Come calcolare lo skin depth RF delta=1/sqrt(pi*f*mu*sigma)

Calcola skin depth penetrazione AC corrente conduttore delta=1/sqrt(pi*f*mu*sigma). Rame 1 MHz=65 um, 1 GHz=2 um, 5G 28 GHz=0,4 um. Heaviside Maxwell 1880s. PCB design RF FCC FM TV cellulare WiFi 5G mmWave.

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Come calcolare lo skin depth (profondita di penetrazione): fenomeno scoperto da Oliver Heaviside (Gran Bretagna 1850-1925) ingegnere telegrafico autodidatta dalle equazioni di Maxwell 1873-1885 dimostrando che corrente alternata AC tende a concentrarsi nella superficie conduttore mentre frequenza aumenta. Formula fondamentale: delta = sqrt(2/(omega*mu*sigma)) = 1/sqrt(pi*f*mu*sigma), dove delta skin depth (m), omega=2*pi*f frequenza angolare (rad/s), mu=mu_0*mu_r permeabilità magnetica (mu_0=4*pi*1e-7 H/m vuoto), sigma conducibilità elettrica (S/m), f frequenza (Hz). Per rame Cu sigma=5,96e7 S/m mu_r=1: a 50 Hz delta=9,2 mm, 1 kHz=2,07 mm, 1 MHz=65 um, 100 MHz=6,5 um, 1 GHz=2,07 um, 10 GHz=0,66 um, 28 GHz (5G mmWave) =0,4 um.

Strumento essenziale per: progettazione PCB RF circuiti stampati alta frequenza (Cisco San Jose CA, Juniper Sunnyvale CA, Nokia Espoo Finlandia, Ericsson Stoccolma Svezia), induction heating IH (Ambrell Scottsville NY USA, Inductoheat Madison Heights MI, Saet Group Italia Leinì Torino), trasformatori potenza (Hitachi Energy Zurigo Svizzera-Italia Tortona, Siemens Energy Erlangen Germania, GE Vernova Florence SC USA), cavi RF coassiali fibre HF Litz wire (Belden Richmond IN USA), elettromagnetic shielding EMI/EMC (Laird Technologies Earth City MO USA, Würth Elektronik Niedernhall Germania), induction cooktop piani cottura indutivi (Fagor Mondragon Spagna, Bosch Stuttgart Germania, Whirlpool Benton Charter MI USA), microscopia SEM AFM, fisica conduttori superconductori, ricerca telecom 5G mmWave 24-39 GHz Verizon AT&T T-Mobile Vodafone TIM Iliad. Resistenza superficie Rs=1/(sigma*delta) Ohm/quadrato fondamentale design.

Formule skin depth e conducibilità

Equazione skin depth (Heaviside): delta = sqrt(2/(omega*mu*sigma)). Equivalentemente: delta = 1/sqrt(pi*f*mu*sigma). Per buon conduttore (sigma>>omega*epsilon): assumption ottimo <100 GHz metalli. Penetrazione 1/e = 36,8% ampiezza campo iniziale. Attenuazione 86,5% campo a 2*delta. Per attenuazione 1% serve 4,6*delta penetration (60 dB).

Conducibilità elettrica sigma: argento Ag 6,3e7 S/m massimo metalli (record 20°C), rame Cu 5,96e7 (standard riferimento), oro Au 4,1e7, alluminio Al 3,5e7, ferro Fe 1,0e7, tungsteno W 1,79e7, acciaio basso C 6,21e6, acciaio inox 316 1,4e6. Resistività rho=1/sigma: rame 1,68e-8 Ohm*m, alluminio 2,82e-8, ferro 1e-7. Variabile temperatura: rame +0,4%/°C, normalizzato 20°C standard IEC.

