Calcolatore Lunghezza d Onda di de Broglie (Lambda = h/p)

Calcolatore lunghezza d onda di de Broglie lambda = h/p: da momento, massa-velocità, energia cinetica, voltaggio elettrone, lambda termica statistica.

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Lunghezza d onda di de Broglie

Louis de Broglie (1924, tesi di dottorato): postula che ogni particella di momento p ha associata un onda di materia con lunghezza d onda:

lambda = h / p

dove h = 6.62607015 * 10^-34 J s (costante di Planck). La relazione e simmetrica a quella del fotone (E = hf, lambda = h/p), ma applicata anche a particelle massive (elettroni, atomi, molecole). Premio Nobel per la fisica 1929.

Esempio numerico: elettrone

Elettrone con energia cinetica T = 100 eV (massa m_e = 9.109 * 10^-31 kg):

  • p = sqrt(2 m_e T) = sqrt(2 * 9.109e-31 * 1.602e-17) = 5.40 * 10^-24 kg m/s.
  • lambda = h / p = 6.626e-34 / 5.40e-24 = 1.23 * 10^-10 m = 1.23 A = 0.123 nm.
  • Confronto: dimensione atomo idrogeno (Bohr) = 0.0529 nm. lambda di poco superiore: scala atomica.

Formula pratica per elettrone non relativistico: lambda(pm) = 1226.4 / sqrt(V) con V in volt. Per V = 100 V: lambda = 122.64 pm = 0.123 nm. Per V = 50 keV (microscopio TEM): lambda = 5.5 pm.

Forma relativistica

Per particelle relativistiche (v vicino a c): p = gamma m v dove gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2). Equivalente:

lambda = h c / sqrt(T (T + 2 m c^2))

dove T = energia cinetica. Per T <> m c^2 (ultra-relativistico): lambda = hc/T (come fotone). Per elettrone (m c^2 = 511 keV): correzione relativistica > 1% per V > 5 keV. Per V = 100 keV: errore non rel 5%.

Lunghezze d onda di varie particelle

ParticellaVelocitàLambda
Elettrone 1 eV5.9 * 10^5 m/s1.23 nm
Elettrone 100 eV5.9 * 10^6 m/s0.123 nm
Elettrone 100 keV0.55 c3.7 pm
Protone 1 keV4.4 * 10^5 m/s0.91 pm
Neutrone termico2200 m/s180 pm
Atomo H termico (300 K)2700 m/s1 nm
Atomo Cs termico240 m/s10 pm
Pallone calcio (1 kg, 1 m/s)1 m/s10^-34 m

Oggetti macroscopici: lambda inimmaginabilmente piccola (10^-34 m), no effetti quantistici osservabili. Sotto la scala di Planck.

Conferma sperimentale: Davisson-Germer 1927

Davisson e Germer (Bell Labs, 1927): elettroni di 54 eV diffratti da cristallo di nichel mostrano picchi a 50 gradi, predetti da lambda di de Broglie e legge di Bragg. Test cruciale, conferma definitivamente dualismo onda-particella per la materia. Nobel 1937 a Davisson (insieme a Thomson). Indipendentemente George Paget Thomson (1927) con elettroni alta energia su lamine sottili. Stern (1929): atomi di elio diffratti da cristallo di NaCl. Estimer (1991): gli atomi anche in trappole magneto-ottiche.

Lunghezza d onda termica

Particelle in equilibrio termico a temperatura T (Maxwell-Boltzmann):

lambda_termica = h / sqrt(2 pi m k_B T)

dove k_B = 1.381 * 10^-23 J/K (costante Boltzmann). Esempi a 300 K:

  • Elettrone: lambda_th = 4.3 nm.
  • Protone: lambda_th = 0.10 nm.
  • Atomo idrogeno: lambda_th = 0.10 nm.
  • Atomo Cs (Bose-Einstein candidato): lambda_th = 0.013 nm.

Importante in fisica statistica: quando lambda_th >= distanza media tra particelle, dominano effetti quantistici (Bose-Einstein/Fermi-Dirac). A T molto bassa: condensato Bose-Einstein (BEC) atomi ultra-freddi (lambda_th supera spazio interparticellare).

Microscopia elettronica

Limite risoluzione lambda/2 (Abbe). Microscopio ottico (luce visibile 500 nm): risoluzione 250 nm. Microscopio elettronico:

  • SEM (scanning electron microscope): 1 - 30 keV. Risoluzione ~1-10 nm.
  • TEM (transmission electron microscope): 100-300 keV. Risoluzione 0.1 nm (atomi).
  • STEM (scanning TEM): 100 keV. Risoluzione 0.05-0.1 nm.
  • HRTEM (high resolution): risolve singoli atomi.

Vantaggio elettroni vs raggi X: focalizzabili con lenti elettromagnetiche, contrasto alto per atomi pesanti.

Diffrazione di neutroni

Neutroni termici (300 K): lambda = 180 pm, comparabile con spaziature atomi nei cristalli. Usati in:

  • Cristallografia neutronica (struttura magnetica, idrogeno).
  • Spettroscopia di scattering inelastico (fononi, magnoni).
  • Imaging biologico (idrogeno visibile vs raggi X che non lo vedono).
  • Reattori di ricerca: ILL Grenoble, NIST USA, J-PARC Giappone.

