Periodo diminuisce con k: molla più rigida → oscillazione più veloce
• Conservazione energia: ½·m·v² + ½·k·x² = costante

Il MAS è il modello base per molti sistemi fisici: pendolo (piccole oscillazioni), circuiti LC, corde vibranti, atomi in cristalli, orologi meccanici.

Molle in serie e parallelo

Come con i resistori elettrici, è importante distinguere:

Molle in serie (una dopo l'altra)

La forza è la stessa in entrambe; gli allungamenti si sommano:

1/k_tot = 1/k₁ + 1/k₂

La costante totale è minore delle singole (molla più soft).

Molle in parallelo (affiancate)

Gli allungamenti sono uguali; le forze si sommano:

k_tot = k₁ + k₂

La costante totale è maggiore (molla più rigida).

Esempio auto: 4 molle in parallelo, ciascuna 25.000 N/m → sistema totale 100.000 N/m.

Oltre la legge di Hooke: elasticità reale

Nella realtà, materiali e molle mostrano comportamenti più complessi:

Modulo di Young (solidi)

Per un cavo di materiale, la "costante elastica" è:

k = E·A / L

dove E è il modulo di Young del materiale (Pa), A la sezione (m²), L la lunghezza (m). Moduli di Young tipici:

• Gomma: 0,01-0,1 GPa
• Legno: 10-15 GPa
• Alluminio: 70 GPa
• Acciaio: 200 GPa
• Diamante: 1.000 GPa

Coefficiente di Poisson

Quando tendi un materiale, si restringe trasversalmente. Il rapporto −ε_trasv/ε_long è il coefficiente di Poisson ν (tipicamente 0,25-0,35 per metalli).

Fatica meccanica

Dopo molti cicli di carico, i materiali si possono rompere anche sotto sforzo inferiore al limite elastico: è la fatica. Critica in aerospazio, automotive, ponti.

Materiali "superelastici" e speciali

• Leghe a memoria di forma (es. nitinolo): tornano alla forma originale dopo deformazione estrema
• Gomma: può allungarsi del 500-800%, ma non linearmente (legge non-hookiana)
• Elastomeri: siliconi e polimeri con deformazioni elastiche elevate
• Molle a balestra: lamine composite con comportamento misto

Applicazioni della legge di Hooke

Strumenti di misura

• Dinamometri (forza)
• Bilance a molla (peso)
• Estensimetri (deformazioni strutturali)
• Accelerometri (molla + massa)
• Trasduttori di pressione

Sospensioni e ammortizzatori

• Auto, moto, treni
• Pietroni antisismici edifici
• Bicicletta (forcella, ammortizzatore posteriore)
• Giocattoli a molla

Strumenti musicali

• Chitarre, pianoforti, violini (corde tese)
• Diapason (vibrazione oscillatoria)
• Membrane tamburi
• Strumenti a fiato (colonna d'aria)

Orologi meccanici

• Molla di carica (serbatoio energia)
• Bilanciere (oscillatore a molla spirale)
• Orologi Rolex, Patek Philippe

Armi e sport

• Archi e balestre (energia elastica)
• Catapulte antiche
• Fionde
• Trampolini elastici

Fisica atomica

• Vibrazioni reticolo cristalli (fononi)
• Molecole biatomiche (approssimazione armonica)
• Modello classico atomo

Ingegneria strutturale

• Progettazione ponti e grattacieli
• Calcolo cedimenti
• Resistenza materiali
• Stabilità strutture

Storia della legge di Hooke

Robert Hooke (1676, Inghilterra): pubblica la legge con l'anagramma "ceiiinosssttuu", che riordinato è "ut tensio sic vis" (come l'allungamento, così la forza). Hooke era segretario della Royal Society e rivale di Newton.

Thomas Young (1807): introduce il modulo di elasticità longitudinale, generalizzando la legge di Hooke ai materiali estesi.

Augustin-Louis Cauchy (1820s): formalizza la teoria dell'elasticità con tensore degli sforzi e delle deformazioni.

Navier, Saint-Venant, Lamé (XIX sec.): sviluppano la teoria moderna dell'elasticità isotropa.