Permeabilità magnetica mu: mu = mu_0 * mu_r, dove mu_0=4*pi*1e-7 H/m=1,2566e-6 vuoto (esatta SI fino 2019, ora 1,25663706e-6 misurata). Materiali ferromagnetici aumentano mu_r drasticamente: ferro dolce 200, acciaio basso carbonio 1000-3000, nichel 600, permalloy Ni-Fe 100000 (record). Materiali non-magnetici mu_r~1: rame 0,999994, alluminio 1,000022, oro 0,999996. Effetto: ferro mu_r=200 a 50 Hz delta=0,5 mm vs rame 9,2 mm 18x ridotto perché penetration ostacolata da magnetic flux concentration.

Resistenza superficie Rs: Rs = 1/(sigma*delta) = sqrt(omega*mu/(2*sigma)) = sqrt(pi*f*mu/sigma) [Ohm/quadrato]. Rame 1 MHz: Rs=259 uOhm/sq. 1 GHz: Rs=8,2 mOhm/sq. 10 GHz: Rs=26 mOhm/sq. Indipendente dimensioni laterali, dipende solo frequenza+materiale. Loss tangent linee trasmissione PCB FR-4 substrato.

Effective AC resistance: per filo cilindrico raggio r, spessore comparabile delta: R_AC/R_DC = r/(2*delta) per r>>delta. Esempio cavo Cu rame raggio 1 mm a 1 MHz delta=65 um: R_AC/R_DC=1000/(2*65)=7,69. AC resistance 7,69x maggiore DC! Litz wire mitigazione: trefoli isolati sottili 0,07-0,2 mm raggio paralleli minimizzano skin effect proximity effect.

Storia e contesto

Oliver Heaviside (Gran Bretagna 1850-1925) Camden ingegnere telegrafico autodidatta lascio scuola 16 anni, lavoro Newcastle dal 1868 telegrafia, sviluppo' 1873-1885 vector calculus rappresentazione equazioni Maxwell semplificandole 4 equazioni moderne dF=0, B=mu*H, E*ds=-dPhi/dt, J*ds=Q+dDdtphi/dt. Contributo skin effect 1886 derivava analizzando linee telegrafiche transatlantiche Atlantic cable 1858 Lord Kelvin progetto - perdite alta frequenza inspiegabili teoria DC. James Clerk Maxwell (Scozia 1831-1879) Cambridge "Treatise on Electricity and Magnetism" 1873 unificazione completa elettromagnetismo. Lord Kelvin Thomson (Scozia 1824-1907) Glasgow Atlantic cable 1858 telegrafia transoceanica problemi alta frequenza skin effect prematuro. Heinrich Hertz (Germania 1857-1894) Karlsruhe University 1887-1888 verifico sperimentalmente onde elettromagnetiche radio Maxwell predette, scopri photoelectric effect 1887 dimostrando teoria. Guglielmo Marconi (Italia 1874-1937) Bologna inventore telegrafo wireless 1895 Pontecchio Marconi, prima trasmissione transatlantica radio Cornwall-Newfoundland 1901 Nobel Fisica 1909. John Carson (USA 1886-1940) AT&T Bell Labs 1923 sviluppo skin effect formula precisa per linee trasmissione. Walter Schottky (Germania 1886-1976) Siemens Berlin 1937 Schottky barrier diode comportamento elettromagnetico semiconduttori.

