Distanza euclidea

La distanza euclidea tra due punti A = (a_1, ..., a_n) e B = (b_1, ..., b_n) in spazio n-dimensionale e definita come:

d(A, B) = sqrt(sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i)^2)

E la metrica indotta dal prodotto scalare standard, e generalizza il teorema di Pitagora a dimensioni arbitrarie. Caso 2D: d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2). Caso 3D: d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2).

Origine e teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora (~500 a.C.): in triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c, c^2 = a^2 + b^2. Applicato al rettangolo con vertici (0,0), (delta x, 0), (delta x, delta y), (0, delta y), la diagonale ha lunghezza sqrt(dx^2 + dy^2). Generalizzazione a 3D via teorema di Pitagora applicato due volte: prima al rettangolo orizzontale, poi al triangolo verticale.

Generalizzazione: norme Lp

La distanza euclidea e un caso speciale della famiglia di norme Lp (Minkowski): d_p(A, B) = (sum |a_i - b_i|^p)^(1/p) per p >= 1. Casi notevoli:

• p = 1: distanza di Manhattan o "taxicab" (somma di valori assoluti).
• p = 2: distanza euclidea (caso classico).
• p = infty: distanza di Chebyshev (max coordinata).
• p = 1.5, 3: usate raramente, ma matematicamente valide.

Proprietà metriche

La distanza euclidea soddisfa gli assiomi di metrica:

1. Non-negativita: d(A, B) >= 0.
2. Identità: d(A, B) = 0 sse A = B.
3. Simmetria: d(A, B) = d(B, A).
4. Disuguaglianza triangolare: d(A, C) <= d(A, B) + d(B, C).

Confronto numerico tra metriche

Per A = (0, 0), B = (3, 4):

• Euclidea (L2): sqrt(9 + 16) = 5
• Manhattan (L1): 3 + 4 = 7
• Chebyshev (Linf): max(3, 4) = 4

In R^n vale: ||x||_inf <= ||x||_2 <= ||x||_1 <= sqrt(n) * ||x||_2 <= n * ||x||_inf. Tutte le norme su R^n sono EQUIVALENTI (a meno di costanti dipendenti dalla dimensione).

Distanza al quadrato

In molti contesti si preferisce la distanza al quadrato d^2 = sum (a_i - b_i)^2, che evita la radice quadrata costosa. Ottimale per: confronto tra distanze (preserva ordine), minimizzazione (soft-max e gradient descent), cluster analysis (k-means usa d^2). Quando serve la distanza vera, calcolare la radice solo alla fine.

Norma di un vettore

La norma euclidea di v = (v_1, ..., v_n) e ||v||_2 = sqrt(sum v_i^2). E la lunghezza del vettore. Versore: v / ||v|| ha norma 1 (vettore unitario). Distanza tra A e B = norma del vettore differenza A - B.

Applicazioni

• Computer Vision: matching di feature (SIFT, SURF), keypoint matching.
• Machine Learning: k-Nearest Neighbors (k-NN), k-means clustering, distanze in reti neurali.
• Bioinformatica: distanza tra sequenze proteiche o genomiche.
• Geographic Information Systems (GIS): distanze locali (curvatura terrestre trascurabile).
• Computational Geometry: triangolazioni, Voronoi diagrammi.
• Fisica: distanze nello spazio-tempo classico (non relativistico).
• Ottimizzazione: norme L2 in regolarizzazione (ridge regression, Tikhonov).

Disuguaglianza Cauchy-Schwarz

Per qualsiasi vettori u, v in spazio euclideo: |<u, v>| <= ||u||_2 * ||v||_2 dove <u, v> = sum u_i v_i e il prodotto scalare. Equivale a: cos(theta) tra u e v compreso in [-1, 1]. Da Cauchy-Schwarz si deduce la disuguaglianza triangolare: ||u + v||^2 = ||u||^2 + 2<u,v> + ||v||^2 <= (||u|| + ||v||)^2.

Spazi euclidei vs non-euclidei

R^n con la distanza euclidea forma uno spazio EUCLIDEO. In tali spazi vale Pitagora, parallel postulato, somma angoli triangolo = pi. Esistono spazi non-euclidei: iperbolico (somma angoli pi, geometria di Riemann). Per la geografia su grande scala, la distanza ortodromica (sferica) e diversa da quella euclidea apparente.

Distanza euclidea normalizzata e standardizzata

In statistica/ML spesso si normalizzano i vettori prima di calcolare la distanza euclidea, perché dimensioni diverse hanno scale diverse. Standardizzazione z-score: (x - mu) / sigma per ciascuna feature. Min-max: (x - min)/(max - min). Senza normalizzazione, dimensioni con valori grandi dominano la distanza ignorando dimensioni piccole ma significative.

Storia

Pitagora (~500 a.C.): teorema su triangolo rettangolo. Euclide (~300 a.C., Elementi): formalizzazione geometria euclidea. Cartesio (1637, La Geometrie): coordinate cartesiane permettono formula distanza. Cauchy (1821): rigore in analisi. Hilbert (1909): teoria astratta spazi. Banach (1932): spazi normati generali. Kantorovich (1942): metriche su spazi probabilità.

Modalita del calcolatore

Cinque modalita: 2D tra punti (x1,y1) e (x2,y2); 3D tra (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2); N-D tra vettori arbitrari A e B; confronto tra metriche L1, L2, L3, L4, Linf; calcolo della norma Lp di un singolo vettore con versore.

L'invarianza per rotazioni: cosa rende speciale L2

Fra tutte le distanze possibili, la distanza euclidea gode di una proprieta unica che la rende "la" geometria naturale dello spazio: l'invarianza per rotazioni. Se si ruota o si trasla un sistema di coordinate, la distanza euclidea fra due punti non cambia, mentre la distanza di Manhattan o di Chebyshev si modificano. Questa isotropia, cioe l'indipendenza dalla direzione, e cio che distingue la L2 da tutte le altre norme Lp: e l'unica invariante sotto rotazioni.

La ragione profonda e che la distanza euclidea deriva da un prodotto interno, il prodotto scalare, che misura angoli e lunghezze in modo coerente. Questa struttura aggiuntiva permette di parlare di ortogonalita, proiezioni e basi ortonormali, concetti che le altre metriche non possiedono. E per questo che la geometria euclidea e il quadro naturale della fisica classica, dove le leggi non devono dipendere dall'orientamento degli assi, e che la L2 e la scelta predefinita ogni volta che lo spazio e considerato isotropo e omogeneo.

Euclidea vs geodetica: la Terra non e piatta

La distanza euclidea presuppone uno spazio piatto, ma molte applicazioni reali si svolgono su superfici curve, dove la retta piu breve fra due punti non esiste nel senso ordinario. Sulla superficie terrestre la distanza corretta fra due localita non e quella euclidea in linea retta, che attraverserebbe la crosta, ma la distanza geodetica lungo un cerchio massimo, calcolata con la formula dell'emisenoverso (haversine).

Per punti vicini la Terra puo essere approssimata come piatta e la distanza euclidea fornisce un valore accettabile, ma su scale continentali l'errore diventa enorme: la curvatura del pianeta non e piu trascurabile. Lo stesso principio vale in relativita generale, dove lo spaziotempo curvo richiede metriche non euclidee, e in geometria differenziale, dove le distanze si misurano integrando lungo cammini su superfici. La distanza euclidea resta il punto di partenza, l'approssimazione locale di ogni geometria, ma conoscerne i limiti e essenziale per applicarla correttamente.

Aggiornato a luglio 2026