Oscillatore armonico: il modello più studiato della fisica

L'oscillatore armonico (massa + molla) è uno dei sistemi più studiati perché:

• Matematicamente risolubile esattamente
• Buon modello per piccole oscillazioni attorno a ogni minimo di energia
• Base per molti altri sistemi: pendolo, circuito LC, vibrazioni molecolari
• Caso limite di sistemi più complessi
• In fisica quantistica, l'oscillatore armonico ha livelli di energia quantizzati (fononi, fotoni)

Smorzamento: oscillazione reale

Nella pratica, l'attrito dissipa energia e l'ampiezza decresce. L'equazione del moto con smorzamento viscoso:

m·ẍ + b·ẋ + k·x = 0

Tre regimi:

• Sottosmorzato (b piccolo): oscillazioni che decrescono esponenzialmente
• Criticamente smorzato: ritorno più veloce all'equilibrio senza oscillare
• Sovrasmorzato (b grande): ritorno lento senza oscillazioni

Gli ammortizzatori auto sono progettati per essere criticamente smorzati: l'auto ritorna rapidamente all'equilibrio senza rimbalzare.

Risonanza

Se forziamo un oscillatore a una frequenza esterna ω_ext, l'ampiezza di risposta è massima quando ω_ext = ω_naturale = √(k/m). Questa è la risonanza:

• Spinta su un'altalena: si spinge in fase per massimizzare altezza
• Bicchiere che si rompe con suono acuto alla sua frequenza naturale
• Ponte di Tacoma (1940): crollato per risonanza col vento
• Strumenti musicali: cassa di risonanza amplifica certe frequenze
• MRI (risonanza magnetica): atomi di idrogeno risuonano a frequenza specifica

FAQ

Qual è la formula della legge di Hooke?

F = -k·x, dove F è la forza di richiamo (N), k la costante elastica della molla (N/m) e x lo spostamento dall'equilibrio (m). Il segno meno indica che la forza è opposta allo spostamento (sempre verso l'equilibrio).

Cosa significa la costante elastica k?

Misura la rigidezza della molla: k alta = molla rigida (poca deformazione per grande forza), k bassa = molla morbida. Unità N/m. Si ricava da esperimento: k = F/x. Dipende dal materiale, dalla geometria e dalle dimensioni della molla.

Quando non vale la legge di Hooke?

Supera il limite elastico: il materiale entra in zona plastica (deformazione permanente) o si rompe. Tipicamente per allungamenti superiori al 10-20% della lunghezza a riposo per metalli. Gomma e polimeri possono mostrare comportamento non-lineare anche a piccoli allungamenti.

Qual è l'energia immagazzinata in una molla?

U = ½·k·x². È sempre positiva (quadratica in x). Raddoppiare x quadruplica l'energia. Si misura in joule. Rappresenta il lavoro fatto per deformare la molla, recuperato quando si lascia tornare all'equilibrio.

Come funziona un oscillatore massa-molla?

Una massa su molla oscilla con moto armonico semplice: x(t) = A·cos(ω·t + φ), con ω = √(k/m). Il periodo T = 2π·√(m/k) NON dipende dall'ampiezza (isocronismo). Il sistema scambia continuamente energia cinetica e potenziale elastica.

Come si combinano più molle?

In serie: 1/k_tot = 1/k₁ + 1/k₂ (totale più soft). In parallelo: k_tot = k₁ + k₂ (totale più rigido). Una sospensione auto ha 4 molle in parallelo per ruota.

Un elastico segue la legge di Hooke?

Solo approssimativamente, per piccoli allungamenti. Gli elastici reali hanno comportamento non lineare: rigidezza variabile con l'allungamento e possono ricordare la forma precedente (isteresi). Gomma reale mostra deviazioni significative da Hooke già al 5-10% di allungamento.

Errori comuni nei calcoli con Hooke

• Dimenticare il segno: F ha verso opposto a x
• Usare l'angolo anziché lo spostamento lineare: x è distanza lineare, non angolo
• Applicare oltre il limite elastico: per grandi deformazioni Hooke non vale
• Confondere k con m: k costante elastica, m massa
• Unità sbagliate: k in N/m, non N/cm o kg/m
• Applicare a non-molle: la legge è per sistemi elastici lineari, non per pendoli o corpi generici
• Dimenticare gravità: molla verticale ha posizione di equilibrio spostata da peso

Aggiornato a luglio 2026