Industria globale RF design: Cisco Systems San Jose CA leader switch routers, Juniper Networks Sunnyvale CA, Arista Networks Santa Clara CA, Nokia Espoo Finlandia, Ericsson Stoccolma Svezia leader 5G infrastruttura, ZTE Shenzhen Cina, Huawei Shenzhen Cina (sanzioni USA 2019). Italia: TIM Telecom Italia Roma operatore principale, Iliad Milano sfidante, Open Fiber Roma operatore wholesale FTTH. Industria induction heating: Ambrell Scottsville NY USA inductiveriscaldamento (gruppo Inductoheat Madison Heights MI USA), Saet Group Leinì Torino Italia leader Italia, Inductotherm Rancocas NJ USA, Ajax TOCCO Magnethermic Warren OH USA. Trasformatori potenza: Hitachi Energy Zurigo Svizzera-Tortona Italia, Siemens Energy Erlangen Bayern Germania, GE Vernova Florence SC USA, ABB Mannheim Germania, Westinghouse Cranberry Township PA USA. Cavi RF: Belden Richmond IN USA, Times Microwave Wallingford CT USA, Huber+Suhner Pfäffikon Svizzera, Andrew Wireless USA-Andrew Solutions Buffalo Grove IL. Elettromagnetic shielding EMI/EMC: Laird Technologies Earth City MO USA, Wurth Elektronik Niedernhall Germania, EMC2 Lab San Diego CA. Piani cottura induzione IH residential: Fagor Industrial Mondragon Spagna, Bosch Stuttgart-Gaggenau Germania, Whirlpool Benton Charter MI USA, GE Profile Louisville KY, Smeg Guastalla Reggio Emilia Italia, Indesit Whirlpool Fabriano Italia.

Microscopia: Bruker Billerica MA USA AFM SEM, JEOL Tokyo Japan TEM, Zeiss Oberkochen Germania, FEI Hillsboro OR (Thermo Fisher Waltham MA acquisizione 2016). Italia ricerca skin effect: STMicroelectronics Catania-Agrate Brianza, Avio Aero Rivalta Torino, Leonardo Roma RF defense electronic warfare, ENEA Frascati ricerca fusione magnetica ITER plasma containment. INFN Frascati Padova esperimenti acceleratori. Politecnico Milano DEIB Dipartimento Elettronica Informazione Bioingegneria, Politecnico Torino DET Elettronica e Telecomunicazioni, Sapienza Roma DIET Ingegneria informazione Elettronica Telecomunicazioni, Federico II Napoli DIETI, Bologna DEI Ingegneria Energia Elettrica Informazione. CERN Ginevra LHC magneti superconduttori NbTi alta frequenza skin effect cryogenic. ITER Cadarache Francia tokamak fusion reactor magneti SC.

Tabella skin depth per materiale e frequenza

  • Rame Cu sigma=5,96e7 S/m: 50 Hz=9,22 mm, 1 kHz=2,07 mm, 1 MHz=65 um, 1 GHz=2,07 um, 10 GHz=0,66 um, 28 GHz=0,39 um, 60 GHz=0,27 um, 100 GHz=0,21 um
  • Argento Ag sigma=6,3e7 S/m: 1 MHz=63 um (massimo conducibilità)
  • Oro Au sigma=4,1e7 S/m: 1 MHz=78 um (resistente corrosione)
  • Alluminio Al sigma=3,5e7 S/m: 1 MHz=85 um (leggero economic)
  • Ferro Fe sigma=1e7 S/m mu_r=200: 50 Hz=0,5 mm (mu_r riduce delta!)
  • Acciaio basso C sigma=6,21e6 mu_r=1000: 50 Hz=0,29 mm
  • Acciaio inox 316 sigma=1,4e6 mu_r=1,02: 50 Hz=42,7 mm
  • Nichel Ni sigma=1,43e7 mu_r=600: 50 Hz=0,38 mm
  • Permalloy Ni-Fe mu_r=100000: 50 Hz=42 um (super-magnetico)
  • Tungsteno W sigma=1,79e7 mu_r=1: 1 MHz=119 um
  • Grafite C sigma=1e5: 1 MHz=1,6 mm
  • Acqua mare sigma=5 S/m: 1 MHz=224 mm, 100 Hz=2,24 m
  • Acqua dolce sigma=0,05 S/m: 1 MHz=2,24 m sub-km penetration
  • Mu_0 vuoto: 4*pi*1e-7=1,2566e-6 H/m
  • Reti elettriche 50/60 Hz: skin effect minimo
  • Audio HiFi 20 kHz: skin effect 0,46 mm Cu
  • AM radio 1 MHz: 65 um Cu
  • FM radio 100 MHz: 6,5 um Cu
  • TV DVB-T 500 MHz: 2,93 um Cu
  • GSM 900 MHz: 2,18 um Cu
  • WiFi 2,4 GHz: 1,33 um Cu
  • WiFi 5 GHz: 0,93 um Cu
  • 5G mmWave 28 GHz: 0,39 um Cu
  • Radar automotive 77 GHz: 0,24 um Cu
  • Satcom Ka-band 30 GHz: 0,38 um Cu