Implicazioni fondamentali

  • Dualismo onda-particella: la materia ha proprietà sia di particella sia di onda. Tutto microscopico mostra entrambe a seconda dell esperimento.
  • Principio di indeterminazione di Heisenberg: dx dp >= hbar/2. Onda di materia non pu o avere posizione e momento entrambi precisi.
  • Equazione di Schrodinger: 1926, basata su onde di de Broglie. Fondazione meccanica quantistica.
  • Quantizzazione orbite atomo: orbite stabili dove circonferenza = n lambda (Bohr-de Broglie). Spiega quantizzazione momento angolare e livelli energetici.
  • Tunneling quantistico: onde possono penetrare barriere di potenziale (no analogo classico).

Esperimenti storici

  1. Davisson-Germer 1927: elettroni 54 eV diffratti da Ni cristallino.
  2. Thomson 1927: elettroni 30-50 keV su Au, Al lamine.
  3. Stern 1929: atomi He diffratti da NaCl.
  4. Estermann-Frisch-Stern 1932: H2 da LiF.
  5. Carnal-Mlynek 1991: doppia fenditura con atomi metastabili.
  6. Arndt-Zeilinger 1999-2010: interferenza con C60 (fullerene), C200, biomolecole. Sostiene esistenza onda di materia per oggetti complessi.
  7. Atomic-fountain BEC 2000s: condensati atomici dimostrano coerenza quantistica macroscopica.

Storia

Louis de Broglie (1892-1987): francese, fratello di Maurice (sperimentale raggi X). Tesi 1924 a Sorbona "Recherches sur la theorie des quanta": estende dualismo di Einstein-Planck al fotone alla materia. Inizialmente scettico Einstein, poi sostegno entusiasta. Conferma sperimentale 1927 (Davisson-Germer, Thomson). Schrodinger (1926) sviluppa equazione d onda. Nobel fisica 1929 per de Broglie (a 37 anni). Concetto generalizzato in QFT (Quantum Field Theory) per tutte le particelle elementari.

Modalita del calcolatore

Cinque modalita: lambda da momento p; lambda da massa e velocità non relativistica; lambda da energia cinetica (con confronto rel/non-rel); elettrone accelerato da voltaggio V (formula 1226.4/sqrt(V) pm); lunghezza d onda termica de Broglie a temperatura T. Output con scala (atomica, nanometrica, ecc.) e confronti.

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cos'e la lunghezza d'onda di de Broglie?

E la lunghezza d'onda associata a una particella dotata di quantita di moto p, data da lambda = h/p, dove h e la costante di Planck. Proposta da Louis de Broglie nel 1924, estende alle particelle massive la dualita onda-particella gia nota per la luce. E la base della meccanica ondulatoria.

Come si calcola per un elettrone accelerato?

Un elettrone accelerato da una tensione V acquista energia cinetica eV. La lunghezza d'onda non relativistica e lambda(pm) = 1226,4/radice(V), con V in volt. Ad esempio a 100 V si ha 0,123 nm, scala atomica; a 100 kV circa 3,7 pm. Ad alte tensioni serve la correzione relativistica.

Qual e la differenza fra formula relativistica e non?

Quella non relativistica usa p = radice(2mT) ed e valida quando l'energia cinetica T e molto minore dell'energia a riposo mc^2. Quella relativistica usa p = radice(T(T+2mc^2))/c. Per l'elettrone (mc^2 = 511 keV) l'errore supera l'1% oltre pochi keV, quindi in microscopia elettronica ad alta tensione serve la formula relativistica.

Perche non vediamo le onde della materia quotidiana?

Perche la costante di Planck e piccolissima e gli oggetti macroscopici hanno quantita di moto enormi. Una palla da baseball ha lambda dell'ordine di 10^-34 m, incommensurabilmente piu piccola di qualsiasi lunghezza misurabile: nessuna interferenza e osservabile. Solo particelle leggere e lente, come gli elettroni, hanno onde di scala atomica.

Come fu confermata sperimentalmente?

Nel 1927 Davisson e Germer diffusero elettroni su un cristallo di nichel osservando un pattern di diffrazione conforme a lambda = h/p, con il reticolo cristallino come reticolo di diffrazione. In seguito l'interferenza fu mostrata per neutroni, atomi interi e persino grandi molecole, confermando la natura ondulatoria universale della materia.

Perche il microscopio elettronico ha piu risoluzione?

Perche la risoluzione migliora al diminuire della lunghezza d'onda usata, e un elettrone accelerato ha lambda migliaia di volte piu corta della luce visibile. A 100 kV un elettrone ha lambda di pochi picometri, permettendo di risolvere singoli atomi, impossibile con la luce ottica limitata a centinaia di nanometri.

Cos'e la lunghezza d'onda termica di de Broglie?

E lambda_th = h/radice(2 pi m k_B T), la scala d'onda tipica di particelle in equilibrio termico a temperatura T. Cresce al diminuire della temperatura. Quando diventa paragonabile alla distanza media fra le particelle, le onde si sovrappongono e domina la statistica quantistica (Bose-Einstein o Fermi-Dirac).

A cosa serve nella pratica?

Alla microscopia elettronica e a neutroni, alla diffrazione per studiare cristalli e superfici, alla progettazione di dispositivi quantistici, e alla fisica statistica per prevedere quando un gas diventa quantistico. Spiega la condensazione di Bose-Einstein, il comportamento degli elettroni nei metalli e la materia nelle stelle nane bianche.

Formula

lambda = h/p (de Broglie). Non-relativistic: lambda = h/sqrt(2 m T). Relativistic: lambda = hc/sqrt(T(T+2mc^2)). Electron: lambda(pm) = 1226.4/sqrt(V). Thermal: lambda_th = h/sqrt(2 pi m k_B T).

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