I polinomi di Laguerre

I polinomi di Laguerre, introdotti da Edmond Laguerre nel 1879 risolvendo l'equazione differenziale omonima, sono una famiglia di polinomi ortogonali su [0, inf) rispetto al peso w(x) = e^(-x). Sono fondamentali in meccanica quantistica (atomo di idrogeno), fisica statistica, analisi numerica e teoria delle code.

Equazione differenziale di Laguerre

L_n(x) e' l'unica soluzione polinomiale dell'equazione differenziale di Laguerre:

x * L_n''(x) + (1 - x) * L_n'(x) + n * L_n(x) = 0

Normalizzata con L_n(0) = 1. Generalizzata ai polinomi associati L_n^alpha(x) con parametro alpha, che risolvono:

x * (L_n^alpha)''(x) + (alpha + 1 - x) * (L_n^alpha)'(x) + n * L_n^alpha(x) = 0

Il caso alpha = 0 ritorna i polinomi semplici: L_n^0(x) = L_n(x). Per alpha > -1 esiste ortogonalita' con peso x^alpha * e^(-x).

Ricorrenza a tre termini

Il metodo di calcolo più' efficiente:

(n+1) * L_{n+1}(x) = (2n+1 - x) * L_n(x) - n * L_{n-1}(x), L_0 = 1, L_1 = 1 - x

Per associati:

(n+1) * L_{n+1}^alpha(x) = (2n+1+alpha - x) * L_n^alpha(x) - (n+alpha) * L_{n-1}^alpha(x)

Complessità' O(n) operazioni, numericamente stabile per x non troppo grande. Per x >> n, L_n(x) cresce come (-x)^n / n!, quindi servono precisione multipla.

I primi polinomi

• L_0(x) = 1
• L_1(x) = 1 - x
• L_2(x) = (x^2 - 4x + 2) / 2
• L_3(x) = (-x^3 + 9x^2 - 18x + 6) / 6
• L_4(x) = (x^4 - 16x^3 + 72x^2 - 96x + 24) / 24
• L_5(x) = (-x^5 + 25x^4 - 200x^3 + 600x^2 - 600x + 120) / 120

Formula di Rodrigues

Rappresentazione compatta via derivate ripetute:

L_n(x) = (e^x / n!) * d^n/dx^n [x^n * e^(-x)]

Per associati:

L_n^alpha(x) = (x^(-alpha) * e^x / n!) * d^n/dx^n [x^(n+alpha) * e^(-x)]

Deriva direttamente dalla funzione generatrice G(x, t) = e^(-xt/(1-t)) / (1-t) = sum L_n(x) t^n.

Ortogonalita'

Le relazioni fondamentali:

integral_0^inf L_m(x) * L_n(x) * e^(-x) dx = delta_mn (Kronecker)

integral_0^inf x^alpha * e^(-x) * L_m^alpha(x) * L_n^alpha(x) dx = Gamma(n + alpha + 1) / n! * delta_mn

Queste rendono {L_n} una base ortonormale di L^2(R_+, e^(-x)), fondamentale per espansione di funzioni su semiretta positiva.

Le cinque modalita'

1. L_n(x) semplice: calcolo diretto tramite ricorrenza.
2. L_n^alpha(x) associato: generalizzato con parametro alpha.
3. Sequenza L_0..L_n: lista per un singolo x.
4. Coefficienti espliciti: polinomio in forma standard.
5. Atomo di idrogeno: funzione radiale R_{nl}(r) via L_{n-l-1}^(2l+1).

Atomo di idrogeno in meccanica quantistica

La più' famosa applicazione: la funzione d'onda radiale dell'idrogeno e':

R_{nl}(r) = -sqrt((2/(n a_0))^3 * (n-l-1)! / (2n (n+l)!)) * e^(-r/(n a_0)) * (2r/(n a_0))^l * L_{n-l-1}^(2l+1)(2r/(n a_0))

dove a_0 = raggio di Bohr, n = 1, 2, 3, ... numero quantico principale, l = 0, 1, ..., n-1 momento angolare. I polinomi L_{n-l-1}^(2l+1) encode i nodi radiali: R_{nl}(r) ha n-l-1 nodi. Stato fondamentale (1s): n=1, l=0, R_{10}(r) = 2 * e^(-r/a_0). Stati eccitati (2s, 2p, 3s, ...) coinvolgono Laguerre non banali.

Quadratura di Gauss-Laguerre

I nodi x_k (radici di L_n) e pesi w_k = x_k / ((n+1)^2 L_{n+1}(x_k)^2) permettono di calcolare:

integral_0^inf f(x) * e^(-x) dx ~ sum_{k=1}^n w_k * f(x_k)

Esatto per polinomi di grado <= 2n-1. E' il metodo ottimale per integrali con peso esponenziale decrescente, comuni in fisica statistica (distribuzioni di Boltzmann), teoria delle code (tempi di attesa), finanza matematica (payoff di opzioni). Nodi tabulati per n fino a 100; oltre si usa Newton sulla ricorrenza.

Applicazioni

• Meccanica quantistica: atomo di idrogeno, oscillatore isotropo 3D, potenziale di Morse.
• Fisica statistica: distribuzioni di Maxwell-Boltzmann con pesi esponenziali.
• Teoria delle code: distribuzione di Erlang e processi di Poisson.
• Analisi numerica: quadratura Gauss-Laguerre per semi-infiniti.
• Finanza matematica: option pricing con modelli esponenziali.
• Fisica delle plasma: modi collettivi in dinamica di cariche libere.

Storia dei polinomi di Laguerre

I polinomi prendono il nome dal matematico francese Edmond Laguerre, che li studiò nel 1879 nell'ambito della teoria delle equazioni differenziali e delle frazioni continue. Laguerre, noto anche per i suoi contributi alla geometria e all'analisi, definì questa famiglia di polinomi ortogonali sull'intervallo semi-infinito [0, ∞) rispetto al peso esponenziale e^(−x). Questa scelta di dominio e peso li distingue dai polinomi di Legendre (intervallo finito) e di Hermite (retta reale con peso gaussiano). La loro importanza crebbe enormemente nel Novecento con la meccanica quantistica: i polinomi di Laguerre associati compaiono nella soluzione esatta dell'atomo di idrogeno, uno dei trionfi della fisica teorica, dove descrivono la parte radiale delle funzioni d'onda degli elettroni.

I polinomi di Laguerre associati e l'atomo di idrogeno

Oltre ai polinomi di Laguerre semplici esiste una famiglia più generale, i polinomi di Laguerre associati L_n^α(x), che dipendono da un parametro α. Soddisfano una ricorrenza analoga e sono ortogonali con il peso x^α·e^(−x). Il loro ruolo più celebre è nella soluzione dell'atomo di idrogeno in meccanica quantistica: risolvendo l'equazione di Schrödinger in coordinate sferiche, la parte radiale della funzione d'onda dell'elettrone si esprime esattamente tramite i polinomi di Laguerre associati. I numeri quantici principale n e azimutale ℓ corrispondono agli indici del polinomio. Questa connessione, scoperta negli anni Venti, rese i polinomi di Laguerre uno strumento indispensabile della fisica atomica e quantistica moderna.

Aggiornato a luglio 2026