Esempi numerici dettagliati

Esempio 1 - Rete elettrica 50 Hz cavo rame. Cavo Cu rame standard sezione 50 mm^2 (raggio 4 mm circa). f=50 Hz, sigma=5,96e7 S/m, mu_r=1. delta=sqrt(2/(2*pi*50*4*pi*1e-7*5,96e7))=sqrt(2/(2,355e-2))=9,22 mm. Spessore filo 8 mm < 9,22 mm: skin effect TRASCURABILE, corrente uniforme tutta sezione. Rs=1/(5,96e7*0,00922)=1,82 uOhm/quadrato. Applicazione: distribuzione elettrica nazionale Italia 50 Hz Terna Roma operatore trasmissione, Enel Distribuzione retail.

Esempio 2 - PCB RF AM radio 1 MHz. PCB RF stampato Cu rame strato 35 um (1 oz/sq.ft standard). f=1 MHz=1e6 Hz. delta=1/sqrt(pi*1e6*4*pi*1e-7*5,96e7)=1/sqrt(2,353e8)=65,2 um. Spessore Cu 35 um < delta 65 um: spessore comparabile, AC effect parziale. Per design corretto serve spessore minimo 4*delta=260 um che NON economical. Rs=1/(5,96e7*65,2e-6)=259 uOhm/sq. Applicazione: AM radio broadcast 540-1700 kHz, trasmettitori Iliad Italia.

Esempio 3 - 5G mmWave 28 GHz design PCB Cu. Antenna patch 5G smartphone mmWave 28 GHz (Verizon US, TIM Italia). f=28e9 Hz. delta=1/sqrt(pi*28e9*4*pi*1e-7*5,96e7)=0,39 um SUB-MICRON penetration! Cu strato standard 35 um >> delta 0,39 um: skin effect TOTALMENTE dominante, corrente concentrata 1% spessore superficie. Rs=1/(5,96e7*0,39e-6)=43 mOhm/quadrato (alta!). Soluzioni: superfici lavorate ENIG immersion gold 0,05-0,2 um per ridurre roughness>delta loss, sostrati Rogers RT/duroid bassa perdita tangente delta.

Esempio 4 - Ferro 50 Hz trasformatore. Lamierino ferro Fe core trasformatore 50 Hz, mu_r=200 (ferro dolce silicico). sigma=1e7 S/m. delta=sqrt(2/(2*pi*50*4*pi*1e-7*200*1e7))=0,5 mm. Lamiere standard spessore 0,3-0,5 mm comparable! Mu_r alto riduce delta vs Cu (9,22 mm vs 0,5 mm = 18x ridotto). Applicazione: laminazione fine isolata silicio acciaio Fe-Si 3% Hitachi Energy Tortona Italia, Siemens Erlangen, riduce eddy current perdite Joule W=Pe*sin^2.

Esempio 5 - Acqua mare 10 MHz comunicazione subacquea. Sottomarino US Navy Ohio-class SSBN ELF VLF comunicazione, acqua mare sigma=5 S/m mu_r=1 a 10 MHz. delta=1/sqrt(pi*1e7*4*pi*1e-7*5)=71 mm. Onde radio decadono 71 mm/1e (-8,7 dB) drastico! Per comunicazione subacquea US Navy ELF Extremely Low Frequency 76 Hz Project Sanguine: delta=2,24 m, 1 km decadimento ~50 dB. Per comunicazione 100 Hz (ELF Italia banda Cutler Maine US Navy): delta=2,24 m. Applicazione: sottomarini US Navy NATO Mediterraneo Marina Italiana Todaro-class U212A.

