Matrice inversa: definizione e condizioni di esistenza

L'inversa di una matrice quadrata A di ordine n×n è l'unica matrice A⁻¹ tale che A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I, dove I è la matrice identità. Esiste se e solo se det(A) ≠ 0; in tal caso A è detta non singolare o invertibile. Geometricamente, A⁻¹ è la trasformazione lineare inversa: se A porta v in w, allora A⁻¹ porta w in v. Applicazioni: risoluzione di sistemi lineari Ax = b (x = A⁻¹b), rotazioni inverse in computer graphics, trasformazioni affini, statistica multivariata (matrice di covarianza inversa per distanza di Mahalanobis).

Metodi di calcolo

Per n piccoli (≤4) si usa la formula A⁻¹ = adj(A) / det(A), dove adj(A) è la matrice aggiunta (trasposta della matrice dei cofattori). Costo O(n!). Per n generico il metodo standard è Gauss-Jordan: si affianca I ad A ottenendo [A | I], si applicano operazioni elementari di riga fino ad avere [I | A⁻¹]. Complessità O(n³), stabile numericamente con partial pivoting (swap righe per pivot massimo). Decomposizione LU = A allora A⁻¹ = U⁻¹·L⁻¹: due sostituzioni triangolari O(n²) per colonna di A⁻¹. Cholesky se A simmetrica definita positiva: metà costo.

Caso 2×2 e 3×3

Per A = [[a, b], [c, d]]: A⁻¹ = (1/(ad−bc)) · [[d, −b], [−c, a]], se ad−bc ≠ 0. Per 3×3 si usa la formula con cofattori: A⁻¹_ij = (−1)^(i+j) · M_ji / det(A), dove M_ji è il determinante della sottomatrice 2×2 ottenuta eliminando la riga j e la colonna i. Esempio 3×3 identità: I⁻¹ = I; rotazione R(θ)⁻¹ = R(−θ) = R(θ)^T (matrice ortogonale).

Regola di Cramer

Per un sistema Ax = b con A invertibile, ogni componente della soluzione è x_i = det(A_i) / det(A), dove A_i è A con la i-esima colonna sostituita da b. Costo O(n·n!) calcolando i determinanti espandendo: molto lento per n grandi. Utile didatticamente per n=2, n=3. In pratica Gauss-Jordan o LU decomposition sono sempre preferibili (O(n³) vs O(n·n!)). Per n=2: x = (b₁·d − b₂·b)/(ad−bc), y = (b₂·a − b₁·c)/(ad−bc).

Numero di condizionamento

Il condizionamento κ(A) = ||A|| · ||A⁻¹|| misura la sensibilità del problema Ax = b a perturbazioni di A o b. κ=1 ideale (ortogonale); κ grande → matrice mal condizionata, piccole perturbazioni causano grandi errori in x. Regola empirica: in aritmetica a precisione singola (7 cifre), si perdono circa log₁₀(κ) cifre. Matrici di Hilbert (H_ij = 1/(i+j−1)) sono notoriamente mal condizionate (κ ~ 10^n). Rifiutare l'inversione diretta se κ > 10^12: usare pseudoinversa di Moore-Penrose o risoluzione iterativa (CG, GMRES).

Pseudoinversa di Moore-Penrose

Per matrici non quadrate m×n o singolari esiste la pseudoinversa A⁺ che generalizza A⁻¹: A⁺ = (A^T A)⁻¹ A^T se A è full rank, altrimenti via decomposizione SVD: A = UΣV^T, A⁺ = V Σ⁺ U^T con Σ⁺ ottenuta invertendo i valori singolari non nulli e trasponendo. Applicazione fondamentale: regressione lineare ai minimi quadrati (ordinary least squares: β = (X^T X)⁻¹ X^T y = X⁺ y).

Applicazioni pratiche

Sistemi lineari (reti elettriche Kirchhoff, strutture a traliccio); computer graphics (trasformazioni 4×4 omogenee, inverse di rotazioni e traslazioni combinate); robotica (cinematica inversa, Jacobiane); machine learning (regressione, kernel methods, Gaussian processes); finanza (ottimizzazione di portafoglio Markowitz con Σ⁻¹); fisica (meccanica dei continui, tensori di inerzia, FEM con sistemi sparse); statistica (ANOVA, regressione multipla, modelli lineari generalizzati); grafica vettoriale (inversione di omografie e prospettive).

Come usare

Seleziona la modalità: Inversa (matrice CSV n×n → A⁻¹), Risolvi Ax=b (matrice A + vettore b → x), Cramer (Ax=b via determinanti, solo 2×2 e 3×3 per leggibilità), Verifica (det, traccia, rango, condizionamento). Matrice in formato "riga1; riga2; riga3" con elementi separati da virgole.

Perché l'inversa esplicita è spesso da evitare

Nell'algebra lineare numerica vale una regola aurea: "non calcolare mai l'inversa se ti serve solo risolvere un sistema". La fattorizzazione LU risolve Ax = b con circa un terzo delle operazioni necessarie a costruire A⁻¹, e con minore accumulo di errori di arrotondamento. L'inversa esplicita serve solo quando la matrice A⁻¹ è essa stessa l'oggetto di interesse, per esempio nel calcolo delle matrici di covarianza in statistica. Nei corsi di analisi numerica dei Politecnici italiani questa distinzione è uno dei primi insegnamenti pratici, e le librerie standard come LAPACK, sviluppate a partire dagli anni Novanta, incarnano proprio questo principio.

Applicazioni della matrice inversa

Le matrici inverse compaiono ovunque si risolvano sistemi lineari: nel calcolo strutturale dell'ingegneria civile, dove le matrici di rigidezza legano forze e spostamenti; nella computer grafica, per invertire le trasformazioni geometriche; nell'econometria, per stimare i parametri con il metodo dei minimi quadrati; e nella robotica, per la cinematica inversa dei bracci meccanici. Il determinante, calcolato insieme all'inversa, indica anche il fattore di scala dei volumi sotto la trasformazione lineare.

Aggiornato a luglio 2026