Limiti e considerazioni

  1. Formula valida per buon conduttore (sigma>>omega*epsilon): metalli sempre, materiali deboli sigma<1 S/m solo bassa frequenza.
  2. Skin depth distribuzione esponenziale ideale: superfici scabre Ra>delta aumentano resistenza loss (roughness factor up to 2x).
  3. Permeabilità ferromagnetica satura ad alta induzione B>1,5 T: mu_r decresce drasticamente, design trasformatori limit.
  4. Conducibilità varia temperatura: rame +0,4%/°C, importante design cooling alta corrente RF amplifier.
  5. Frequenze ottiche IR/UV (>300 GHz): comportamento elettromagnetico deviates da Drude model, dispersion plasma.
  6. Superconduttori: skin depth zero classico, ma London penetration depth lambda_L=sqrt(m/(mu_0*n_s*e^2)) finita 50-200 nm.
  7. Plasma diluiti (gas ionizzati): conducibilità complesso, skin depth modificato Bohm Gross dispersion.
  8. Hall effect campi magnetici esterni (radar mmWave): magnetoresistivita modifica isotropic conductivity.
  9. Anisotropia conduttori cristallini grafite carbonio: sigma_parallel >> sigma_perpendicular.
  10. Substrati PCB Rogers FR-4 dielettrici alta frequenza: tangente delta loss separato skin effect conduttori.

Errori comuni

  1. Confondere skin depth delta con spessore conduttore: filo Cu 35 um a 1 GHz delta=2 um >> spessore tutto attivo.
  2. Trascurare permeabilità ferromagnetica: ferro mu_r=200 riduce delta 14x vs Cu non-magnetico.
  3. Calcolare R_DC per cavi RF ad alta frequenza: R_AC>>R_DC, fattore r/(2*delta).
  4. Pretendere skin depth zero per superconduttori: London penetration finita 50-200 nm.
  5. Confondere mu_0 con mu_r: mu_0=4*pi*1e-7 H/m esatta SI, mu_r adimensionale relativa.
  6. Trascurare temperatura sigma: rame 0°C vs 100°C differenza 40% conducibilità.
  7. Pretendere skin effect per DC 0 Hz: solo AC, omega=0 -> delta=infinito (no skin effect).
  8. Confondere skin depth con field penetration EM transparente isolante: dielettrico conduttore.
  9. Calcolare per acqua sigma=10^-2 fresh: alla 5 GHz sub-km penetration, NON conductor.
  10. Trascurare proximity effect cavi paralleli RF: corrente concentrazione assimmetrica + skin.

Applicazioni numerate

  1. PCB design RF: Cisco San Jose CA, Juniper Sunnyvale CA, Nokia Espoo Finlandia, Ericsson Stoccolma 5G infrastruttura.
  2. Italia telecom: TIM Roma operatore principale, Iliad Milano, Open Fiber Roma wholesale FTTH.
  3. Trasformatori potenza: Hitachi Energy Tortona Italia, Siemens Erlangen Germania, GE Vernova Florence SC USA.
  4. Induction heating IH: Saet Group Leinì Torino Italia leader, Ambrell Scottsville NY USA, Inductotherm Rancocas NJ.
  5. Cavi RF coassiali: Belden Richmond IN USA, Times Microwave Wallingford CT, Huber+Suhner Svizzera.
  6. EMI/EMC shielding: Laird Technologies Earth City MO USA, Wurth Elektronik Niedernhall Germania.
  7. Piani induzione IH: Smeg Guastalla Reggio Emilia Italia, Indesit Whirlpool Fabriano, Bosch Gaggenau Germania.
  8. Microscopia AFM SEM: Bruker Billerica MA USA, JEOL Tokyo Japan, Zeiss Oberkochen Germania.
  9. 5G mmWave 28 GHz: Verizon US, AT&T, T-Mobile, TIM Italia mmWave deploy 2024-2025.
  10. Educational didattica: Politecnico Milano DEIB, Torino DET, Sapienza Roma DIET, Federico II Napoli DIETI, Bologna DEI.

Per supporto

Per domande tecniche o segnalazioni: info@calcoi.com. Strumento didattico elettromagnetismo RF preliminare. Per progettazione professionale Heaviside O 1886 'On the Self-induction of Wires' Phil Mag 21:381, Maxwell JC 1873 'Treatise on Electricity and Magnetism' Clarendon Oxford, Pozar DM 'Microwave Engineering' 2011 Wiley, Balanis CA 'Advanced Engineering Electromagnetics' 2012 Wiley, Jackson JD 'Classical Electrodynamics' 1999 Wiley.

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cosa misura lo skin depth?

Skin depth (profondita pelle pelo) misura penetrazione corrente AC alternata in un conduttore: delta = sqrt(2/(omega*mu*sigma)) = 1/sqrt(pi*f*mu*sigma). All'aumentare di frequenza f, corrente concentra sempre più superficie. Rame Cu 50 Hz delta=9,2 mm (uniforme), 1 MHz=65 um, 1 GHz=2 um, 28 GHz (5G mmWave)=0,4 um. Heaviside derived 1886 da Maxwell equations 1873. Applicazioni: design PCB RF Cisco Juniper Nokia 5G, induction heating Saet Italia, trasformatori potenza Hitachi Energy Tortona Italia, telecom mmWave 5G Verizon AT&T TIM Italia, EMI/EMC shielding Wurth Elektronik.

Perché skin effect aumenta con la frequenza?

Skin effect causato campo elettromagnetico variabile rapidamente AC: corrente alternata genera campo magnetico variabile B(t) interno conduttore, che induce eddy current correnti contropolari opposite alla corrente principale al centro, spingendole verso superficie. Frequenza più alta f -> dB/dt più rapido -> eddy currents più forte -> maggior concentrazione superficiale. Formula delta proportional 1/sqrt(f): doppio frequenza -> sqrt(2)=1,41x riduzione delta. 50 Hz vs 100 GHz delta riduce 1414x! Limit RF design: superfici dorate ENIG 0,1 um per minimum loss alta frequenza.

Come affecta lo skin effect i cavi audio HiFi?

Audio HiFi 20 Hz - 20 kHz (banda audibile umana). 20 kHz Cu rame: delta=0,46 mm. Cavi audio standard rame OFC Oxygen-Free Copper 99,99% sezione 4-10 mm^2 (raggio 1,5-2 mm). Per 1,5 mm raggio cavo a 20 kHz: R_AC/R_DC=1,5/0,92=1,63 (63% maggiore). Audiofili usano Litz wire trefoli isolati 0,07-0,2 mm diameter parallel minimum skin effect, OCC Ohno Continuous Cast Cu mono-cristallo grain-boundary loss reduction. Marche premium: Nordost Holliston MA USA, Cardas Bandon OR USA, Audio Note Tokyo Japan, MIT Cables Rocklin CA. Italia: Audio Tekne, Esoteric audio.

Cosa determina mu_r ferromagnetico?

Permeabilità magnetica relativa mu_r ferromagnetici (Fe, Ni, Co, alloy): domini magnetici ferro Fe 200, acciaio basso C 1000-3000, nichel 600, permalloy Ni-Fe 100000 record. Riduce skin depth: ferro Fe a 50 Hz delta=0,5 mm vs rame 9,2 mm 18x ridotto perché concentrazione flusso magnetico ostacola penetrazione corrente. Saturazione: a B>1,5 T mu_r drasticamente decresce. Applicazione design transformer core lamination Hitachi Energy Tortona Italia: lamine 0,3-0,5 mm spessore comparable delta 0,5 mm minimum eddy losses. Per RF GHz: ferrite Mn-Zn Mn-Ni soft magnetics 1-100 mu_r.

Come progettare PCB RF skin-aware?

PCB RF GHz design: 1) substrato low-loss tan delta Rogers RT/duroid 5880 0,0009 vs FR-4 0,02 (10x meglio); 2) Cu copper plating 35 um (1 oz/sq.ft) o 70 um (2 oz) heavy current; 3) finitura superficie ENIG immersion gold 0,05-0,2 um per ridurre roughness loss (Ra<delta); 4) microstrip impedance match 50 Ohm controlled width geometry; 5) via fence shielding GHz; 6) CFD electromagnetic simulation HFSS Ansys, CST Microwave Studio. Industria: Megtron 6 Panasonic, Megtron 7N, Rogers IS400 high-frequency substrates. Marche: Cisco, Juniper, Arista. Italia: Politecnico Milano DEIB, Torino DET RF design corsi.

Skin effect cosa cambia su superconductor?

Superconduttore convenzionale Tipo I (NbTi BCS theory): zero skin depth classico assoluto, ma London penetration depth lambda_L = sqrt(m_e/(mu_0*n_s*e^2)) FINITA 50-200 nm campi magnetici penetrate fino lambda_L. Field exponential decay e^(-x/lambda_L) come Skin classico, ma indipendente da frequenza. Tipo II (NbTi NbSn YBCO HTS): vortex flux pinning, magnetic field penetra come vortices Abrikosov. Applicazioni: SQUID magnetometers super-precise, MRI risonanza magnetica medicale Siemens Healthineers Erlangen Germania, GE Healthcare Boston, Philips Eindhoven, particle accelerators CERN ITER Cadarache. Italia: ENEA Frascati superconduttori HTS YBCO ricerca.

Come affecta il design 5G mmWave?

5G mmWave 24-39 GHz (Ka-band): delta Cu sub-um 0,4 um a 28 GHz, 0,3 um a 39 GHz. Sfide design: 1) substrate altissima qualità Rogers RT/duroid 5880, Megtron 7N, Rogers RO4350B; 2) Cu plating 18-35 um pero solo skin layer attivo, hidden bulk Cu zero contributo; 3) finitura superficie ENIG immersion gold 0,1 um liscia Ra<0,4 um critical; 4) via fence GHz; 5) componenti package laminato BGA/CSP perdite minime. Industria: Verizon UWB 28 GHz cities major USA, AT&T 5G+ Dallas, T-Mobile 39 GHz. Italia: TIM Roma 26 GHz banda principale, Iliad Milano 27 GHz, Vodafone. Antenna patch design HFSS Ansys CST Microwave.

Formula

delta = sqrt(2/(omega*mu*sigma)) = 1/sqrt(pi*f*mu*sigma)
Valid for sigma >> omega*epsilon (metals up to ~100 GHz)
Rs = 1/(sigma*delta) = sqrt(omega*mu/(2*sigma)) [Ohm/square]
R_AC/R_DC = r/(2*delta) for r >> delta cylindrical wire
mu = mu_0 * mu_r; mu_0 = 4*pi*1e-7 H/m; ferromagnetic mu_r 200-100000
Cu 5.96e7 S/m, Ag 6.3e7, Au 4.1e7, Al 3.5e7, Fe 1e7, steel 6.2e6, stainless 316 1.4e6
Cu 50 Hz delta=9.22mm, 1 MHz=65um, 1 GHz=2.07um, 10 GHz=0.66um, 28 GHz=0.39um (5G mmWave)
Fe mu_r=200 reduces delta 14x vs Cu at 50 Hz: 0.5mm vs 9.22mm
Insulated thin strands minimize skin/proximity effect for HF cables
Heaviside O 1886 'On the Self-induction of Wires' Phil Mag 21:381; Maxwell JC 1873 'Treatise on Electricity and Magnetism' Clarendon Oxford; Pozar DM 'Microwave Engineering' 2011 Wiley; Balanis CA 'Advanced Engineering Electromagnetics' 2012 Wiley; Jackson JD 1999 'Classical Electrodynamics' Wiley

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